高中人教A版 (2019)4.2 等差数列教案设计

这是一份高中人教A版 (2019)4.2 等差数列教案设计，共6页。教案主要包含了知识回顾，新课引入，形成概念，概念应用，典例讲解，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

《等差数列及其通项公式》教学设计
一、知识回顾
1.数列的定义是什么?
2.与有什么区别?
3.函数与数列有什么联系?
设计意图:以问题的形式回顾上节课所学的内容,为学习等差数列作铺垫.
二、新课引入
问题提出:
1.从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,得到的数列是什么?
2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m,那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位:m)组成一个什么数列?
3.某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3min,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费按从小到大的次序组成一个什么数列?
师:以上三个问题中的数蕴含的数列分别是什么?
生:①0,5,10,15,20,25,…；
②18,15.5,13,10.5,8,5.5；
③0.2,0.3,0.4,0.5,….
师:这三个数列都是本节课我们要学习的数列——等差数列.
设计意图:由实例引入,体现出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.
三、形成概念
1.等差数列的定义
师:请同学们思考下列三个问题:
问题1 上述数列有什么共同特点?
问题2 根据上述数列的共同特点,你能给出等差数列的一般定义吗?
问题3 你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?
学生分组讨论,选代表给出讨论的结果.
说明:学生可能会有不同的答案,比如说前数和后数|的差符合一定规律,这些数都是按照一定顺序排列的……只要合理,教师就要给予肯定.
教师归纳总结:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.可用数学符号语言表示为或.
2.等差中项的定义
师:如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么应满足什么条件?
生:因为组成了一个等差数列,那么由等差数列的定义可以知道,所以就有.
师:由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.
3.等差数列的通项公式
师:已知一个等差数列的首项是,公差是,如何求出它的任意项呢?
学生分组探究,归纳总结通项公式,得到
,
,
,,
……
由此归纳猜想得到等差数列的通项公式是.
教师总结:以为首项,为公差的等差数列的通项公式为.
设计意图:分析三个具体的实例,使学生体会到等差数列的共同特点:“从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”,落实对等差数列概念的准确表达,培养学生的归纳能力和数学抽象核心素养.
四、概念应用
师:请同学们根据等差数列的定义完成下面这道题.
练一练:判断下列数列是否是等差数列.若是,指出公差.
(1);
(2);
(3);
(4).
学生完成后,教师订正并强调求公差应注意:公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒;而且公差可以是正数,负数,也可以为0.
设计意图:强化学生对等差数列“等差”特征的理解和运用.培养学生的归纳推理能力,帮助学生理解等差数列的本质并记准等差数列的通项公式.
五、从函数角度理解等差数列的通项公式
师:观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?
学生分组讨论,并发表意见.
教师总结:根据等差数列的通项公式得到.
所以,当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即.
师:等差数列的图象与函数的图象有什么关系?
学生分组讨论,并发表意见.
教师总结:公差的等差数列的图象是点(,组成的集合,这些点均匀分布在直线上.
设计意图:引领学生探究等差数列与函数的关系,提高学生对等差数列的认识,培养逻辑推理核心素养.
六、典例讲解
例1 (1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;
(2)求等差数列的第20项.
(1)师:根据这个等差数列的通项公式,你能写出这个数列的第项和第1项吗?
生:当时,由的通项公式,可得.
把代入通项公式,得.
师:根据等差数列的定义,如何求公差?
生:.
(2)师:这个等差数列的首项和公差分别是什么?
生:首项和公差分别是.
师:如何求出它的第20项呢?
生:把代入,得.
把代入上式,得.
例2 -401是不是等差数列的项?如果是,是第几项?
师:你能用解答例1(2)的方法,求出这个等差数列的通项公式吗?
(找一名学生板演)
生:由,得这个数列的通项公式为.
师:判断是不是这个等差数列中的项,可转化为一个什么问题?
(找一名学生回答并板演)
生:由题意可知,本题是要回答是否存在正整数,使得成立.
板演:令,解这个关于的方程,得.
所以,是这个数列的项,是第100项.
设计意图:通过习题的讲解和训练使学生深入理解等差数列的概念,并能灵活运用等差数列的通项公式解题.
练习:已知等差数列.
(1)求这个数列的第30项.
(2)是不是这个等差数列的项?如果是,是第几项?
解:(1)由已知条件,得.
把代入,得.
把代入上式,得.
(2)由(1)得,令,解这个关于的方程,得.
所以,是这个数列的项,是第20项.
设计意图:通过练习,及时训练所学知识,加深对公式的记忆.
七、课堂小结
1.等差数列的定义:数学符号语言表示为或,其中是等差数列的公差.
2.等差中项的定义:由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.
3.等差数列的通项公式:.
八、布置作业
教材第15页练习第题.
板书设计:
第1课时等差数列及其通项公式
一、知识回顾
二、新课引入
三、形成概念
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.可用数学符号语言表示为或
2.等差中项的定义
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项
3.等差数列的通项公式

四、概念应用
五、从函数角度理解等差数列的通项公式
六、典例讲解
例1
例2
练习
七、课堂小结
1.等差数列的定义
2.等差中项的定义
3.等差数列的通项公式
八、布置作业
教学研讨:
本节课以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以师生相互补充的形式展开教学,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率.在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认知能力.体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动,勇于探索的学习方式”.