四川省开江中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省开江中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省开江中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2、已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.R
3、在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）

A.这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B.这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C.这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D.这种疾病患者的平均年龄为48岁
4、《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）

A.二尺六寸 B.二尺五寸 C.一尺三寸 D.一尺二寸
5、已知某正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6、若函数，则（ ）
A. B.
C. D.
7、如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，E，F分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）

A.平面 B.
C.与EF所成角的正切值为 D.EF与平面ABC所成角的正切值为2
8、已知函数，函数，函数，函数，四个函数的图象如图所示，则的图象依次为（ ）

A.①②③④ B.①②④③ C.②①③④ D.②①④③
9、如图，已知正方体，E、F、G、H、I、J分别为所在棱的中点，截面EFGHIJ和截面将正方体分成三部分，则这三部分体积之比为（ ）

A. B. C. D.
10、已知抛物线，O为原点，过的任意直线l，与拋物线C交于点M，N两点，则为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角、直角、锐角三角形均有可能
11、已知函数，且，则下列陈述不正确的是（ ）
A.若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为
B.若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一个对称轴
C.若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为
D.若函数在区间上有三个最值，则的取值范围为
12、下列四个命题：①，②，③，其中真命题的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题
13、已知，，且.则与夹角的余弦值为____________.
14、已知双曲线C：，则双曲线C的离心率为___________.
15、从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________.
16、在中，，点D是边BC上的一点，且，，当的面积最大时，则____________.
三、解答题
17、已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
18、如图，在四棱锥中，ABCD为等腰梯形，，，，，.

（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
19、某校举办“复兴杯”羽毛球比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲获胜的概率减小，且甲连胜两局获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
（1）求甲获胜的概率；
（2）若冠军奖金为1600元，且在甲第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖金比较合理？
20、已知椭圆，、为椭圆C的左、右焦点，过点​的任意直线l交椭圆C于A、B两点，且的周长为8，椭圆C的离心率为.
（1）椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的任一点，PM、PN为过焦点、的弦，且，求的值.
21、已知函数，，，.
（1）当，和有相同的最小值，求a的值；
（2）若有两个零点，，求证：.
22、已知曲线C的参数方程为：，（常数，t为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：.
（1）求曲线C和直线l的普通方程
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，直线l上点F的直角坐标为，求的值.
23、已知，，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
参考答案
1、答案：A
解析：，，对应点坐标为，在第一象限.故选：A
2、答案：B
解析：由，解得，所以，
由，所以或，解得或，
所以或.
所以.
故选：B
3、答案：C
解析：小于等于30的概率为，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
4、答案：A
解析：由题意可知，“深一寸”是指ED为一寸，“锯道长一尺”是指AB为一尺，一尺为十寸，所以AB为十寸，

故AC为26（寸），即二尺六寸；
故选：A.
5、答案：D
解析：因正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的棱长为1，所以该正四面体的表面积为.
故选：D
6、答案：A
解析：，，.
故选：A.
7、答案：B
解析：分别取AB，AC的中点为M，N，连接MN，，，MF，如下图所示：

对于A：由题意可知，，且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B：因为直三棱柱的棱长均相等，所以，即为等腰三角形，从而MN与不垂直，
因为，，
所以EF与BC不垂直，故B错误；
对于C：因为
所以与EF所成角为与所成角，
从而，故C正确；
对于D：EF与平面ABC所成角为与平面ABC所成角，
由直三棱柱的性质可知，所求角为，
故，故D正确.
故选：B.
8、答案：A
解析：由定义域中可知，图②为.
由可知为奇函数，图③为.
可得为偶函数，图④为.
故而图①为.
故选：A
9、答案：D
解析：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为，
由正方体的对称性可知截面EFGHIJ将正方体平分为体积相等的两部分，
而截面截得的三棱锥的体积为
，占正方体体积的.
故而截的三部分几何体的体积为.
故选：D.
10、答案：B
解析：设直线l的方程为：.
联立方程：，.
所以.
令.
所以，.
又.
所以.
故而为直角三角形.
故选：B.
11、答案：C
解析：由，即，
由，所以，.
若函数的相邻对称轴之间的距离为，则，
所以函数的最小正周期，所以.
则，则，
所以为的一个对称轴，故A和B选项正确.
由可得，
若函数在区间上有三个零点.
则需满足，即，故选项C错误.
若函数在区间上有三个最值.
则需满足，即，故选项D正确.
故选：C.
12、答案：D
解析：对于①，由，所以①正确.
对于②，令.
所以.
所以.
所以，
当且仅当时取等号，故而②正确.
对于③，考虑函数，，且.
又，.
又，，
从而可知在上单调递增，且当时，.
所以在上为增函数.
所以时，.
所以是上的增函数，，
即，故③正确.
故选：D
13、答案：
解析：由，所以，
令为与夹角，则.
故答案为：
14、答案：2
解析：由双曲线C：可得，，则，
所以离心率.
故答案为：2.
15、答案：或0.2
解析：如图，①在正四面体中，四个面为全等的正三角形，每个大正三角形中，由3个顶点和三条边的3个中点，取3个点，可以形成5个正三角形，共计种，
②平行于正四面体每个表面均有1个正三角形，
综上所述，共计有24个正三角形，
所以构成等边三角形的概率为.
故答案为：.

16、答案：或0.5
解析：建立如图所示的平面直角坐标系.
则.
令.
由，即.
所以，即点A的轨迹为以为圆心，半径为2的圆.
所以当A在处时，的面积最大.
所以.

故答案为：
17、答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，
当时，，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知：，
所以.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，
由余弦定理可得，
所以，所以.
又，且，PA，平面PAD，
所以平面PAD，平面PAD，
故而.
又，，，即，
所以，又，BD，平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）由（1）可知，DA，DB，DP两两垂直，故以D为坐标原点以DA，DB，DP为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，

故而，.
由题意可知，，故为等腰三角形，
且，.
所以.
所以，，
设为平面PBC的一个法向量，则，
即，令.
所以，，即，
由于平面PAD.所以为平面PAD的一个法向量.
设平面PAD和平面PBC所成锐二面角为，
所以，
所以平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值为.
19、答案：（1）
（2）甲应获得1300元奖金，乙获得300元奖金比较合理
解析：（1）令事件：甲在第局获胜，.
甲连胜两局的概率为：.
所以.
则甲获胜的概率为：
.
（2）由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场.
即.
故而甲乙应按照的比例来分配比赛奖金，即甲应获得1300元奖金，乙获得300元奖金比较合理.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，的周长为.
所以，又，
所以，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）不妨令，，.
所以，即.
当时，不妨设直线PM为，其中.
直线PN为，其中.
联立方程，
得.
所以，即.
同理可得：.
又.
所以.
则





，
综上所述，.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由.
所以.
所以.
令，则为上的增函数，且.
所以在上单调递减，上单调递增.
所以.
又.
所以.令，则
所以为上的增函数.
又.
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得.
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以.
故而.
（2）由题意有两个零点，.
所以，即.
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令.
由.
要证，只需要证明.
即只需证明：.
只需证明：，即.
令.
只需证明：.
令.
则，即在上为增函数.
又.
所以.
综上所述，原不等式成立.
22、答案：（1）曲线C普通方程，直线l普通方程
（2）
解析：（1）由消去t得：.
由，即.
又.
所以直线l的普通方程为.
（2）由题意知直线l的参数方程为.
联立方程，得.
设A，B两点对应的参数分别为，，则
，.
由参数t的几何意义可知：
.
23、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：由，所以.所以
，
当且仅当，时取等号，即.由此得证.
（2）证明：由.
当且仅当，时取等号.由此得证.