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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第三章 圆锥曲线的
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单的几何性质
一、教学目标
1、熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）
2、理解离心率的大小对椭圆形状的影响.
3、通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.
二、教学重点、难点
重点：熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）
难点：通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
椭圆定义的数学关系：
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
系数关系
焦点在轴上
焦点在轴上
【问题】如何有效的描述椭圆？椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？
（二）阅读精要，研讨新知
【研究对象】焦点在轴上，
1.范围
图形表现
坐标关系
因为，
所以椭圆落在围成的矩形中.
2.椭圆的对称性
图形表现
坐标关系
（1）把换成，方程不变，则椭圆关于轴对称；
（2）把换成，方程不变，则椭圆关于轴对称；
（3）把换成，同时把换成，方程不变，则
椭圆关于原点对称；
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的中心.
3.顶点与长轴、短轴
图形表现
坐标关系
椭圆与它的对称轴的四个交点称为椭圆的顶点.
长轴：线段，长轴长；
短轴：线段，短轴长；
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4.离心率
图形表现
坐标关系
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，
用表示，即
离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆
【总结提升】焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？（与焦点在轴上的椭圆的几何性质类比认知）
图形
方程
范围
对称性
关于轴、轴、原点对称
焦点
顶点
离心率
【例题研讨】阅读领悟课本例4（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：椭圆的标准方程为，所以
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率，，
两个焦点为，四个顶点坐标为，
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6、例7（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）
例5如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上 .由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，cm，cm，试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程(精确到0.1 cm).
解： 建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，
设所求椭圆方程为
在中，
由椭圆的性质知，，
所以，
所以，所求的椭圆方程为
例6动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
解：如图3.1-12, 设是点到直线的距离，根据题意，
动点的轨迹就是集合，
由此得，化简得，即
所以，点的轨迹是长轴，短轴长分别为10，6的椭圆.
例7 如图3.1-13,已知直线和椭圆，
为何值时，直线与椭圆：
（1）有两个公共点?
（2）有且只有一一个公共点?
（3）没有公共点?
解：由方程组 ①
方程①的根的判别式
（1）由，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
（2）由，此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
（3）由，或，此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.
【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A. 椭圆的焦点坐标为
B. 椭圆的短半轴长为1，离心率,则长轴长的取值范围为
C. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则
D. 椭圆上的点到它的左焦点的最远距离等于9，最近的距离等于1
解：由已知，得，焦点在轴上，，故焦点为，A正确；
对于B，因为,所以,又，所以，，即，又,所以,从而,故长轴长满足，故B错误；
对于C，，，所以，正确；
对于D，椭圆为，所以，椭圆上的点到它的左焦点的最远距离为，
最近的距离为，正确，故选ACD
2. 离心率，焦距为16的椭圆的标准方程为 .
解：由已知解得
所以椭圆的标准方程为或
3. 已知分别为椭圆的左、右焦点, 为椭圆上一点, 为坐标原点,
且 , ,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：如图,取的中点为,连接,所以
因为，即，所以，即
令,则,又
所以，即，即,故选C.
4. 已知为椭圆上一点, 为椭圆焦点,且,则椭圆离心率的范围是 ( )
A. B. C. D.
解：由已知，，又，
所以
又，所以椭圆离心率的范围是，故选D.
5. 已知点是椭圆上的一点, 是椭圆上的两个焦点.
（1）当时,求的面积.
（2）当为钝角时,求点横坐标的取值范围.
解：（1）令，由椭圆的定义,得 ①
在中, 由余弦定理得，即 ②
所以
所以
（2）设点,由已知为钝角,得，又
所以，即，又
联立解得
所以点横坐标的取值范围是
（四）归纳小结，回顾重点
图形
方程
范围
对称性
关于轴、轴、原点对称
焦点
顶点
离心率
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题3.1 3、4、7、8、11、12、13、14
2.阅读课本《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》
3.预习3.2 双曲线
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
第三章 圆锥曲线的
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单的几何性质
一、教学目标
1、熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）
2、理解离心率的大小对椭圆形状的影响.
3、通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.
二、教学重点、难点
重点：熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）
难点：通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
椭圆定义的数学关系：
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
系数关系
焦点在轴上
焦点在轴上
【问题】如何有效的描述椭圆？椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？
（二）阅读精要，研讨新知
【研究对象】焦点在轴上，
1.范围
图形表现
坐标关系
因为，
所以椭圆落在围成的矩形中.
2.椭圆的对称性
图形表现
坐标关系
（1）把换成，方程不变，则椭圆关于轴对称；
（2）把换成，方程不变，则椭圆关于轴对称；
（3）把换成，同时把换成，方程不变，则
椭圆关于原点对称；
坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的中心.
3.顶点与长轴、短轴
图形表现
坐标关系
椭圆与它的对称轴的四个交点称为椭圆的顶点.
长轴：线段，长轴长；
短轴：线段，短轴长；
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4.离心率
图形表现
坐标关系
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，
用表示，即
离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆
【总结提升】焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？（与焦点在轴上的椭圆的几何性质类比认知）
图形
方程
范围
对称性
关于轴、轴、原点对称
焦点
顶点
离心率
【例题研讨】阅读领悟课本例4（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：椭圆的标准方程为，所以
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率，，
两个焦点为，四个顶点坐标为，
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6、例7（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）
例5如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上 .由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，cm，cm，试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程(精确到0.1 cm).
解： 建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，
设所求椭圆方程为
在中，
由椭圆的性质知，，
所以，
所以，所求的椭圆方程为
例6动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
解：如图3.1-12, 设是点到直线的距离，根据题意，
动点的轨迹就是集合，
由此得，化简得，即
所以，点的轨迹是长轴，短轴长分别为10，6的椭圆.
例7 如图3.1-13,已知直线和椭圆，
为何值时，直线与椭圆：
（1）有两个公共点?
（2）有且只有一一个公共点?
（3）没有公共点?
解：由方程组 ①
方程①的根的判别式
（1）由，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
（2）由，此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
（3）由，或，此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.
【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A. 椭圆的焦点坐标为
B. 椭圆的短半轴长为1，离心率,则长轴长的取值范围为
C. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则
D. 椭圆上的点到它的左焦点的最远距离等于9，最近的距离等于1
解：由已知，得，焦点在轴上，，故焦点为，A正确；
对于B，因为,所以,又，所以，，即，又,所以,从而,故长轴长满足，故B错误；
对于C，，，所以，正确；
对于D，椭圆为，所以，椭圆上的点到它的左焦点的最远距离为，
最近的距离为，正确，故选ACD
2. 离心率，焦距为16的椭圆的标准方程为 .
解：由已知解得
所以椭圆的标准方程为或
3. 已知分别为椭圆的左、右焦点, 为椭圆上一点, 为坐标原点,
且 , ,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：如图,取的中点为,连接,所以
因为，即，所以，即
令,则,又
所以，即，即,故选C.
4. 已知为椭圆上一点, 为椭圆焦点,且,则椭圆离心率的范围是 ( )
A. B. C. D.
解：由已知，，又，
所以
又，所以椭圆离心率的范围是，故选D.
5. 已知点是椭圆上的一点, 是椭圆上的两个焦点.
（1）当时,求的面积.
（2）当为钝角时,求点横坐标的取值范围.
解：（1）令，由椭圆的定义,得 ①
在中, 由余弦定理得，即 ②
所以
所以
（2）设点,由已知为钝角,得，又
所以，即，又
联立解得
所以点横坐标的取值范围是
（四）归纳小结，回顾重点
图形
方程
范围
对称性
关于轴、轴、原点对称
焦点
顶点
离心率
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题3.1 3、4、7、8、11、12、13、14
2.阅读课本《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》
3.预习3.2 双曲线
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
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