高中4.3 等比数列教案及反思

这是一份高中4.3 等比数列教案及反思，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时2等比数列的性质及应用
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法(一)
6.数列求和的方法(二)
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子(如购房房贷、人口增长等),也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,首先请阅读教材,自主学习一下这个例题,如果我们用10000元购买某个理财产品一年,以月利率0.400%的复利计息,12个月能获得多少利息?这个实际问题中蕴含着哪个数列模型?
生:属于等比数列,计算得到12个月后的利息为491元.
师:很好.这个题目就是属于实际问题中的等比数列模型,要想快速的解决问题,就要先还原成数学语言,把这个等比数列的首项和公比确定出来.第一问属于复习我们上节课内容,利用方程思想求数列.第二问是要求利息的取值范围,同学们思考一下,该怎样去列式确定范围呢?
【设情境 巧引入】
从日常生活实例中,思考其中蕴含的数学知识,将等比数列的通项公式运用在实例中,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
【典型例题】
通项公式的简单应用
例1 用10000元购买某个理财产品一年,若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到)?
师:由第一问的基础,我们可以设季度利率为,这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列,那么也是等比数列,这个数列的首项和公比各是多少?注意是复利,是把前一期的利息和本金之和算作本金,再计算下一期的利息.
【学生积极思考,合作交流,回答问题,教师指定同学回答解题思路】
生:首项,公比为.
师:很好.所以存4个季度之后的利息也就是,令大于等于第一问的结果,则可以得到季度利率的范围.
【少教精教】
教师提示解题思路,指定学生讲解,学生独立完成,列出不等式,教师少教,提示关键信息,让学生自主探究等比数列的性质,以达到精教的目的.
师:同学们,由这道题,大家发现我们存入的钱时间越长,得到的利息会越来越多,那么这体现在等比数列上,是等比数列的一个什么性质呢?
【要点知识】
等比数列的单调性

【深度学习】
学生以框图的形式理解相关概念,可以加深对等比数列单调性的理解,学生也会形成用框图总结的思维习惯.
师:数列是一种特殊函数,自然数列也是有单调性的,但是等比数列,大家要注意除了注意公比的正负还需要注意首项的正负,综合确定数列的单调性.再来看一道利用等比数列性质解决问题的题目.
【典型例题】
等比数列的性质及应用
例2 已知数列的首项.
(1)若为等差数列,公差,证明数列为等比数列;
(2)若为等比数列,公比,证明数列为等差数列.
师:在这两个问题中,都是求证数列为等比数列或为等差数列,无论是证明等比数列还是证明等差数列,我们都有相同的几个方法?
生:定义法,等差中项法或等比中项法,通项公式法,还有前n项和公式法.
师:很好!但是由于等比数列的前n项和公式我们还没有学,所以在这道例题上,我们重点以前3种方法具体分析一下.接下来分成两个小组,一个小组负责一问,组内讨论使用不同方法证明的过程,最终选定代表同学用一种方法证明即可:
【活动学习】
学生分组学习,分组讨论,在交流讨论中,加深了对知识的理解,完善了自己的解题思路,可以更充分地学习、掌握知识.
【小组内积极发言讨论,学生通过计算推理,确定组内统一的证明过程】
师:两个小组各选一名同学,将你们确定的证明过程写在黑板上即可.
生1:第(1)问证明过程:
由,得的通项公式为,设,则.又,所以,是以27为首项,9为公比的等比数列.
生2:第(2)问证明过程:
由,得,两边取以3为底的对数,得.又,所以,是首项为1,公差为的等差数列.
师:很好.两个小组同学完成得都非常好!经过讨论,你们发现其实不管是利用等比中项还是利用通项公式证明,最终落脚点都是在数列的定义上,不同形式只是为了方便不同题型,所给不同条件的方便之处去选取的.所以大家在学习数学上,要重视基础概念,对概念理解要透彻全面!
【推测解释能力】
在所给问题情境中,学生选择、提取相关的知识,合理推导,解决问题,证明数列为等比数列,等差数列,培养推测解释能力.
师:同学们,再思考这样一个问题:
【情境设置】
等比数列的性质及应用
已知且,如果数列是等差数列,那么数列是否一定是等比数列?如果数列是各项均为正的等比数列,那么数列是否一定是等差数列?
师:接下来还是请我们刚刚的两个小组继续深入探讨这两个证明问题,一个小组负责一问.
【小组内积极发言讨论,学生通过计算推理,确定组内统一的证明过程】
师:好,两个小组各选定一名同学,将你们确定的证明过程书写在黑板上即可.
生1:第一问证明过程:
设等差数列的通项公式为,所以,整理得,,符合等比数列通项公式,首项为,公比为.所以已知且,若是等差数列,则一定是等比数列.
生2:第二问证明过程:
设等比数列的通项公式为,则,符合等差数列通项公式,首项为,公比为.所以已知且,若是各项均为正的等比数列,则一定是等差数列.
【意义学习】
在一个基础问题上再引申出更具概括性的问题,由学生分小组讨论,自主证明,最后由教师针对学生的回答总结出相应的做题方法和具体策略.
师:非常好!其实上述证明是用通项公式来证明数列类型的,我们在证明过程中要注意参量的取值范围.另外补充几个同学们可以记住的结论.
【要点知识】
常见的等比数列

注:若数列是两个项数相同的等比数列,且公比分别为,则数列是公比为的等比数列.另外数列和也是等比数列(其中是常数).
【深度学习】
学生以框图形式理解相关概念,更能加深对等比数列性质的理解,熟记常见形式的等比数列,学生也会形成用框图总结的思维习惯.
师:那么等比数列还具有哪些自己特有的性质呢?仿照等差数列,可以从等比中项的角度同学们一起探索一下.
【要点知识】
等比数列的对称性
1.有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项,则等于中间项的平方),即(为正奇数).
2.任意等比数列中的局部项数关系:若,则.特别地,若,则.
师:由此可见!等比数列和等差数列相似性是很大的,一些性质可以类比去理解,因为知识之间都是相通的.那么我们再看一道等差数列与等比数列综合的问题,把性质综合起来看一下怎么去分析.
【概括理解能力】
教师以学生熟悉的等差数列的概念为基础,让学生类比等差数列性质的推导,探讨得出等比数列的性质,之后教师进行总结讲解,锻炼概括理解能力.
【典型例题】
等比数列与等差数列的综合应用
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品,产品合格率为.从今年1月开始,工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产,以后每月的产量都在前一个月的基础上提高,产品合格率比前一个月增加,那么生产该产品一年后,月不合格品的数量能否控制在100个以内?
师:这是一道实际问题,我们首先要把生活语言还原成数学语言,看里面蕴含着哪些数学知识?首先分析里面的数列,有几个?各是什么数列模型?
生:有两个,一个是各月的产量,构成数列,另一个是产品不合格率,构成数列,数列是等比数列,数列是等差数列.
师:很好!在这里要注意分清题目条件中“提高”和“增加”的区别,所以一个数列是等差数列,一个数列是等比数列.那么题目问的是:月不合格品的数量,所以实际上要求的是数列,而数列既非等差数列又非等比数列,那怎么去解决问题?是不是可以先把数列和的通项公式描述出来,然后再综合二者的性质去解决?请同学先说一下二者的通项公式.
生:由题意,知,其中.
师:很好!注意到的取值范围,是1到24的正整数,因为是求两年之内的不合格品数量,所以我们得到.
师:得到的这个数列一定具有其自身的单调性或对称性,我们可以先由计算工具计算观察一下有没有变化规律.经计算得出:

【学生在教师的引导下,阅读教材,观察表格中数据的变化特征】
师:观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,所以只要设法证明当时,递减,且即可.那么怎么去证明这一点呢?回想证明比较大小的方法,是不是有作差比较法和作商比较法?在这里我们可以选用作商比较法,即由,得.所以,当时,递减,又,所以,当时,.
【综合问题解决能力】
分析题目条件,在不熟悉的问题情境中,找出数学模型,运用相关解题方法计算得到新的解题规律,锻炼学生的综合问题解决能力.
【少教精教】
由问题引导出要学习的内容,以表格启发学生自己思考数据的变化规律,以学生自己思考探索为主,教师少教精教.
师:同学们,我们最后再总结一下这道题,题目要求的数列既非等比数列又非等差数列,但是我们可以把其拆开,单独去分析每一个数列的性质,最后综合起来分析解决问题,注意调动多种方式去探究问题规律,同时注意题目自身条件的限制范围.那接下来我们做一些练习题巩固一下本节课所学知识.
【巩固练习】
等比数列的对称性
1.求满足下列条件的数:
(1)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列;
(2)在160与中间插入4个数,使这6个数成等比数列.
2.设数列都是等比数列,分别研究下列数列是否是等比数列.若是,证明结论;若不是,请说明理由.
(1)数列,其中数列,其中.
3.某汽车集团计划大力发展新能源汽车,2017年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中,后一年新能源汽车的产量都是前一年的,那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)?
4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105,力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)?
5.已知数列的通项公式为,求使取得最大值时的的值.
【综合问题解决能力】
通过巩固练习,回顾所学等比数列的性质,并会用其性质解题,锻炼学生的综合问题解决能力.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等比数列的性质及应用.下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
等比数列的性质及应用
1.等比数列的单调性;
2.在已知等比数列的基础上构造新的等比数列;
3.等比数列的对称性.
4.等差数列与等比数列综合应用.
师:很好!通过本节课的学习,要深度理解等比数列和指数函数的区别和联系,会利用等比数列的性质去解决相关问题.在等差数列中我们学过了前项和的概念,那么等比数列的前项和具体是怎样的?有哪些计算特点?我们下节课再去探讨.
【设计意图】
梳理本节课所学重点知识,巩固学生对等比数列性质与应用的理解,体现整体学习.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.