人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算教案及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第一章空间向量与立体几何
1.1.2空间向量的数量积运算
教学设计
一、教学目标
1.掌握空间向量的夹角、模的概念及表示方法.
2.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律.
3.能运用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等一些简单问题.
二、教学重难点
1、教学重点
空间向量数量积的计算及其应用..
2、教学难点
运用空间向量的数量积解决立体几何中的问题.
三、教学过程
1、新课导入
上节课我们已经学习了空间向量的概念及其线性运算，那么继续由平面向量向空间向量推广，我们这节课就来学习一下空间向量的夹角及数量积运算.
2、探索新知
1.空间向量的夹角
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.

如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：
；.
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面的投影呢？
3.向量的投影
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影，如图（2），

如图（3），向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量a在平面上的投影向量，这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.
4.空间向量数量积的运算律
，；
（交换律）；
（分配律）.
例1 如图，在平行六面体中，，，，，，求：
（1）；（2）的长（精确到0.1）.

解：（1）；
（2）


，
所以.
例2如图，m，n是平面内的两条相交直线，如果，，求证：.

分析：要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义），如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题.
证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得.
因为，，所以.
所以.
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以.
3、课堂练习
1.在空间四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，F，G分别是AD，CD的中点，则( )

A. B. C. D.
3.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则或
B.若，则或
C.若，则或
D.若，则
1.在空间四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，F，G分别是AD，CD的中点，则( )

A. B. C. D.
3.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则或
B.若，则或
C.若，则或
D.若，则
4、小结作业
小结：本节课学习了空间向量夹角的概念及表示、数量积及其运算律.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.1.2空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.