人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀教案

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人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
1.了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理，能将实际问题中的“地点”“河” “桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化；
2.能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用；
3.能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用.
1.两点之间，_______最短．2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短．3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的______________．4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________．(2)对应点连线________．
线段
垂线段
垂直平分线
垂直平分线
相同
相等
理由是两点之间，线段最短.
P
探究点一
问题1：两点在一条直线的异侧
已知如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使得这个点到AB的距离最短，即AP+PB最短．请说明AP+PB最短的理由．
l
A
B
解：连接AB交直线l于点P，
这样PA+PB最小，
问题2：两点在一条直线的同侧
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究点一
作出点B关于l的对称点B′，
连接A，B′两点的线中，线段AB′最短．
因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
∴直线l是线段BB′的垂直平分线．
∵点C与C′在直线l上，
∴BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋C′B.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
探究点二
解：(1)如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
则MN为所建的桥的位置．
C
N
M
解：如图.
(1)作C点关于OA的对称点C₁，作D点关于OB的对称点D₁，
(2)连接C₁D₁，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
C₁
D₁
P
Q
1．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是(　 　)A．40° B．100° C．140° D．50°
B
将球杆沿BOA₁的方向撞击白球，可使白球先撞击台球边EF，然后反弹后又能击中黑球A.
A₁
O
E
F
G
H
B
A
解：先作出点A关于台球边EF的对称点A₁，
连接BA₁交EF于点O．
解：(1) AB′＝AP＋BP
点B′是点B关于m 的对称点，
∴BP=B′P
∴AP+BP=AP+B′P=AB′
N
解：(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN,
在∆ANB′中，AN＋BN ＞AB′
故AN＋BN>AP＋BP
4．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)(　　)
D
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
 
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故∠AOB的度数30°．　
6.如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是 (　　 )
A
 
在解决最短路径问题时，我们常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
课程结束
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