高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教学设计，共14页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《二项式定理》教学设计
课时2二项式系数的性质
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
二项式定理
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
逻辑推理
数学抽象
数学运算
【考查内容】
根据二项式定理解决与二项展开式有关的问题
【考查题型】
选择题、填空题
二项式系数的性质
逻辑推理
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对二项式定理的研究与学习,主要介绍二项式定理、二项式系数的性质及应用,这部分内容也是高考重点,二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础,具有较高应用价值和思维训练价值.在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,是计数原理的一个应用.另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备.同时二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可推导出一些组合数的恒等式,这对组合数的认识起到了很好的促进作用.通过本节的学习,学生能掌握二项式定理及二项式系数的性质,并能运用于计算或证明一些简单的问题.学生通过体验二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程,理解从特殊到一般的思维方法,锻炼观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
逻辑推理
数学运算
数学抽象
核心素养





二、学情整体分析
知识上学生已经学习了两个计数原理、组合数的性质等,已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力.同时高二的学生已经基本接触了高中四大数学思想方法,即函数与方程、数形结合、转化化归、分类讨论思想,为突破本节课的难点奠定了基础.由于学生的学习特点存在较大的差异,而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动,学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式,学生能够克服学习差异性问题,学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力,课堂上学生在教师的适当指导下,能够完成本节课的难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【教学目标设计】
1.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.理解和掌握二项式系数的性质,并会应用性质解决相应问题,理解和初步掌握赋值法及其应用.
【教学策略设计】
1.本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示,为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
2.在教学过程中,重视二项式定理性质的推导过程,由直观图形和杨辉三角结合,发现二项式定理的性质,并通过说明论证进行确认,让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程,同时,定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.证明并掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.学生通过观察、讨论、交流、归纳得到二项式系数的性质,掌握二项式系数的性质,并会应用性质解决相应问题,理解和初步掌握赋值法及其应用.
难点 1.能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.从函数的角度理解二项式系数的增减性与最大值,并论证.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:请同学们回顾二项式定理、二项式系数和二项展开式的通项.
【学生短暂思考后可以回答二项式定理、二项式系数和二项展开式的通项】
师:观察猜想展开式的二项式系数有什么变化规律?二项式系数最大的是哪一项?这就是本节课我们要探究的内容.
【设计意图】
复习上节课学习过的二项式定理及相关概念,温故知新,为本节课探究二项式系数的性质做好知识储备.
教学精讲
【情景设置】
探究二项式系数的性质
用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入下面的表格中.通过计算填表,你发现了什么规律?

的展开式的二项式系数
1







2







3







4







5







6







【学生通过计算自主完成表格,回答问题,教师予以肯定.学生不易发现规律,教师鼓励学生说明原因】
师:表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律,如何排表更方便观察呢?早在公元1261年,我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》一书中,就已经出现了这个表,我们称这个表为杨辉三角.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B·Pascal 1623~1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
【设活动 深探究】
学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算,并发现二项式系数具有的一些规律;同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律,进而引发思考:如何排表更方便观察呢?借此自然的引出“杨辉三角”.通过对“杨辉三角”的介绍,让学生了解我国古代数学的伟大成就,加强学生的爱国情感教育.
【情景设置】
杨辉三角

师:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,请同学们从不同的角度观察二项式系数表,探究二项式系数的数字规律,然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法,尝试着证明这些性质,最后请同学代表展示学习成果.提示:不同的角度,如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等等;那又看什么呢?可以看大小、看关系、看和等等.
【学生独立思考,合作交流,通过教师的引导回答,教师予以肯定】
生:观察同一行可以发现两边对称,而且呈中间大两边小的规律;观察上下两行可以发现除两头都是1外,每个数都等于它肩膀上的两个数相加;对每一行的数求和可以发现每一行数字之和是.
【观察记忆能力】
教师引导学生观察杨辉三角,发现规律,归纳出二项式系数的具有对称性,加深学生对二项式系数的认识和理解.提升观察记忆能力.
【整体学习】
该性质是组合数的性质之一,在之前的学习有过证明,此处通过结合二项式定理的知识,另辟途径给出一个别样的证明方法,让学生活学活用知识,并感受思想方法的多样性和重要性.
【情景设置】
探究二项式系数的对称性
通过观察杨辉三角,你能得到二项式的哪个性质?
【教师引导学生观察杨辉三角,回答问题,学生通过归纳,抽象概括出二项式系数具有对称性】
生:由相邻两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和,发现二项式系数满足组合数的性质;与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.也就是说二项式的系数具有对称性.
师:同学们回答得很好,下面我们继续探究它的性质.
【自主学习】
引导学生从数列和函数两个角度分析论证二项式系数的性质,培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力.
【以学论教】
学生通过教师的引导,从不同的角度观察二项式系数表,探究二项式系数的数字规律,多角度认识杨辉三角.学生通过讨论探究获得学习的成就感,并且可以对课本上没有出现的性质补充或者证明,充分肯定学生在学习中的创新精神.
【情景设置】
探究二项式系数的增减性与最大值
问题1:展开式的二项式系数,按顺序排成一列,可以看成是以为自变量的函数吗?它的定义域是什么?
问题2:画出和7时函数的图象,并观察分析它们的对称性、增减性与最大值.
问题3:结合图象,通过相邻项作商证明二项式系数的增减性及最大值(数列单调性的分析方法).
【师生互动,共同完成问题】
师:对于的展开式的二项式系数,我们还可以从函数的角度分析它们.可看成为自变量的函数,其定义域是.对于确定的,我们还可以画出它的图象.
生:

通过和时函数的图象,观察到当时,函数关于对称;当3时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小;最大值为;当时,函数关于对称,当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小;最大值为.同时还发现,直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.
师证明:因为,即,所以,当,即时,随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小.
当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
【猜想探究能力】
学生在教师的引导下通过层层递进的问题串的形式,探究二项式系数的性质,在探究过程中锻炼了学生的猜想探究能力.
师:二项式系数和有什么样的性质?请看下面的例题.
【典型例题】
探究各二项式系数的和
例1 写出的展开式,求的值.
【学生独立完成问题6,得出结论,即的展开式的各二项式系数的和等于】
生:已知,
令,得.
这就是说,的展开式的各二项系数的和等于.
师:现在我们一起整理二项式系数的性质.
【要点知识】
二项式系数的性质
1.二项式系数的对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.
2.增减性与最大值
(1)当时,随的增加而增大;当时,随的增加而减小.
(2)当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
,即的展开式的各二项式系数的和等于.
师:下面我们利用二项式系数性质解决问题.
【典型例题】
赋值法的应用
例2 求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
【学生思考,回答问题,教师予以肯定,教师展示解题过程】
【典型解析】
赋值法的应用
证明:在展开式中,
令得
即
因此
即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
【分析计算能力】
学生在用赋值法探究二项式系数的基础上,继续探究奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和的关系,培养学生的分析计算能力.
【先学后教】
由上述知识的讲授,学生在学习了这些知识的基础上再接受求二项式系数和的方法,展现了先学后教的教学策略.
师:通过例2,同学们能不能归纳总结二项展开式中系数和的求法?
【学生归纳总结,得出结论,教师补充并展示】
【归纳总结】
利用赋值法求系数和
1.对形如的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对的式子求其展开式各项系数之和,只需令即可.
2.一般地,若,则展开式中各项系数之和为.
(1)奇数项系数之和为,
(2)偶数项系数之和为.
师:请同学们及时整理笔记,并完成巩固练习.
【巩固练习】
赋值法的应用
已知,求:
(1);
(2).
【学生书写答题,独立完成,教师予以肯定,教师利用多媒体展示解题过程,规范解答,纠正错误】
生解:(1)由,
令,得,
所以.
(2)在中,
令,得,①
令,得.②
所以
.
师:下面我们继续利用二项式系数性质解决相应问题.
【简单问题解决能力】
通过巩固练习,增强学生对赋值法的理解和掌握力,培养学生的简单问题解决能力.
【推测解释能力】
在熟悉二项式系数增减性和最大值的问题情境中,根据研究二项式系数最大值的方法原理和步骤,推导出求“系数最大的项”的解题过程,锻炼学生的推测解释能力.
【典型例题】
二项式系数性质的应用
例3 在的展开式中,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最大的项.
【教师讲解,学生听课】
师:求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项;求展开式中系数最大的项,必须将的系数均考虑进去,包括“”“”号.
【典型解析】
二项式系数性质的应用
解:(1)由于为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是.
(2)展开式的通项公式为.
假设项系数最大,则有
∴
∴
.
∵.
∴展开式中系数最大的项为.
师:通过例题,同学们能不能归纳总结如何求二项式系数的最大值和展开式中系数最大的项?
【先学后教】
由上述知识的讲授,学生在学习了这些知识的基础上再接受求二项式系数的最大值和展开式中系数最大的项的方法,展现了先学后教的教学策略.
【学生反思总结,得出结论,教师补充并展示】
【方法策略】
求展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项
1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为,且第项系数最大,应用解出,即得系数最大的项.
师:请同学们及时整理，并完成巩固练习.
【巩固练习】
求展开式二项式系数最大的项与中系数最大的项
在的展开式中.
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项?
【综合问题解决能力】
通过巩固练习,增强学生对求二项式系数最大值、项的系数最大值的理解和掌握力,培养学生的综合问题解决能力.
【学生书写答题,独立完成,教师予以肯定.教师展示,规范解答,纠正错误】
【巩固练习】
求展开式二项式系数最大的项与中系数最大的项
解:展开式的通项公式为.
(1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,
故.
(2)设第项系数的绝对值最大,
则即整理得
所以或,故系数绝对值最大的项为第6项和第7项.
【少教精教】
学生独立完成,列出不等式,教师少教,提示关键信息,让学生自主完成巩固练习,以达到精教的目的.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了二项式系数的性质及应用.下面请具体回忆一下本节课的重点概念.
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结知识点】
【课堂小结】
二顶式定理的性质
1.赋值法是求展开式系数和的常用方法,一般对字母赋的值为0,1或.
2.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对中的进行讨论.
(1)当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;
(2)当为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
3.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数的最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为,且第项最大,应用解出,即得系数最大的项.
【概括理解能力】
教师组织学生在小组内发言讨论总结二项式定理主要知识点,互相查漏补缺,有效地检查了学习内容的完整性,达到以学论教的目的,同时也培养了概括理解能力.
【设计意图】
教师引导学生整理知识点,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程.
教学评价
学完本节课,学生应该掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,并能够利用通项公式解决展开式中特殊项的问题;理解和掌握二项式系数的性质,会求二项式系数最大的项;理解和初步掌握赋值法及其应用,会用赋值法求系数和,理解二项式系数的增减性,会求二项式系数最大值,初步掌握用待定系数法求展开式中系数最大的项.
应用所学知识,完成下面各题.
1.化简得( )
A.
B.
C.
D.
解析:原式.
答案:B
2.求的展开式的第三项的系数和常数项.
解析:,所以第三项的系数为.
由通项公式,令,得,所以常数项为.
3.已知,若,求的值.
解析:展开式的通项为,令,得,解得,即.
令,得.
所以.
【设计意图】
3个题目分别针对二项展开式的逆运用、展开式中的特定项、系数和问题,通过演练,学生锻炼自己的推测解释、猜想探究、分析计算、发现创新、解决问题的学科能力,从而达到逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养目标要求.
教学反思
本节课以“二项式定理”及其性质的形成过程为主线,让学生由特殊到一般,演绎、归纳,得出定理,培养学生猜想、归纳能力,整节课以学生为主体,师生互动,体现了新课标的教学理念.
以学生为主体,让学生自己去探索、发现、再创造,最能调动学生的积极性,最有利于培养学生的数学能力,特别是创造性能力,从数学教育对人的发展的意义看,有效地理解、主动地探索的认识过程必然对学生心理意志、情感、品质的成长与完善有所帮助,数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身,其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长.
【以学论教】
本节课是二项式定理及二项式系数性质的探究,在教学中注重以学生为主体,教师引导学生自己去探索、发现、再创造,调动学生的学习积极性,达成知识体系和核心素养的培养.