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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
教学设计
一、教学目标
1. 掌握两条直线平行与垂直的条件；
2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
二、教学重难点
1. 教学重点
两直线平行与垂直的判定及其应用.
2. 教学难点
探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：平面中两条直线有几种位置关系？
两种，相交和平行.
问题2：斜率是刻画直线倾斜程度的量，当两条直线相互平行或相互垂直时，它们之间的斜率有何关系？
（二）探索新知
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有.
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线，重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
例1 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得，
直线BA的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得，
AB边所在直线的斜率，
CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，
DA边所在直线的斜率.
因为，所以.
因此四边形ABCD是平行四边形.
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.
思考：当直线，垂直时，它们的斜率有什么数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即.
也就是说，.
当直线或的倾斜角为90°时，若，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然.
由上得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.即.
例3 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：直线AB的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例4 已知三点，试判断的形状.
解：边AB所在直线的斜率，边BC所在直线的斜率.
由，得，即.
所以是直角三角形.
（三）课堂练习
1.下列结论错误的是( )
A.若直线的斜率相等，则
B.若直线的斜率，则
C.若直线的斜率都不存在，则
D.若直线的斜率不相等，则与不平行
答案：ABC
解析：若直线的斜率相等，则或与重合，所以A结论错误；若直线的斜率，则，所以B结论错误；若直线的斜率都不存在，则或与重合，所以C结论错误；D结论正确.故选ABC.
2.若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合
答案：D
解析：由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为，直线与平行或重合.
3.若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：依题意得，，即，解得，故选A.
4.若不同两点P，Q的坐标分别为，，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_________________.
答案：-1
解析：由题意得，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
5.已知平行四边形中，.
（1）求点的坐标；
（2）试判断平行四边形是否为菱形.
答案：（1）设，则，
即，解得，
所以.
（2）因为，
所以，所以，
故平行四边形为菱形.
（四）小结作业
小结：根据斜率判定两条直线平行或垂直.
作业：
四、板书设计
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
对于斜率分别为，的两条直线，，有
（1）；
（2）.
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
教学设计
一、教学目标
1. 掌握两条直线平行与垂直的条件；
2. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
二、教学重难点
1. 教学重点
两直线平行与垂直的判定及其应用.
2. 教学难点
探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：平面中两条直线有几种位置关系？
两种，相交和平行.
问题2：斜率是刻画直线倾斜程度的量，当两条直线相互平行或相互垂直时，它们之间的斜率有何关系？
（二）探索新知
如图，若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即.因此，若，则.反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此.
于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有.
显然，当时，直线的斜率不存在，此时.
若直线，重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
例1 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解：如图，由已知可得，
直线BA的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得，
AB边所在直线的斜率，
CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，
DA边所在直线的斜率.
因为，所以.
因此四边形ABCD是平行四边形.
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.
思考：当直线，垂直时，它们的斜率有什么数量关系？
设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即.
也就是说，.
当直线或的倾斜角为90°时，若，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然.
由上得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.即.
例3 已知，试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：直线AB的斜率，
直线PQ的斜率.
因为，所以直线.
例4 已知三点，试判断的形状.
解：边AB所在直线的斜率，边BC所在直线的斜率.
由，得，即.
所以是直角三角形.
（三）课堂练习
1.下列结论错误的是( )
A.若直线的斜率相等，则
B.若直线的斜率，则
C.若直线的斜率都不存在，则
D.若直线的斜率不相等，则与不平行
答案：ABC
解析：若直线的斜率相等，则或与重合，所以A结论错误；若直线的斜率，则，所以B结论错误；若直线的斜率都不存在，则或与重合，所以C结论错误；D结论正确.故选ABC.
2.若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合
答案：D
解析：由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为，直线与平行或重合.
3.若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：依题意得，，即，解得，故选A.
4.若不同两点P，Q的坐标分别为，，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_________________.
答案：-1
解析：由题意得，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
5.已知平行四边形中，.
（1）求点的坐标；
（2）试判断平行四边形是否为菱形.
答案：（1）设，则，
即，解得，
所以.
（2）因为，
所以，所以，
故平行四边形为菱形.
（四）小结作业
小结：根据斜率判定两条直线平行或垂直.
作业：
四、板书设计
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
对于斜率分别为，的两条直线，，有
（1）；
（2）.
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