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人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案设计，共7页。教案主要包含了创设情境,导入新课，探究新知，例题剖析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
《基本初等函数的导数》教学设计
一、创设情境,导入新课
1.函数的导函数是怎么定义的?怎样求函数的导数?
2.对于基本初等函数,除了利用导数的定义求其导数外,有没有简便的导数公式快速求出函数的导数呢?
设计意图:
回顾函数的导函数的定义,引入新课.
二、探究新知
1.合作探究1
师:求函数在处的导数的步骤是怎样的?
生:第1步,求的变化量;
第2步,求平均变化率;
第3步,取极限,得导数.
师:若中的变为自变量,此时是否为函数的导函数?若是,则求导函数的步骤是怎样的?
生:是的,求导函数的步骤和求函数在某一点处的导数是类似的,只需将在求某一点处的导数的步骤中的变为.
2.教师精讲1
求函数的导数的步骤:
第1步,计算,并化简;
第2步,观察当时,无限趋近于哪个定值,注意是的函数,视为常量;
第3步,无限趋近的定值,就是函数的导数.
师:求出平均变化率,此时有两个量和,把谁看作变量?
生:要把其看作关于的函数,视为常量.,即可得到.
3.合作探究2
师:试求函数(1)的导函数,若表示路程关于时间的函数,利用导函数分析其物理意义.
生:(1)因为,所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
(2)因为1,所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
师:试求函数(3)(4)的导数.
生：(3)因为,
所以.
(4)因为,
所以.
师:(3)从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:
当时,随着的增加,越来越小,减少得越来越慢;
当时,随着的增加,越来越大,增加得越来越快.
(4)表示函数的图象上点处切线的斜率为,这说明随的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数.
师:求函数的导数,并求曲线在点处切线的倾斜角.
生:因为,
所以.
所以.
故曲线在点处切线的倾斜角为.
师:试求函数的导数.
生：因为,
所以.
师:对于,当时,分子和分母均趋近于0,要求其极限,如何对其进行变形整理?
生:分子和分母同乘分子的有理化因式.
设计意图:
通过求六个函数的导数,进一步巩固利用导数的定义求函数导数的方法和步骤.
4.教师精讲2
基本初等函数的导数公式
1.若(为常数),则;
2.若,且,则;
3.若,则;
4.若,则;
5.若,且,则;
特别地,若,则;
6.若,且,则;
特别地,若,则.
师:对于简单函数的求导,关键是合理转化,将函数关系式转化为可以直接利用公式的基本初等函数,以免求导过程中出现指数或系数的运算错误.
设计意图:
基本初等函数的导数公式是导数运算的基础,因此熟练记忆导数公式是利用导数研究有关问题的必备知识.
三、例题剖析
例1 求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3).
师:哪位同学能完成这道题?(找一名学生板演)
师:利用基本初等函数的导数公式求函数的导数时要注意:
1.若要求导数的函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
2.对于不能直接利用导数公式求导的函数,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
3.要特别注意“与”“与”“与”的导数的区别.
解:(1)因为,
所以.
(2)因为,所以.
(3).
设计意图:
掌握利用导数公式求函数导数的一般思路.
例2 求曲线在点处的切线方程.
师:怎么求曲线在某点处的切线方程?
生:由导数的几何意义知,函数在该处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率,求出斜率即可得到切线方程.
解:因为,所以所求切线的斜率为.又因为,所以所求切线方程为,即.
设计意图:让学生掌握利用导数公式求曲线的切线方程的步骤.
例3 已知函数,直线是曲线的切线,且经过点.
(1)判断点是否是曲线上的点;
(2)求直线的方程.
师:点是否为切点?
生:点不在曲线上,故不是切点.
师:如何确定切点坐标?
生:设切点为,由切点与点的坐标表示出直线的斜率,它就等于,即可求得切点坐标.
解:(1)因为,
所以点不是曲线上的点.
(2)设切点为.
因为,所以曲线在点处的切线的斜率为.
又因为,
所以直线的方程为.
由题意,将代入上式并整理,可得.
由此可解得或.
因此,切点为或,所求切线的斜率为2或.
所以切线方程为或,
即直线的方程为或.
设计意图:
疏通求解与切线有关的综合问题的解题路径,以便快速找到解题的突破口.
四、课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获与体会?与同伴交流一下吧!
五、布置作业
教材第75页练习第题.
板书设计:
5.2.1 基本初等函数的导数
一、创设情境,导入新课
二、探究新知
基本初等函数的导数公式
1.若(为常数),则;
2.若,且,则;
3.若,则;
4.若,则;
5.若,且,则;
特别地,若,则;
6.若,且,则;
特别地,若,则.
三、例题剖析
例1
例2
例3
四、课堂小结
五、布置作业
《基本初等函数的导数》教学设计
一、创设情境,导入新课
1.函数的导函数是怎么定义的?怎样求函数的导数?
2.对于基本初等函数,除了利用导数的定义求其导数外,有没有简便的导数公式快速求出函数的导数呢?
设计意图:
回顾函数的导函数的定义,引入新课.
二、探究新知
1.合作探究1
师:求函数在处的导数的步骤是怎样的?
生:第1步,求的变化量;
第2步,求平均变化率;
第3步,取极限,得导数.
师:若中的变为自变量,此时是否为函数的导函数?若是,则求导函数的步骤是怎样的?
生:是的,求导函数的步骤和求函数在某一点处的导数是类似的,只需将在求某一点处的导数的步骤中的变为.
2.教师精讲1
求函数的导数的步骤:
第1步,计算,并化简;
第2步,观察当时,无限趋近于哪个定值,注意是的函数,视为常量;
第3步,无限趋近的定值,就是函数的导数.
师:求出平均变化率,此时有两个量和,把谁看作变量?
生:要把其看作关于的函数,视为常量.,即可得到.
3.合作探究2
师:试求函数(1)的导函数,若表示路程关于时间的函数,利用导函数分析其物理意义.
生:(1)因为,所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
(2)因为1,所以.
若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
师:试求函数(3)(4)的导数.
生：(3)因为,
所以.
(4)因为,
所以.
师:(3)从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:
当时,随着的增加,越来越小,减少得越来越慢;
当时,随着的增加,越来越大,增加得越来越快.
(4)表示函数的图象上点处切线的斜率为,这说明随的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数.
师:求函数的导数,并求曲线在点处切线的倾斜角.
生:因为,
所以.
所以.
故曲线在点处切线的倾斜角为.
师:试求函数的导数.
生：因为,
所以.
师:对于,当时,分子和分母均趋近于0,要求其极限,如何对其进行变形整理?
生:分子和分母同乘分子的有理化因式.
设计意图:
通过求六个函数的导数,进一步巩固利用导数的定义求函数导数的方法和步骤.
4.教师精讲2
基本初等函数的导数公式
1.若(为常数),则;
2.若,且,则;
3.若,则;
4.若,则;
5.若,且,则;
特别地,若,则;
6.若,且,则;
特别地,若,则.
师:对于简单函数的求导,关键是合理转化,将函数关系式转化为可以直接利用公式的基本初等函数,以免求导过程中出现指数或系数的运算错误.
设计意图:
基本初等函数的导数公式是导数运算的基础,因此熟练记忆导数公式是利用导数研究有关问题的必备知识.
三、例题剖析
例1 求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3).
师:哪位同学能完成这道题?(找一名学生板演)
师:利用基本初等函数的导数公式求函数的导数时要注意:
1.若要求导数的函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
2.对于不能直接利用导数公式求导的函数,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
3.要特别注意“与”“与”“与”的导数的区别.
解:(1)因为,
所以.
(2)因为,所以.
(3).
设计意图:
掌握利用导数公式求函数导数的一般思路.
例2 求曲线在点处的切线方程.
师:怎么求曲线在某点处的切线方程?
生:由导数的几何意义知,函数在该处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率,求出斜率即可得到切线方程.
解:因为,所以所求切线的斜率为.又因为,所以所求切线方程为,即.
设计意图:让学生掌握利用导数公式求曲线的切线方程的步骤.
例3 已知函数,直线是曲线的切线,且经过点.
(1)判断点是否是曲线上的点;
(2)求直线的方程.
师:点是否为切点?
生:点不在曲线上,故不是切点.
师:如何确定切点坐标?
生:设切点为,由切点与点的坐标表示出直线的斜率,它就等于,即可求得切点坐标.
解:(1)因为,
所以点不是曲线上的点.
(2)设切点为.
因为,所以曲线在点处的切线的斜率为.
又因为,
所以直线的方程为.
由题意,将代入上式并整理,可得.
由此可解得或.
因此,切点为或,所求切线的斜率为2或.
所以切线方程为或,
即直线的方程为或.
设计意图:
疏通求解与切线有关的综合问题的解题路径,以便快速找到解题的突破口.
四、课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获与体会?与同伴交流一下吧!
五、布置作业
教材第75页练习第题.
板书设计:
5.2.1 基本初等函数的导数
一、创设情境,导入新课
二、探究新知
基本初等函数的导数公式
1.若(为常数),则;
2.若,且,则;
3.若,则;
4.若,则;
5.若,且,则;
特别地,若,则;
6.若,且,则;
特别地,若,则.
三、例题剖析
例1
例2
例3
四、课堂小结
五、布置作业
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