高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时5数列求和的方法(一)
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法(一)
6.数列求和的方法(二)
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子(如购房房贷、人口增长等),也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,前面我们用巧妙的“倒序相加法”和“错位相减法”推导出了等差数列和等比数列的前n项和公式.其实人们对数列求和问题的兴趣由来已久,大约在公元前1800年,古埃及的“加罕纸草书”上就记载了等差数列的求和问题,同样地,等比数列的求和也是人们很早就感兴趣的问题.后来,人们开始探索求正整数的平方、立方、4次幂以至n次幂之和的公式.那么今天我们就一起来研究数列求和的方法,首先回顾一下学过的各种公式.
【学生认真听讲,积极思考,教师引导学生记好笔记】
师:谈到数列求和,大家立刻想到的是什么?
生:等比数列前n项和公式、等差数列前n项和公式.
师:我们首先复习回顾下数列的求和公式,它们分别是什么?
生:(1)等差数列的前项和公式:.
(2)等比数列的前n项和公式:
师:很好!接下来再给大家补充几个公式,在具体的问题情境中应用即可.
【先学后教】
在具体的数学情境中,教师引导学生回忆,数列求和公式补充,明确学习目标,然后讲授,培养观察记忆能力.
教学精讲
【要点知识】
数列求和公式补充
.
2..
3..
师:上述公式第1个是首项为1且公差也为1的等差数列的求和公式,第、个不是等差数列,也不是等比数列,是两种计算上有规律的数列,它们的求和公式同学们也要记住,在具体的问题中去合理应用.
【说明论证能力】
在现实情境中理解数列求和推导过程,说明论证重要方法,熟悉掌握相关步骤,培养说明论证能力.
【学生认真听讲,积极思考,做好笔记】
师:今天课上重点要学的知识是数列求和的方法,我们接触最多的、最熟悉的就是等差数列、等比数列,那么这两种数列前项和公式的推导过程,同学们还有印象吗?
【学生在教师的引导下,复习教材,积极思考】
生:等差数列的一种推导方法是倒序相加法,等比数列的推导方法是错位相减法.
师:很好!那么这两种推导方法也是数列求和的两种重要方法!因为我们在以后的问题中,有可能会遇到很多不明类型的数列,不能直接利用公式计算,所以就需要借助这些方法完成求解.首先,我们具体来看一下倒序相加法,先来看这道例题.
【典型例题】
倒序相加法的应用
例1 已知函数,当时,有.若,则____________.
师:这道题目看似是函数问题,实则是数列问题,只不过是借助函数的表示形式,分析题意可知,是要求数列的前项和.可以观察得到:自变量也构成了一个数列,且是等差数列,所以等差数列求前项和借助什么方法?倒序相加法,这道题虽然不一定是等差数列,但是我们可以用倒序相加法去分析数列的前项和.好的,同学们可以分成小组,小组内讨论,怎样使用倒序相加法?
【以学论教】
在特定问题情境中,教师以学生学习疑问为中心,分解题目,引导学生发散思维,思考求和方法的推理过程,有助于学生对知识的理解和掌握.
【自主学习】
教师引出思考,引导学生自主探究,积极思考推导公式的思路并解决问题,从而自主研究,自主学习.
【学生积极思考,组内积极交流讨论,计算演算,教师巡视检查学生完成情况】
师:看到很多同学写出了这些式子:
【典例解析】
倒序相加法的应用
解:设①
则②
①和②相加得
③
所以得④
【猜想探究能力】
教师提出疑问,启发思考,学生根据问题,猜想可能的情况,加深对分类讨论的数学思想的理解,培养多角度思考问题、猜想探究的能力.
师:有了第三个式子,我们就可以根据题意计算前项和了.但是,同学们,你们注意到一个问题了吗?首尾两项依次相加,最后是有多少组这样的数对呢?也就是这里边的是奇数还是偶数呢?我们是不是需要对进行分类讨论?
【教师启发学生继续思考,对分类讨论,确定前项和】
生:计算得出:
①当时,;
②当时,.
师:完成得很好!注意到了对进行分类讨论.但是,同学们,我们在数列的概念一节里谈到过前项和与通项公式的关系:若数列的前项和为,通项公式为,则.其中很重要的一点就是要验证第1项符不符合得出的前项和公式,所以这个题目要做完善,还需要补充一点验证,即当时的成立情况.
【典例解析】
倒序相加法的应用
解:①当时,;
②当时,;
③当时,,也符合.
综合①②③得.
师:通过上述这个题,我们对倒序相加法的解题过程又进行了整理,另外我们也对最开始学过的前项和的概念进行了复习.下面我们把倒序相加法这种方法再具体总结一下.
【概括理解能力】
通过例题讲解,增强学生对倒序相加法的理解和掌握,培养概括理解能力.
【意义学习】
通过教师补充当n=1时,验证求和公式的成立情况.让学生进行有意义的学习,锻炼了思维的严谨性.
【要点知识】
倒序相加法
如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列的前项和即是用此法推导的.
应用情境:如果一个数列前项中距首末两端等“距离”的两项之和都相等,则用倒序相加法求和,即,两式相加求出.
【意义学习】
由老师直接讲述倒序相加法.学生积极思考理解倒序相加法的解题思路,促进本节课的课堂效果.
师:理解了倒序相加法的解题思路和需要注意的地方之后,我们再练习一道题目.
【巩固练习】
倒序相加法的应用
设,求的值.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
生:计算得出,∵.
设,则.

∴原式.
【自主学习】
在学生理解了倒序相加法相关概念和运用情况后,教师补充相关练习题目,让学生独立思考,自主完成,提高学生自主学习的能力.
【简单问题解决能力】
教师将问题拆分细化为可执行的几小问,并由不同的学生回答解决,既降低了题目的难度,又增强了学生思考的联系力.提高简单问题解决能力.
师:倒序相加法是等差数列前项和公式的推导方法,我们要对这种解题过程熟悉,对常应用的题目情境也要熟悉.同学们,另一个很重要的数列等比数列,它的前项和公式的推导方法是什么呢?
生:错位相减法.
师:我们同样以一道例题,对这种方法再深入研究一下.
【典型例题】
错位相减法的应用
例2 已知是各项均为正数的等比数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)为各项非零的等差数列,其前项和为,已知,求数列的前项和.
【推测解释能力】
在熟悉的问题情境中,根据错位相减法的原理和步骤总结,推导出题目的解题过程,锻炼学生的推测解释能力.
师:这道问题是已知数列模型的,所以我们可以利用数列相关知识进行思考计算.首先第(1)问请一位同学回答一下,用什么办法可以求出通项公式?
生:可以列方程组,设的公比为,由题意知,又,由以上两式联立方程组解得,所以.
师:注意到了是各项均为正数的等比数列.对于第(2)问,要求的是新数列的前项和,已知数列是等比数列,数列是等差数列,但是数列是什么类型我们不能确定,所以需要借助求和方法来运算.首先先请一位同学把数列的通项公式求出来.
生:根据等差数列前项和公式和等差中项的概念,可知,又,所以.
师:很好!所以我们现在就得到了新数列的通项公式.
【典例解析】
错位相减法的应用
解:令,则.因此,又,
两式相减得,所以.
师:大家看到上述求前项和的过程,是错位相减法,是推导出等比数列前项和公式的思路方法,很重要.在综合性的大题中经常考到,那么我们一起总结下这种方法的含义及使用情境.
【以学定教】
教师提示思路,运用所学的错位相减法的知识解决问题,巩固所学知识,体现以学定教.
【要点知识】
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用此法来求,如等比数列的前项和就是用此法推导的.
应用情境:若数列是等差数列,数列是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为,当求该数列的前项的和时,常常采用将的各项乘公比,然后错位一项与的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法.
【概括理解能力】
通过对例题的分析解答,师生共同概括总结出错位相减法的相关概念和应用情境,提高学生的概括理解能力.
师:理解了错位相减法的解题思路和需要注意的地方之后,我们再练习一道题目.
【巩固练习】
错位相减法的应用
在数列中,,点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知,求.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
生:计算得到,(1)由条件知.
∴数列是以1为首项,以2为公差的等差数列.∴.
(2)①,.②
由①-②得,
∴.
师:同学们,本节课我们对数列求和进行了深入探讨,主要围绕着数列求和的哪些方法?请同学给全班总结一下.
【课堂小结】
数列求和的方法(一)
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
【设计意图】
回顾本节课所学重点内容,在梳理知识过程中加强对数列求和的两种方法即倒序相加法和错位相减法知识的理解.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.