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人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征教学设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征教学设计，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
《离散型随机变量的数字特征》教学设计
课时1 离散型随机变量的均值
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
离散型随机变量的均值
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
数学运算
数学抽象
数学建模
【考查内容】
离散型随机变量的均值、方差、标准差的理解,根据离散型随机变量的均值、方差或标准差解决概率决策问题【考查题型】
选择题、填空题、解答题
离散型随机变量均值的性质
逻辑推理
离散型随机变量的方差与标准差
数学运算
数据分析
一、本节内容分析
本节课的内容是对离散型随机变量的均值和方差的研究与学习,主要介绍离散型随机变量的均值、方差和标准差的概念,反映随机变量取值分布的特征数.方差和标准差反映了随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.如何通过随机变量可能的取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度,要让学生理解偏差平方关于取值概率的加权平均的意义.方差与标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量均值的性质
3.离散型随机变量的方差与标
准差
数学抽象
数学建模
逻辑推理
数学运算
数据分析
核心素养
二、学情整体分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与样本均值作对比,这是一种积极因素,应充分利用.本节课是一节概念新授课,而概念本身具有一定的抽象性,学生难以理解,因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点.此外,学生初次应用概念解决实际问题也较为困难,故把其作为本节课的教学难点.对于方差的概念学生基本上能够理解随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,而样本的方差则是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.学生在做题时遇到的问题应该是随机变量Ⅹ的取值以及相应概率的正确性.另外,在方差的两种计算公式中,如何灵活地选取很重要,计算的正确性值得注意.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量的方差
【教学目标设计】
1通过实例,理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念.
2.能在具体的问题情境中,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题.
3.探索并掌握公式“”,并会运用公式解题.
4.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
5.会比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题.
【教学策略设计】
1.本节课的重点是关注随机变量均值的意义,明确在决策中如何应用.因此本节课要突出概念的抽象过程,揭示均值的意义,本节课以比较两名运动员的射箭水平为问题情境,以频率稳定到概率为依据,由X的观测值的频率分布稳定到Ⅹ的分布列,观测值的平均数稳定到期望值,将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值.通过具体问题情境和典型例题,了解随机变量的均值和观测值的均值的关系,以及在决策中的应用.
2.通过平时接触的考试成绩分析,感受标准差的作用;通过选取射击运动员的例子来理解,只有均值还不能够完全反应随机变量的取值特征,体会引入方差和标准差的必要性;结合偏差平方关于取值概率的加权平均的意义,得出方差的计算公式;探究方差的性质及随机变量方差的实际应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.离散型随机变量的均值概念及计算.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差.
难点:
在具体的问题情境中,求出离散型随机变量的均值和方差,并根据计算结果作出概率决策.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.例如,比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此我们要研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
【设计意图】
由日常生活中的实例,让学生思考解决问题的方法,由学生自己总结出计算射击环数的平均值,引出课题,设置疑问,激发学生学习兴趣.
教学精讲
师:甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数分布列如下.
环数
7
8
9
10
甲射击的概率
乙射击的概率
如果你是教练,你会选择哪位选手参赛?
【学生猜测,教师揭示答案】
生:先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性.
师:如何计算甲射箭的平均环数呢?先看下面的问题,从中有何发现?
问题某商场要将单价分别为18元元元的3种糖果按的比例混合销售.如何对混合糖果定价才合理?
【学生分组讨论,给出解决方案】
方案1:通过算术平均数:元.
方案2:加权平均数:(元).
师:不难看出,方案2更合理一些,这里的权重表示的是该种糖果占全部糖果的比重.
【先学后教】
教师提出问题:如果n种糖果按照一定的比例混合,又该如何定价呢?在学生根据教师列出的数据的特点自主发现规律之后,教师再教授概念.
问题2:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等、形状、大小均相同,从中任取一颗糖,记为这颗糖果的单价,写出的分布列.
【学生分组讨论交流,写出的分布列】
生:
18
24
36
师:同学们列出分布列后,对照一下分布列中每个值对应的概率与上述的权重有何关系?
【学生思考,合作交流,回答问题】
生:权就是离散型随机变量对应的概率.
【教师点评后,总结加权平均值的概念】
【要点知识】
加权平均值的概念
权是离散型随机变量所对应的概率,加权平均值就是随机变量的期望.
【意义学习】
学生根据列出的分布列,思考交流分布列对应概率与权重的关系,得出加权平均值的概念,体现意义学习.
问题3:如果混合糖果中不同糖果共有种,价格分别为,取每种价格的权数即概率依次为,则这种混合糖果的价格可定为多少?如果种糖果按照一定的比例混合,又该如何定价呢?
【学生思考,合作交流,回答问题】
生:.
师:那你现在能解决教练的问题了吗?
【学生类比问题的结果,交流探索】
生1:.
.
从平均值的角度分析,甲射箭水平比乙高.
师:由此可知,离散型随机变量的均值如下.
【要点知识】
离散型随机变量的均值的概念
一般地,若离散型随机变量的分布列为:
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.
【概括理解能力】
学生在老师引导下提炼出均值的计算公式,提升概括理解能力.
师:这就是离散型随机变量的均值定义,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
通过刚才分析可知,随机变量的均值是研究均值的稳定值,它是客观存在的.当随机变量分布列已知,则期望值唯一确定.如果随机变量的分布列未知,可以由样本均值进行估计.下面通过试验,再来体会一下两者的关系.
试验:同学们观察掷骰子的试验,观察掷出的点数的均值为,随机模拟这个试验,重复60次和300次各做6次,观测掷出的点数并计算平均数,根据观测值的平均数绘制统计图.观察图形,在两组试验中,随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?
生1:不同的试验中,样本均值各不相同,但是都在掷出点数的均值附近波动.
生2:重复300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
生3:随机变量的均值是一个稳定值,研究均值具有随机性.它围绕随机变量的均值波动,随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度越来越小.
师:一般地,我们可以用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.当随机变量的分布列未知的情况下,可以利用样本均值估计随机变量的均值.
【分析计算能力】
在教师的引导下,学生动手实验,收集数据,绘制图表,借助计算工具,计算均值,分析数据,得出结论,从而提高学生的计算分析能力.
【归纳总结】
样本均值与离散型随机变量均值的区別与联系
区别:离散型随机变量的均值是一个确定的数,样本均值具有随机性.
联系:离散型随机变量的均值是样本均值的稳定值,样本均值是随机变量均值的近似值.
师:如果是一个离散型随机变量,将进行平移或伸缩后,其均值会怎样变化?即和(其中为常数)分别与有怎样的关系?
【教师讲解,学生认真听讲】
师:设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,
.
师:你能给出的证明过程吗?
生证明:设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,
师:设,其中为常数,则也是随机变量.
(1)的分布列是什么?
(2)等于多少?
【学生合作交流,展示成果】
【说明论证能力】
通过教师证明与的关系,学生类比教师的证明过程,根据定义得到,提升了说明论证能力.
师:由此可知,离散型随机变量的均值性质如下.
【要点知识】
离散型随机变量的均值的性质
一般地,下面的结论成立:.
师:请大家思考下列两个小问题:
【情景设置】
两点分布的均值
1.随机变量的分布列为
1
3
5
0.5
0.3
0.2
(1)等于多少?
(2)若,则等于多少?
2.随机变量的分布列为
0
1
则等于多少?
【自主学习】
通过学生独立地分析线性变换后的随机变量Y的分布列,结合随机变量均值的计算公式,求出Y的均值,并对比X的均值得出随机变量均值的性质.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
生(1).
(2).
生.
师:同学们回答正确.若服从两点分布,则,其中为成功概率.
我们理解了随机变量的均值,明确了随机变量均值的含义,下面通过两个例题学习随机变量均值的应用.
【典型例题】
离散型随机变量均值的应用
例1 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示
歌曲
猜对的概率
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下:按照的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
师分析:根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错,获得0元基金;猜对而猜错,获得1000元基金;猜对和而猜错,获得3000元基金;全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
【分析计算能力】
直接应用随机变量均值的公式进行列式、计算、解决问题,锻炼分析计算能力.
生解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
.
的分布列如表所示.
0
1000
3000
6000
的均值为.
【概括理解能力】
根据例1的解答,体会随机变量均值的含义,总结归纳出求随机变量均值的步骤.提升概括理解能力.
师:从上述例题的解答过程我们可以总结出求的期望的步骤如下:
(1)求出的所有取值;
(2)找到取值对应的概率;
(3)列出的分布列;
(4)用公式求.
师:如果改变猜歌的顺序,获得公益基金的均值是否相同?如果不同,你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大?
【情境学习】
通过设问,创设不同猜歌顺序,计算对应的分布列和期望,激发学生的学习兴趣.
【学生先列出不同的猜歌顺序,分组合作,按照求分布列和均值的步骤再分别求出的分布列和均值,通过比较进行验证,小组交流验证】
师:不同顺序的均值如下:
猜歌顺序
E(X)/元
猜歌顺序
E(X)/元
ABC
2336
BCA
2112
ACB
2144
CAB
1904
BAC
2256
CBA
1872
按照由易到难的顺序猜歌,得到的公益基金的期望值最大.
师:下面再看一道有关风险决策的问题.
【典型例题】
离散型随机变量均值的应用(风险决策问题)
例2 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25.有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元.
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能挡住小洪水.
方案3:不采取措施,希望不发生洪水,试比较哪一种方案好.
师:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好.根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如下表.
天气状况
大洪水
小洪水
没有洪水
概率
0.01
0.25
0.74
总损失/元
方案1
3800
3800
3800
方案2
62000
2000
2000
方案3
60000
10000
0
【深度学习】
通过例2计算不同方案下的总损失的均值,加深对利用期望值进行决策的思想方法,凸显了数学在实际生活中的广泛应用.
根据表格,方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案.
生解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为(元);没有大洪水时,总损失为2000元.因此,
采用方案3,
.
于是,,
.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
师:好的,同学们,下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
离散型随机变量的均值
1.离散型随机变量均值的概念
2.离散型随机变量均值与样本均值的区别和联系
3.离散型随机变量均值的性质及其应用
4.求离散型随机变量的均值的解题步骤
师:非常好！我们通过这节课明确了离散型随机变量的均值的含义以及它的计算,通过随机模拟试验,利用样本均值估计随机变量的均值,这也是学习统计学的意义.此外学习随机变量的期望可以为风险决策提供依据.
【设计意图】
学完本节课,我们应该理解离散型随机变量的均值是刻画变量取值平均状况的数字特征,是用可能取值的加权平均定义的,并且通过具体实例能说明随机变量的均值与平均数之间的区别与联系,会计算简单分布列的均值,对于一些简单的实际问题能利用均值进行决策.学生通过离散型随机变量X的均值公式,得随机变量Y的均值,有助于学生表达能力的锻炼,提高了学生分析问题的能力和解决问题的能力.
教学评价
通过本节课,学生理解了离散型随机变量的均值是刻画变量取值平均状况的数字特征,方差和标准差是刻画随机变量取值波动大小的数字特征.均值是用可能取值的加权平均定义的,方差是随机变量可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来定义的.对于一些简单的实际问题能利用均值和方差进行决策.
应用所学知识,完成下题:
袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.
(1)求的分布列,均值;
(2)若,求的值.
思路:对离散型随机变量均值概念的考查多是对计算公式的掌握和理解.首先要确定好的可能取值,再利用概率计算公式求出每个取值的概率值,列出分布列,进而求解其数学期望.
解析:(1)的分布列为
0
1
2
3
4
的均值.
(2),又,则.
【设计意图】
根据先学后教的教学策略,通过练习题的训练,学生深度学习和理解离散型随机变量的均值求解和根据均值进行决策,提升了数学运算核心素养.
教学反思
在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,设置探究问题,引导学生分组交流讨论,运用信息技术,借助运算工具,列表绘制统计图表,帮助学生理解随机变量的均值与样本均值的区别和联系,体会随机变量均值的含义,利用生活中风险决策的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.
由贴近生活的实例导入,引导学生思考,评价一名学生的成绩只看平均分是不够的,引导学生思考是否可以引进一个新的量,增加评价的维度.类比样本方差的内容,计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”.对于离散型随机变量来说,用偏差平方关于取值概率的加权平均来度量,可以反应随机变量相对于均值的离散程度.方差的公式的得出到公式的变形,在计算上可以提高运算效率,但具体应以实际条件为主,方差的性质要引导学生熟练的应用.
【以学论教】
本节课学生在教师的引导下,深刻理解离散型随机变量均值和方差的概念,通过例题分析总结归纳出求解随机变量均值和方差的步骤,结合生活中的风险决策实例,深刻理解了随机变量均值和方差的意义.
《离散型随机变量的数字特征》教学设计
课时1 离散型随机变量的均值
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
离散型随机变量的均值
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
数学运算
数学抽象
数学建模
【考查内容】
离散型随机变量的均值、方差、标准差的理解,根据离散型随机变量的均值、方差或标准差解决概率决策问题【考查题型】
选择题、填空题、解答题
离散型随机变量均值的性质
逻辑推理
离散型随机变量的方差与标准差
数学运算
数据分析
一、本节内容分析
本节课的内容是对离散型随机变量的均值和方差的研究与学习,主要介绍离散型随机变量的均值、方差和标准差的概念,反映随机变量取值分布的特征数.方差和标准差反映了随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.如何通过随机变量可能的取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度,要让学生理解偏差平方关于取值概率的加权平均的意义.方差与标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量均值的性质
3.离散型随机变量的方差与标
准差
数学抽象
数学建模
逻辑推理
数学运算
数据分析
核心素养
二、学情整体分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与样本均值作对比,这是一种积极因素,应充分利用.本节课是一节概念新授课,而概念本身具有一定的抽象性,学生难以理解,因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点.此外,学生初次应用概念解决实际问题也较为困难,故把其作为本节课的教学难点.对于方差的概念学生基本上能够理解随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,而样本的方差则是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.学生在做题时遇到的问题应该是随机变量Ⅹ的取值以及相应概率的正确性.另外,在方差的两种计算公式中,如何灵活地选取很重要,计算的正确性值得注意.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量的方差
【教学目标设计】
1通过实例,理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念.
2.能在具体的问题情境中,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题.
3.探索并掌握公式“”,并会运用公式解题.
4.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
5.会比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题.
【教学策略设计】
1.本节课的重点是关注随机变量均值的意义,明确在决策中如何应用.因此本节课要突出概念的抽象过程,揭示均值的意义,本节课以比较两名运动员的射箭水平为问题情境,以频率稳定到概率为依据,由X的观测值的频率分布稳定到Ⅹ的分布列,观测值的平均数稳定到期望值,将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值.通过具体问题情境和典型例题,了解随机变量的均值和观测值的均值的关系,以及在决策中的应用.
2.通过平时接触的考试成绩分析,感受标准差的作用;通过选取射击运动员的例子来理解,只有均值还不能够完全反应随机变量的取值特征,体会引入方差和标准差的必要性;结合偏差平方关于取值概率的加权平均的意义,得出方差的计算公式;探究方差的性质及随机变量方差的实际应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.离散型随机变量的均值概念及计算.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差.
难点:
在具体的问题情境中,求出离散型随机变量的均值和方差,并根据计算结果作出概率决策.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.例如,比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此我们要研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
【设计意图】
由日常生活中的实例,让学生思考解决问题的方法,由学生自己总结出计算射击环数的平均值,引出课题,设置疑问,激发学生学习兴趣.
教学精讲
师:甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数分布列如下.
环数
7
8
9
10
甲射击的概率
乙射击的概率
如果你是教练,你会选择哪位选手参赛?
【学生猜测,教师揭示答案】
生:先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性.
师:如何计算甲射箭的平均环数呢?先看下面的问题,从中有何发现?
问题某商场要将单价分别为18元元元的3种糖果按的比例混合销售.如何对混合糖果定价才合理?
【学生分组讨论,给出解决方案】
方案1:通过算术平均数:元.
方案2:加权平均数:(元).
师:不难看出,方案2更合理一些,这里的权重表示的是该种糖果占全部糖果的比重.
【先学后教】
教师提出问题:如果n种糖果按照一定的比例混合,又该如何定价呢?在学生根据教师列出的数据的特点自主发现规律之后,教师再教授概念.
问题2:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等、形状、大小均相同,从中任取一颗糖,记为这颗糖果的单价,写出的分布列.
【学生分组讨论交流,写出的分布列】
生:
18
24
36
师:同学们列出分布列后,对照一下分布列中每个值对应的概率与上述的权重有何关系?
【学生思考,合作交流,回答问题】
生:权就是离散型随机变量对应的概率.
【教师点评后,总结加权平均值的概念】
【要点知识】
加权平均值的概念
权是离散型随机变量所对应的概率,加权平均值就是随机变量的期望.
【意义学习】
学生根据列出的分布列,思考交流分布列对应概率与权重的关系,得出加权平均值的概念,体现意义学习.
问题3:如果混合糖果中不同糖果共有种,价格分别为,取每种价格的权数即概率依次为,则这种混合糖果的价格可定为多少?如果种糖果按照一定的比例混合,又该如何定价呢?
【学生思考,合作交流,回答问题】
生:.
师:那你现在能解决教练的问题了吗?
【学生类比问题的结果,交流探索】
生1:.
.
从平均值的角度分析,甲射箭水平比乙高.
师:由此可知,离散型随机变量的均值如下.
【要点知识】
离散型随机变量的均值的概念
一般地,若离散型随机变量的分布列为:
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.
【概括理解能力】
学生在老师引导下提炼出均值的计算公式,提升概括理解能力.
师:这就是离散型随机变量的均值定义,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
通过刚才分析可知,随机变量的均值是研究均值的稳定值,它是客观存在的.当随机变量分布列已知,则期望值唯一确定.如果随机变量的分布列未知,可以由样本均值进行估计.下面通过试验,再来体会一下两者的关系.
试验:同学们观察掷骰子的试验,观察掷出的点数的均值为,随机模拟这个试验,重复60次和300次各做6次,观测掷出的点数并计算平均数,根据观测值的平均数绘制统计图.观察图形,在两组试验中,随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?
生1:不同的试验中,样本均值各不相同,但是都在掷出点数的均值附近波动.
生2:重复300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
生3:随机变量的均值是一个稳定值,研究均值具有随机性.它围绕随机变量的均值波动,随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度越来越小.
师:一般地,我们可以用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.当随机变量的分布列未知的情况下,可以利用样本均值估计随机变量的均值.
【分析计算能力】
在教师的引导下,学生动手实验,收集数据,绘制图表,借助计算工具,计算均值,分析数据,得出结论,从而提高学生的计算分析能力.
【归纳总结】
样本均值与离散型随机变量均值的区別与联系
区别:离散型随机变量的均值是一个确定的数,样本均值具有随机性.
联系:离散型随机变量的均值是样本均值的稳定值,样本均值是随机变量均值的近似值.
师:如果是一个离散型随机变量,将进行平移或伸缩后,其均值会怎样变化?即和(其中为常数)分别与有怎样的关系?
【教师讲解,学生认真听讲】
师:设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,
.
师:你能给出的证明过程吗?
生证明:设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,
师:设,其中为常数,则也是随机变量.
(1)的分布列是什么?
(2)等于多少?
【学生合作交流,展示成果】
【说明论证能力】
通过教师证明与的关系,学生类比教师的证明过程,根据定义得到,提升了说明论证能力.
师:由此可知,离散型随机变量的均值性质如下.
【要点知识】
离散型随机变量的均值的性质
一般地,下面的结论成立:.
师:请大家思考下列两个小问题:
【情景设置】
两点分布的均值
1.随机变量的分布列为
1
3
5
0.5
0.3
0.2
(1)等于多少?
(2)若,则等于多少?
2.随机变量的分布列为
0
1
则等于多少?
【自主学习】
通过学生独立地分析线性变换后的随机变量Y的分布列,结合随机变量均值的计算公式,求出Y的均值,并对比X的均值得出随机变量均值的性质.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
生(1).
(2).
生.
师:同学们回答正确.若服从两点分布,则,其中为成功概率.
我们理解了随机变量的均值,明确了随机变量均值的含义,下面通过两个例题学习随机变量均值的应用.
【典型例题】
离散型随机变量均值的应用
例1 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示
歌曲
猜对的概率
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下:按照的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
师分析:根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错,获得0元基金;猜对而猜错,获得1000元基金;猜对和而猜错,获得3000元基金;全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
【分析计算能力】
直接应用随机变量均值的公式进行列式、计算、解决问题,锻炼分析计算能力.
生解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
.
的分布列如表所示.
0
1000
3000
6000
的均值为.
【概括理解能力】
根据例1的解答,体会随机变量均值的含义,总结归纳出求随机变量均值的步骤.提升概括理解能力.
师:从上述例题的解答过程我们可以总结出求的期望的步骤如下:
(1)求出的所有取值;
(2)找到取值对应的概率;
(3)列出的分布列;
(4)用公式求.
师:如果改变猜歌的顺序,获得公益基金的均值是否相同?如果不同,你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大?
【情境学习】
通过设问,创设不同猜歌顺序,计算对应的分布列和期望,激发学生的学习兴趣.
【学生先列出不同的猜歌顺序,分组合作,按照求分布列和均值的步骤再分别求出的分布列和均值,通过比较进行验证,小组交流验证】
师:不同顺序的均值如下:
猜歌顺序
E(X)/元
猜歌顺序
E(X)/元
ABC
2336
BCA
2112
ACB
2144
CAB
1904
BAC
2256
CBA
1872
按照由易到难的顺序猜歌,得到的公益基金的期望值最大.
师:下面再看一道有关风险决策的问题.
【典型例题】
离散型随机变量均值的应用(风险决策问题)
例2 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25.有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元.
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能挡住小洪水.
方案3:不采取措施,希望不发生洪水,试比较哪一种方案好.
师:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好.根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如下表.
天气状况
大洪水
小洪水
没有洪水
概率
0.01
0.25
0.74
总损失/元
方案1
3800
3800
3800
方案2
62000
2000
2000
方案3
60000
10000
0
【深度学习】
通过例2计算不同方案下的总损失的均值,加深对利用期望值进行决策的思想方法,凸显了数学在实际生活中的广泛应用.
根据表格,方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案.
生解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为(元);没有大洪水时,总损失为2000元.因此,
采用方案3,
.
于是,,
.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
师:好的,同学们,下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
离散型随机变量的均值
1.离散型随机变量均值的概念
2.离散型随机变量均值与样本均值的区别和联系
3.离散型随机变量均值的性质及其应用
4.求离散型随机变量的均值的解题步骤
师:非常好！我们通过这节课明确了离散型随机变量的均值的含义以及它的计算,通过随机模拟试验,利用样本均值估计随机变量的均值,这也是学习统计学的意义.此外学习随机变量的期望可以为风险决策提供依据.
【设计意图】
学完本节课,我们应该理解离散型随机变量的均值是刻画变量取值平均状况的数字特征,是用可能取值的加权平均定义的,并且通过具体实例能说明随机变量的均值与平均数之间的区别与联系,会计算简单分布列的均值,对于一些简单的实际问题能利用均值进行决策.学生通过离散型随机变量X的均值公式,得随机变量Y的均值,有助于学生表达能力的锻炼,提高了学生分析问题的能力和解决问题的能力.
教学评价
通过本节课,学生理解了离散型随机变量的均值是刻画变量取值平均状况的数字特征,方差和标准差是刻画随机变量取值波动大小的数字特征.均值是用可能取值的加权平均定义的,方差是随机变量可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来定义的.对于一些简单的实际问题能利用均值和方差进行决策.
应用所学知识,完成下题:
袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.
(1)求的分布列,均值;
(2)若,求的值.
思路:对离散型随机变量均值概念的考查多是对计算公式的掌握和理解.首先要确定好的可能取值,再利用概率计算公式求出每个取值的概率值,列出分布列,进而求解其数学期望.
解析:(1)的分布列为
0
1
2
3
4
的均值.
(2),又,则.
【设计意图】
根据先学后教的教学策略,通过练习题的训练,学生深度学习和理解离散型随机变量的均值求解和根据均值进行决策,提升了数学运算核心素养.
教学反思
在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,设置探究问题,引导学生分组交流讨论,运用信息技术,借助运算工具,列表绘制统计图表,帮助学生理解随机变量的均值与样本均值的区别和联系,体会随机变量均值的含义,利用生活中风险决策的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.
由贴近生活的实例导入,引导学生思考,评价一名学生的成绩只看平均分是不够的,引导学生思考是否可以引进一个新的量,增加评价的维度.类比样本方差的内容,计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”.对于离散型随机变量来说,用偏差平方关于取值概率的加权平均来度量,可以反应随机变量相对于均值的离散程度.方差的公式的得出到公式的变形,在计算上可以提高运算效率,但具体应以实际条件为主,方差的性质要引导学生熟练的应用.
【以学论教】
本节课学生在教师的引导下,深刻理解离散型随机变量均值和方差的概念,通过例题分析总结归纳出求解随机变量均值和方差的步骤,结合生活中的风险决策实例,深刻理解了随机变量均值和方差的意义.
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