数学七年级下暑假培优专题训练（十四）

这是一份数学七年级下暑假培优专题训练（十四），共33页。试卷主要包含了不等式等内容，欢迎下载使用。
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十四、不等式
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目录
【考点一 不等式及其解集】.......................................1
【考点二 不等式的性质】.........................................3
【考点三 一元一次不等式】.......................................6
【考点四 解不等式及求不等式的整数解】............................6
【聚焦考点1】
不等式（组）有关概念
（1） 不等式：用不等号“>”，“0，或ax一b0，求a的取值范围；
（3）不论实数a(a≠0)取何值，方程ax+2y=a-1总有一个公共解，试求出这个公共解．
【典例4-3】（1）根据不等式的基本性质．把不等式3x≤x﹣4化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并在数轴上把它的解集表示出来．
（2）求满足不等式x+2＞3x的所有正整数解．
【典例4-4】关于x、y的方程：ax＋by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x＋5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程的“一次明德式”为 ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx＋2y＝5，当满足时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
针对训练4
【变式4-1】请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：
解不等式
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
系数化为1，得⑤
所以不等式的解集为
（1）任务一：填空：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是____________；
（2）任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程，完整的写出来；
（3）任务三：以上解题过程中，除了开始出现的错误外，还有哪些错误值得注意．
【变式4-2】下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．……第一步
移项，得．……第二步
合并同类项，得．……第三步
解得．……第四步
（1）小明解答过程是从第__________步开始出错的，这一步正确的解答结果为__________，此步的依据是____________________；
（2）请你写出此题正确的解答过程，并将解集表示在数轴上．
【变式4-3】材料阅读：
已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题：
已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．
（1）求，的值；
（2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数；
（3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解．
【变式4-4】已知：关于x，y的方程组．
(1)若，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明的值不变．
(3)若，且整数m只能有两个，求这两个整数．
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十四、不等式（解析版）
【考点一 不等式及其解集】
【典例1-1】下列式子中，是不等式的有（    ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
【答案】B
【分析】依据不等式的定义判断即可．
【详解】解：①是等式；
②不是等式，也不是不等式；
③是不等式；
④是不等式；
⑤是不等式；
⑥是不等式；
∴不等式有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号
【典例1-2】将“与1的差不大于与4的和”用不等式表示为______.
【答案】
【分析】根据题意选准不等号列出不等式即可．
【详解】由题意可得，，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
【典例1-3】五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是______元．
【答案】460
【分析】设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，可得二号和三号的一等奖、二等奖、三等奖的次数，根据返现金额关系列出方程组，化为二元一次方程并求得方程的整数解即可；
【详解】解：设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，
则五月一号返现金额=30a+20b+10c，
五月二号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为3a、2b、4c，
则五月二号返现金额=90a+40b+40c，
五月三号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、4b、2c，
则五月三号返现金额=30a+80b+20c，
由题意得：，
c=22-6b代入15a+14b+7c=100得：
b=，
∵150a≤1000，且a为整数，
∴a=0，1，2，3，4，5，6，
将a的值代入，仅当a=2时，b=3为整数，
∴c=22-18=4，
∴五月二号返现金额=90×2+40×3+40×4=460元，
故答案为：460；
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，不等式的应用；掌握二元一次方程整数解的求法是解题关键．
【典例1-4】阅读以下结论：
（1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
（2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a；
若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．
（3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a；
若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b．
根据上述结论，解答下面问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0．
（3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0．
（4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0．
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0．
【答案】（1）x＝2或x＝﹣；（2）x＞2或x＜﹣；（3）﹣＜x＜2；（4）x＞5或x＜2；（5）＜x＜．
【分析】根据题目中的结论列式计算即可．
【详解】（1）解：|3x﹣2|﹣4＝0，
3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，
解得x＝2或x＝；
（2）解：|3x﹣2|﹣4＞0，
3x﹣2＞4或3x﹣2＜﹣4，
解得x＞2或x＜；
（3）解：|3x﹣2|﹣4＜0，
﹣4＜3x﹣2＜4，
解得＜x＜2；
（4）解：（x﹣2）（x﹣5）＞0，
x﹣5＞0或x﹣2＜0，
解得x＞5或x＜2；
（5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0，
3＜2x＜5，
解得＜x＜．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解方程，解不等式，解题的关键是根据题目给出的结论进行计算．
针对训练1
【变式1-1】用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．
(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据等量关系直接列出等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键．
【变式1-2】在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
班  级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班



（2）班



合计
80
900
11.25
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
【详解】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
（2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
【变式1-3】（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
【答案】方程的解为或．
【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式1-4】解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．

（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式，求解此不等式即可．
【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则，
∴；
（2）①，
∵结果为常数，
∴，
解得；
②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则，
则，解得．
【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
【考点二 不等式的性质】
【典例2-1】五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？
【答案】23
【分析】平均数问题与不定方程，先求出A和E，从而得到，再根据这些自然数的大小关系推出，再根据C是偶数，得到，从而对D分类讨论得解．
【详解】依题意得：


．
因为>21，所以D应大于21．
而，，故．

所以
又由于，故
因此，
又已知C是偶数，
因此，此时D至少为23．
若，此时则．
若，则，不符合题意．
故．
【点睛】本题考查平均数问题与不定方程，根据题意推出是解题的关键．
【典例2-2】阅读下面解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
所以 ．③
问：
(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②；
(2)错误地运用了不等式的基本性质3
(3)见解析
【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；
（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；
（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键
【典例2-3】阅读下列文字，并解决问题：
不等式的性质与等式的性质有类似之处，也有不同之处：不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，要关注所乘（或除以）的数是正数还是负数．若该数的符号不能确定，则需分类讨论．如，将关于的不等式化成“” 或“”的形式．
解：因为，所以有和两种可能．
当时，不等式的两边都除以正数，不等号的方向不变，得，即；
当时，不等式的两边都除以负数，不等号的方向改变，得，即．
请用类似的方法将关于的不等式化成“”或“”的形式．
【答案】当时，；当时，
【分析】根据不等式的性质解答即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，；
②当时，．
【点睛】本题主要考查不等式的性质和等式的性质，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
针对训练2
【变式2-1】（1）若，比较与的大小，给出你的理由；
（2）若，比较和的大小，给出你的理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）当时，；当时，；当时，，理由见解析
【分析】（1）由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得；
（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，以此即可解答.
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
；
（2）①当时，；
②当时，，；
③当时，，；
综上，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变；等式的两边同时乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
【变式2-2】阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：，．
求证：．
②已知：，．
求证：．
【问题探究】
(1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：______），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：______），
合并同类项可得：，
即：得证．
(2)参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【答案】(1)不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变
(2)见解析
【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；
（2）仿照（1）的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变），
合并同类项可得：，
即：得证．
故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变；
（2）解：，即是一个负数，
的相反数是正数，即，
，
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），
即，
不等式的两端同时加可得：
（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变），
合并同类项，得，
即：，得证．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．
【变式2-3】如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．

(1)如果点C是的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用C是的中点得到，根据数轴上两点之间的距离公式可得，化简即可；
（2）通过数轴得出b，c的大小关小及不等式的性质，从而得出与的大小；
（3）先判断，，c的正负，然后根据绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解：点C是的中点，



故答案为：；
（2），理由如下：
由数轴上点的位置可知，




（3）由数轴上点的位置可知，
，，
，，



【点睛】本题考查了线段中点性质，数轴上两点之间的距离，数轴上数大小的比较，不等式的性质，含绝对值的有关计算；掌握绝对值的性质以及两点之间的距离是解题的关键．
【变式2-4】由得，，如果两个正数，即，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子的最小值为 ：当，则当 时，式子取到最大值；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】(1)2，
(2)长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米

【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可；当时，，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算；
（2）设长为，宽为，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，的最小值为2，
（当时，，当且仅当时取到等号）
当时，，
，
当且仅当时，时取到等号，
即当时，式子取得最大值，
故答案为：2，；
（2）解：设长为，宽为，
则，欲使最小，
，
，
当且仅当时取得等号，
由，
解得，
即长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号.
【考点三 一元一次不等式】
【典例3-1】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为__________．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
【典例3-2】若是关于x的一元一次不等式，则______
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式
∴且
解得
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】已知是关于x的一元一次不等式．
(1)求m的值．
(2)求出原一元一次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，解得，，
所以．
（2）解：原一元一次不等式为，
移项得，
合并同类项得，
解得．
【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式3-2】已知是关于的一元一次不等式，求的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】，
【分析】根据一元一次不等式的定义得到且，则，然后把a的值代入原不等式，解不等式即可．
【详解】∵是关于的一元一次不等式，
∴且，解得，
则不等式为，解得．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式
【考点四 解不等式及求不等式的整数解】
【典例4-1】下面是小征同学求不等式-(3x-2)≥解集并在数轴上表示解集的解答过程：
第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；
第二步：×4x-×1 ≥；
第三步：16x-4-18x+12≥5；
第四步：-2x≥-3；
第五步： ．

(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；
(2)第二步变形的依据是 ；
(3)第三步变形的目的是 ．
【答案】(1)见解析
(2)乘法分配律
(3)去分母
【分析】（1）根据不等式的解法解答；
（2）根据乘法分配律解答；
（3）根据不等式的性质求解即可．
【详解】（1）第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；
第二步：×4x-×1-×3x+×2≥；
第三步：16x-4-18x+12≥5；
第四步：-2x≥-3；
第五步：x．
在数轴上表示解集：

（2）第二步变形的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（3）第三步变形的目的是去分母，
故答案为：去分母．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时不等号要改变．
【典例4-2】已知关于x，y的二元一次方程ax+2y=a-1．
（1）若是该二元一次方程的一个解，求a的值；
（2）若x=2时，y>0，求a的取值范围；
（3）不论实数a(a≠0)取何值，方程ax+2y=a-1总有一个公共解，试求出这个公共解．
【答案】（1）a=1；（2）a＜-1；（3）
【分析】（1）将代入即可解得的值；
（2）时，，即得，故，解得；
（3）变形为，公共解与的取值无关，可得，从而，即可得到答案．
【详解】解：（1）是的一个解，
，
解得；
（2）时，，

时，，
，
解得；
（3）变形为，
不论实数取何值，方程总有一个公共解，
，此时，
这个公共解为．
【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握公共解与的取值无关，则的系数需为0．
【典例4-3】（1）根据不等式的基本性质．把不等式3x≤x﹣4化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并在数轴上把它的解集表示出来．
（2）求满足不等式x+2＞3x的所有正整数解．
【答案】（1）x≤﹣2，见解析；（2）1，2，3
【分析】（1）两边同加，再同除以2，不改变不等号的方向．
（2）去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，根据解集可得满足不等式的正整数解．
【详解】解：（1），
，
，
，
在数轴上表示为：
；
（2）去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故不等式的正整数解有：1，2，3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
【典例4-4】关于x、y的方程：ax＋by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x＋5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程的“一次明德式”为 ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx＋2y＝5，当满足时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
【答案】（1）；（2）且；（3）n＝2或n＝4．
【分析】（1）直接将所给方程按照定义变形即可；
（2）将所给方程变形可求K与L，再由，可求n的范围，再注意n≠0，即可求解；
（3）将所给方程变形可求K、L，可知K＝2L，再由已知K系数与L系数都为正整数，即可求n的值．
【详解】解：（1）变形为，
∴二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为，
故答案为：；
（2）nx＋2y＝5变形为，
∴K＝，L＝，
∵K＋L≤4，
∴，
∴
∵nx＋2y＝5是二元一次方程，
∴n≠0，
∴且；
（3）由已知n﹣1≠0，
方程变形为，
∴K＝ ，L＝，
∴K＝2L，
∵K系数与L系数都为正整数，
∴是3的因数1或3，
∴n﹣1＝1或n﹣1＝3，
∴n＝2或n＝4．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解不等式以及解一元一次方程，理解新定义，并能将定义与所学二元一次方程的知识结合是解题关键．
针对训练4
【变式4-1】请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：
解不等式
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
系数化为1，得⑤
所以不等式的解集为
（1）任务一：填空：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是____________；
（2）任务二：请从出现错误的步骤开始，把正确的解答过程，完整的写出来；
（3）任务三：以上解题过程中，除了开始出现的错误外，还有哪些错误值得注意．
【答案】（1）①，去分母时把1漏乘以12；（2）见解析；（3）正确运用不等式的性质
【分析】（1）根据分式的运算法则可知：第①步开始出现错误，去分母时，分式的每一项都要乘以最简公分母；
（2）根据不等式的基本性质解答；
（3）可从不等式的基本性质的运用、去括号、移项等应注意的事项进行说明．
【详解】（1）①，去分母时把1漏乘以12；
（2）解不等式
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
所以不等式的解集为．
（3）正确运用不等式的性质（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）
或移项要变号；
或正确运用去括号法则等．
【点睛】本题考查了解去分母的一元一次不等式，属于基础题型，熟练掌握不等式的基本性质、明确每一步计算的根据是解题的关键．
【变式4-2】下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．……第一步
移项，得．……第二步
合并同类项，得．……第三步
解得．……第四步
（1）小明解答过程是从第__________步开始出错的，这一步正确的解答结果为__________，此步的依据是____________________；
（2）请你写出此题正确的解答过程，并将解集表示在数轴上．
【答案】（1）二，，不等式的性质1；（2）x≥-1，见解析．
【分析】（1）利用不等式的性质可判定第二步错误；
（2）先去分母，然后移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可．
【详解】解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，出错原因是移项没有变号，正确解答应该是，依据是不等式的性质1；
故答案为：二；不等式的性质1；
（2）正确解答为：
解：去分母，得：，
移项，得，
合并同类项，得，
解得：，
解集表示在数轴上为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键，注意不等式的性质在解一元一次不等式中的作用．
【变式4-3】材料阅读：
已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题：
已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．
（1）求，的值；
（2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数；
（3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解．
【答案】（1），；（2）最大整数是3；（3），．
【分析】（1）根据已知得出，，求出解即可；
（2）根据绝对值和（1）中的 的值得出，求出即可；
（3）解方程得到，于是求得符合题意的非负整数解即可．
【详解】解：（1）是整数，
、也是整数，
关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为，
，，
解得：，；
（2），
，
，
，
，符合题意的最大整数是；
（3），，．
，

关于，的方程的非负整数解为，．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．
【变式4-4】已知：关于x，y的方程组．
(1)若，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明的值不变．
(3)若，且整数m只能有两个，求这两个整数．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)0和1．
【分析】（1）根据x=y把原方程组化为关于x的方程组，然后把a作为已知数表示出x，进而求出a的值即可；
（2）根据方程组的特征先计算2x-2y得x-y，再将所得方程与方程相加，即可算得x+y的值，从而证明结论成立；
（3）把a作为常数，先求解原二元一次方程组，把表示出的x与y代入已知不等式求出m的范围，确定出整数m即可．
【详解】（1）解：当时，原方程组化为
，
解得，解得，
∴，
解此方程得；
（2）证明：∵，
∴③+④得2x-2y=-4a+14，
∴x-y=-2a+7⑤，
把③+⑤得2x+2y=6，
∴x+y=3，
∴不论a取何值时，试说明的值不变；
（3）解：解方程组得，
∵，
∴，
∴
当a=4时，，不符合题意，
当a=5时，，不符合题意，
当a=6时，，m的两个整数解为0和1，
当a=7时，，m的两个整数解为0和1，
当a=8时，，m的两个整数解为-1、0和1，不符合题意，
∴整数m的值为∶0和1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，把字母看成常数是解题的关键．