高中数学1.4 空间向量的应用教学设计及反思

这是一份高中数学1.4 空间向量的应用教学设计及反思，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，综合应用，解决立体几何问题的方法等内容，欢迎下载使用。

第一章空间向量与立体几何
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
教学设计
一、教学目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
2.理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角与空间向量之间的关系，并会用向量方法求简单夹角问题.
3.能描述用空间向量解决立体几何问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、教学重难点
1、教学重点
理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题.
2、教学难点
辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
三、教学过程
1、新课导入
在上一节我们已经学会了用空间向量解决直线、平面的位置关系，那么立体几何中还有一些距离、夹角问题，能否也用向量方法解决呢？这节课我们就来一起探究一下用向量方法解决空间中的距离、夹角问题.
2、探索新知
一、用向量方法解决距离问题
1.点到直线的距离：如图，向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形.因为A，P都是定点，所以，与u的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.
设，则向量在直线l上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.

2.点到平面的距离：如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此
.

例1如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线的距离；
（2）求直线FC到平面的距离.

解：以为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，.
（1）取，，则，.
所以点B到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点F到平面的距离即为直线FC到平面的距离.
设平面的法向量为，则，
所以，所以，取，则，.
所以是平面的一个法向量.
又因为，
所以点F到平面的距离为.
即直线FC到平面的距离为.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
二、用向量方法解决夹角问题
1.异面直线所成的角及直线与平面所成的角
例2如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

解：化为向量问题
以作为基底，则，.
设向量与的夹角为，则直线AM和CN夹角的余弦值等于.
进行向量运算


.
又和均为等边三角形，所以.
所以.
回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为.
1.异面直线所成的角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
2.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.

3.二面角：如下图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.

若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
例3如图，在直三棱柱中，，，，P为BC的中点，点Q，R分别在棱，上，，.求平面PQR与平面夹角的余弦值.

解：化为向量问题
以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面PQR的法向量为，则平面PQR与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
进行向量运算
因为平面，所以平面的一个法向量为.
根据所建立的空间直角坐标系，可知，，.
所以，.
设，则，所以，所以.
取，则.
回到图形问题
设平面PQR与平面的夹角为，则.
即平面PQR与平面的夹角的余弦值为.
三、解决实际问题
例4下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s²，精确到0.01 N）.

解：如图，设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F.

因为，所以F在n上的投影向量为.
所以8根绳子拉力的合力.
又因为降落伞匀速下落，所以.
所以.
所以.
四、综合应用
例5 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.


（1）连接AC，交BD于点G，连接EG.
依题意得，，.
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，
故点G的坐标为，且，.
所以，即.
而平面EDB，且平面EDB，因此平面EDB.
（2）证明：依题意得，.
又，故.
所以.
由已知，且，所以平面EFD.
（3）已知，由（2）可知，
故是平面CPB与平面PBD的夹角.
设点F的坐标为，则.
因为，所以，即，，.
设，则.
所以，点F的坐标为.
又点E的坐标为，所以.
所以.
所以，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°.
五、解决立体几何问题的方法

解决立体几何中的问题，可用三种方法：
（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
3、课堂练习
1.在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
2.如图，在长方体中，M，N分别是棱的中点，若，则异面直线与所成的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图，正方体中，E，F分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为( )

A. B. C. D.
4、小结作业
小结：本节课学习了用空间向量方法解决距离、夹角问题，并掌握了解决立体几何问题的方法.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.点到直线的距离：如图，向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形.因为A，P都是定点，所以，与u的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.设，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理，得.

2.点到平面的距离：如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此
.

3.异面直线所成的角：若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
4.直线与平面所成的角：直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
5.二面角：若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
.