数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案设计

这是一份数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案设计，共19页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《导数在研究函数中的应用》教学设计
课时1函数的单调性与导数
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
函数的单调性与导数
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
直观想象
逻辑推理
数学抽象
【考查内容】
1.利用导数研究函数的单调性
2.利用导数研究函数的极值
3.利用导数研究函数的最值
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
函数的极值与导数
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
函数的最大(小)值与导数
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
一、本节内容分析
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.变化规律可用函数性质来描述.导数方法是研究函数性质的方法.本节主要包括三方面内容:一是利用导数研究函数的单调性;二是利用导数研究函数的极值;三是利用导数研究函数的最值.
在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题.其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力.激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
数学建模
核心素养




二、学情整体分析
本节课是在学习导数的概念、运算的基础上继续深入学习的,学生已经了解了一些解题的基本思想和方法,应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生,所以本节的学习应让学生能够多参与、多思考,培养他们的分析问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力.在课堂教学中,应该把以教师为中心转向以学生为中心,把学生自身的发展置于教育的中心位置,为学生创设宽容的课堂气氛,帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展认知能力,充分调动学生学习的积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
【教学目标设计】
1.导数的简单应用,包括求函数的极值、最值、单调区间和判断函数的单调性等.
2.综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性结合在一起.
【教学策略设计】
根据新课标高中数学的教学实际及本节课的内容特点,本部分的教学先从几个基本问题入手,在解决基本问题的过程中唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾,为实现本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上主要采取以下的策略:
(1)结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的单调性(求单调区间)的方法与步骤.
(2)结合函数图象,直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系,建立函数的极大值、极小值的概念.
(3)借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
(4)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤.
(5)通过适量的综合性练习,让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.利用导数判断函数单调性.
2.利用导数求函数的极值.
3.利用导数求函数的最值.
难点:
1.求解函数单调性的方法.
2.准确求函数极值.
3.准确求函数最值.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:判断函数的单调性有哪些方法?比如判断的单调性,如何进行?
生:用定义法、图象法.
师:因为二次函数的图象我们非常熟悉,可以画出其图象,指出其单调区间,再想一下,有没有需要注意的地方?
生:注意定义域.
师:如果遇到函数,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图象吗?
师:定义是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图象,那该如何解决呢?
师:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【设计意图】
通过复习回顾,巩固旧知.从已学过的知识(判断二次函数的单调性)入手,提出新的问题(判断三次函数的单调性),引起认知冲突,激发学习的兴趣.
教学精讲
探究1 函数的单调性与导数
【情境设置】
观察函数图象的变化
如图(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数.
如图表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

生:通过观察图象,可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即单调递增.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即单调递减.相应地,.
师:对于高台跳水问题,可以发现:
当时,,函数的图象是“上升”的,函数在上单调递增;当时,,函数的图象是“下降”的,函数在上单调递减.这种情况是否具有一般性呢?
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即单调递增.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即单调递减.相应地,.
【先学后教】
从具体的实际情境出发,提出本节课要探索的问题:函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的“源”,巧妙设问,把学习任务转移给学生;让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识,明确研究课题.
【猜想探究能力】
通过观察二次函数图象的变化,猜想适合函数的模型,从而探讨函数的性质,提升猜想探究能力.
【巩固练习】
画出下列函数的图象
(1),(2),(3),(4).
【学生在笔记本上独立完成】

师:导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?观察上面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
生:(1)函数的定义域为,并且在定义域上是增函数,其导数;
(2)函数的定义域为,在上单调递减,在上单调递增;而,当时,其导数;当时,其导数;当时,其导数;
(3)函数的定义域为,在定义域上为增函数;而,若,则其导数,当时,其导数;
(4)函数的定义域为,在上单调递减,在上单调递减,而,因为,所以.
师:以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
师:如图,导数表示函数的图象在点处的切线的斜率.观察图象回答,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?

生:在处,,切线是“左下右上”的上升式,这时,函数在附近单调递增;
在处,,切线是“左上右下”的下降式,这时,函数在附近单调递减.
【自主学习】
从具体的函数出发,体会数形结合思想的运用,让学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的过程,降低思维难度,让学生在老师的引导下自主学习和探索,提高学习的成就感和自信心.
【概括理解能力】
通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论,形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程,体会函数单调性与导数的关系.
师:根据以上的研究过程,我们总结一下.
【要点知识】
函数的单调性与导数的关系
设函数在某个区间内有导数,则在这个区间上,
(1)若,则在这个区间上为增函数;
(2)若,则在这个区间上为减函数;
(3)若恒有,则在这一区间上为常函数.
反之,若在某区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0;若在某区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0).
注意:而在上递增.
【设活动 深探究】
通过观察,实践、归纳的课堂活动让学生总结出导数与单调性的关系,加深对知识的深化和理解,这是本节课的重点,是今后利用导函数研究函数的重要工具.
师:下面我们根据上面所学来看例题.
【典型例题】
根据导数画出函数图象
例1:已知导函数的下列信息:
当时,;
当,或时,;
当,或时,
试画出函数图象的大致形状.
生解:当时,,可知在此区间内单调递增;
当,或时,;可知在此区间内单调递减;
当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数图象的大致形状如图所示.
【学生思考,并在笔记本上画出函数图象】

【自主学习】
让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利用导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解,为今后学习扫清障碍.
师:接下来我们来看下一题.
【典型例题】
求函数的单调性和区间
例2:判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
生解:(1)因为,所以在上单调递增,如图(1)所示.

(2)因为,所以.
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减;
函数的图象如图(2)所示
(3)因为,所以,
,因此,函数在单调递减,如图(3)所示.
(4)因为,所以___________.
当,即_________时,函数_________;
,即_________时,函数______________;
函数的图象如图(4)所示.

(5)因为,所以.所以,函数在区间和上单调递增.

【概括理解能力】
让学生初步体会用导数的方法确定函数的单调性,加深学生对所学知识的理解与运用.
【整体设计 分步落实】
老师举出实例函数,来研究函数的单调性和区间,也带领学生梳理研究思路,学生从中整理知识.
【简单问题解决能力】
通过学生解决求函数单调性及区间的相关例题,巩固所学知识,提高学生的简单问题解决能力.
【活动学习】
通过课堂实践活动让学生利用导数解决单调性问题时要搞清楚三个步骤,强化对单调性与导函数的关系的理解.
师:通过上面的例题,请同学们总结一下求解函数单调区间的步骤.
【学生发言,教师点拨】
【要点知识】
求解函数单调区间的步骤
1.确定函数的定义域;
2.求导数;
3.在定义域内,不等式或,解出相应的的范围;当时,在相应区间上为增函数;当时在相应区间上为减函数.或者令,求出它在定义域内的一切实数根.把这些实数根和函数上递增的间断点(即的无定义点)的横坐标按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间,判断在各个小区间内的符号.
4.写出的单调区间.
如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
师:下面我们根据上面所学巩固练习.
【典型例题】
求函数单调区间
例3:已知函数,试讨论出此函数的单调区间.
生解:.令.
解得或的单调增区间是:和.
令,解得或.
∴的单调减区间是:和.

【以学定教】
求函数的单调区间是导数与单调性知识的重要应用之一,学生根据例题自行总结求函数单调区间的过程,教师重点强调定义域,这样可以让学生体会用导数判断单调性要比用定义判断简洁的多.
【分析计算能力】
通过学生的跟踪练习,巩固所学知识,培养学生的计算能力,让学生体会求单调区间之前先求定义域的重要.
师:下面我们继续巩固练习.
【典型例题】
求函数单调区间
例4:求函数的单调区间.
【学生自主思考,教师给出解题步骤】
师解:函数的定义域为.对求导数,令解得或或把函数定义域划分成三个区间,在各区间上的正负,以及的单调性如表所示.

所以,在和上单调递增,在上单调递减.

【活动学习】
本探究从学生熟悉的函数图象入手,通过观察、分析图象得出结论,教师引导学生思考应用导数与单调性的关系,体现导数的重要应用.
探究2 函数的变化率快慢与导数大小的关系
师:研究对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况.我们先独立画出这两个函数的图象.
生:

师:通过观察图象.我们发现对数函数的导数为,),在定区域内单调递增.当越来越大时,越来越小,所以函数递增得越来越慢,图象上升得越来越“平缓”.幂函数的导数为,,所以在区间上单调递增.当越来越大时,越来越大,函数递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”.
【以学定教】
老师要让学生理解并掌握函数的变化率问题并能在不同的实际问题情境中合理应用,提升教学能力.
请同学们思考,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
【要点知识】
求解函数y=f(x)的图象
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
【观察记忆能力】
利用导数的正负可以判断函数的增减性,利用导数正负绘制函数的大致图象,培养学生的看图识图能力.
师:根据所学,我们来看例题.
【典型例题】
例5:设,两个函数的图象如图所示.判断,的图象与之间的对应关系
【学生独自思考,小组讨论,回答问题,教师给予肯定或补充】
生解:因为所以.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,在上都是增函数.在区间上的图象比的图象要“陡峭”;在区间上,的图象比的图象要“平缓”.所以,的图象依次是图中的.

师:通过上面的研究实践,我们已经了解函数的单调性与导数的关系,看下面的例题,思考原函数图象与导函数图象间的关系.
【典型例题】
原函数图象与导函数图象的关系
例6:函数的图象如图,则导函数的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.
师:据函数的图象,选择其导函数的图象,解决这样的问题首先要在函数图象上找出所有的增区间和减区间,如上图,明显在上单调递增,在上单调递诚,在上单调递增;然后可以得到导函数在各个单调区间上的符号,即在和上都大于0,在上小于0;只有D选项符合,故选D.请同学们总结一下原函数图象与导函数图象间的关系.
【简单问题解决能力】
通过根据原函数图象判断导函数图象的例题的练习,学生明确解此类问题的步骤,提高学生的解题能力.
生:原函数看增诚,导函数看正负.
【要点知识】
导函数图象与原函数图象间关系
原函数看增减,导函数看正负,即导数的正负决定原函数的增减,增减性与增减性无关.
【概括理解能力】
总结导函数图象与原函数图象的关系,巩固所学知识,提高学生的概括理解能力.
师:我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
函数的单调性与导数
1.函数单调性与导数的关系.
2.求解函数单调区间.
3.原函数图象与导函数图象的关系.
【设计意图】
复习本节课所学函数的单调性与导数的关系,让学生对知识有一个回顾与理解,体现整体学习.
教学评价
从利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发,让学生在新的问题情境中,引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题,在问题解决过程中获得新知,让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系,从而进一步完善数学认知结构.导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点,它是一种有力的工具,可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大(小)值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的捷径,成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁.我们要意识到导数工具的重要性,教学中下最大的功夫进行突破,为今后的深入学习与研究打下坚实的基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的素养目标要求.
根据所学知识,完成下面各题:
1.已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.
解析:本题考查函数的单调性与导数的关系.根据原函数图象的单调性及极值点的情况,得到导函数的零点个数及导函数的正负取值,由此即可得到导函数的图象的大致形状.由函数的图象看出,在轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增,在轴右侧函数无极值点,且是减函数,根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知,导函数在轴右侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在轴右侧无零点,且导函数值恒负,由此可以断定导函数的图象是的形状.( )
答案:
2.函数,则( )
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递减
解析:掌握函数的单调性与导数的关系:在某个区间内,如果0,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
因为函数,定义域为,所以,当时,解得,即函数的单调递增区间为;当时,解得,即函数的单调递减区间为.
答案:
【分析计算能力】
利用导数判断函数的单调区间,先求函数的定义域,重视对数函数的定义域对单调区间的影响.利用导数求函数的极值,导数为零的点不一定存在极值,要进行合理判断.
【综合问题解决能力】
本题已知在切点处的斜率求函数方程及最值,是高考常见考查内容,通过解题,提高学生的综合问题解决能力.
3.已知函数,求函数的极值.
思路:求函数的极值的一般步骤如下:首先令,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性,进而求出函数的极大值和极小值.
解析:因为,所以,令得,.又的定义域为,由得,由得,,所以时,有极小值为1,无极大值.
4.若函数,在点处的斜率为.
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
思路:(1)求出函数的导数,利用切线的斜率,求解即可.(2)求出导函数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最值即可.
解析:(1),即,解得;实数的值为1;
(2)为递增函数,∴,存在,使得,所以,.
教学反思
教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤,切实把关注学生的发展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教学计划.
【以学定教】
启发并引导学生理解以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性和最值问题,理解函数单调性与导数的关系,掌握利用导数求函数极值和最值的方法,侧重导数与函数、数列、不等式的综合应用.
【以学论教】
根据学生实际学习用导数求函数的单调性与极值最值的情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.