初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质精品教案设计

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人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3.1 角平分线的性质
1. 掌握角平分线的作法和角平分线的性质；
2. 掌握角平分线在实际生活中的应用；
3. 提高综合运用全等知识解决问题的能力.
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
 
 
3. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA
C
D
如图，是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线. 你能说明它的道理吗？
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗？
证明： 在△ACD和△ACB中
AD＝AB (已知)
DC＝BC (已知)
CA＝CA (公共边)
∴ △ACD≌ △ACB (SSS)
∴∠CAD＝∠CAB (全等三角形的对应边相等)
∴AC平分∠DAB (角平分线的定义)
观察领悟作法，思考证明方法
A
B
O
画法：
1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
 
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
1.角的平分线的作法 (尺规作角的平分线)
已知：OM＝ON，MC＝NC.
求证：OC平分∠AOB.
证明：在△OMC和△ONC中，
OM＝ON，
MC＝NC，
OC＝OC，
∴ △OMC≌ △ONC (SSS)
∴∠MOC＝∠NOC， 即：OC平分∠AOB
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD＝PE.
2. 角平分线的性质
∴∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∴ PD＝PE (全等三角形的对应边相等)
∴ △ PDO≌ △ PEO (AAS)
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB (已知)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵∠1＝ ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD＝PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
文字语言：
图形语言：
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
2. 角平分线的性质
判断
3.角平分线的性质运用
3. ∵ AD平分∠BAC， DC⊥AC，DB⊥AB (已知)
∴_____＝_____，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
1. 明确命题中的已知和求证.
2. 根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证.
3. 经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程.
例1. 在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA＝EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC＝BD.
证明： ∵OE是∠BOA的角平分线， ED⊥OB， EC⊥OA，
∴ ED＝EC， ∠EDB＝∠ECA＝90 °.
在Rt△EDB 和 Rt△ECA中，
∴ Rt△EDB ≌ Rt△ECA(HL).
∴ AC＝BD.
∴BD＝BC－CD＝7－3＝4.
解：∵AD为∠BAC的平分线，∠C＝90°，
DE⊥AB，
∴DC＝DE＝3.
∵BC＝7
如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB＝14.(1)则点P到AB的距离为_______.(2)求△APB的面积.(3)求∆PDB的周长.
4
 
由垂直平分线的性质可知，
如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB＝14.(2)求△APB的面积.
PD＝PC＝4，
如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB＝14.(3)求∆PDB的周长.
 
 
 
 
 
 
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE ＝DF， ∠EDB＝ 60°，则∠EBF＝_______度，BE＝______.
60
BF
60°
30°
30°
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm， 那么线段BE是△ABC的________，AE+DE＝_________.
角平分线
6cm
3. △ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是________.
3
∴DE＝DC，∠DEB＝∠C＝90°.
在△Rt△BED和Rt△FCD中
BD＝FDED＝CD
∴Rt△BED≌Rt△FCD (HL)
∴CF＝BE
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
证明：连接EB，EC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°.
在△EDB和△EDC中，
DB＝DC∠EDB＝∠EDCED＝ED
∴△EDB≌△EDC(SAS)
∴EB＝EC
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC
∴EM＝EN
∴Rt△EBM≌Rt△ECN
∴BM＝CN
∵ DE⊥BC
证明：延长AD交BC于点F
F
∵AD⊥BE，∠ADB＝∠FDB＝90°.
∵BE是角平分线，∴∠ABD＝∠FBD
∴△ABD≌△FBD (ASA)
∴∠BFD＝∠2
∵∠BFD＝∠1+∠C
∴∠2＝∠1+∠C
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
课程结束
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