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高中数学（人教A版2019） 选择性必修第三册 人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》综合训练（含解析）
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这是一份高中数学（人教A版2019） 选择性必修第三册 人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》综合训练（含解析），共14页。
人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )
A. 20种
B. 50种
C. 80种
D. 100种
2.（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A. 504种
B. 960种
C. 1008种
D. 1108种
3.（5分）在(x2-4)(x+1x)9的展开式中x5的系数为( )
A. 36 B. -144 C. 60 D. -60
4.（5分）《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )
A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080
5.（5分）八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”坤卦是“”，坎卦是“”，在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是( )
A. 37 B. 314 C. 38 D. 316
6.（5分）将标号为1，2，…，9的9个球放入标号为1，2，…，9的9个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A. 84 B. 168 C. 252 D. 504
7.（5分）甲、乙、丙、丁四人做传球练习，第一次甲传给三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了5次后发现球在甲手中，则不同的传球路径条数是( )
A. 59 B. 60 C. 61 D. 62
8.（5分）2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有( )
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )
A. 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A21C982种
B. 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981种
C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981种
D. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003-C983种
10.（5分）某市为了了解各学校的教学工作，决定从3名男调研员和2名女调研员中选派4人到甲、乙、丙三所学校进行视察，则下列说法正确的是( ).
A. 若甲地需要选派2人且有1名为女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有36种
B. 若甲地需要选派2人且有1名为女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有18种
C. 若甲地需要选派2名女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有12种
D. 若甲地需要选派2名女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有6种
11.（5分）已知(x+33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则为有理项的是( )
A. 第0项 B. 第1项
C. 第6项 D. 第7项
12.（5分）已知1+ax2x-1x6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A. a=1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式系数的绝对值的和1458
D. 若r为偶数，则展开式中和xr-1的系数相等
13.（5分）已知(1+ax)(2x-1x)6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有 ( )
A. a=1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式中系数的绝对值的和为1450
D. 若k为偶数，则展开式中xk和xk-1的系数相等
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）(x-1x)6的二项展开式中的常数项为 ______ .(用数字作答)
15.（5分）2019年5月15日，亚洲文明对话大会在中国北京开幕．来自亚洲全部47个国家和世界其他国家及国际组织的1352位会议代表共同出席大会．为了保护各家元首的安全，相关部门将5个安保小组安排到的三个不同区域内开展安保工作，其中“甲安保小组”不能单独被分派，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______种．
16.（5分）为了提高命题质量，命题组指派6名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编.若每种题型指派两名教师，则不同分派方法种数为 (1) ；若每种题型至少指派一名教师，则不同分派方法种数为 (2) .
17.（5分）两张卡片的正、反两面分别写有1，2；3，4，将这两张卡片排成一排，可以构成 ______ 个不同的两位数．
18.（5分）为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
20.（12分）已知二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(I)求展开式的第四项；
(II)求展开式的常数项．
21.（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
22.（12分）从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛.
(1)求所选2人都是男生的概率；
(2)求所选2人恰有1名女生的概率；
(3)求所选2人中至少有1名女生的概率．
23.（12分）已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n均为大于1的整数)展开式中x的系数为11.且m，4，n成等差数列，求：
(1)x2的系数；
(2)f(x)展开式中x的奇数次幂项的系数之和．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】【试题解析】
此题主要考查两个计算原理和排列组合的综合应用，属于基础题.
分为两类：第一类：5名同学中选4名，第二类：5名同学中选5名，分别求出两类的方法数，再相加，即可得到答案.
解：可分为两类：
第一类：5名同学中选4名，则有C54C42=30种方法；
第二类：5名同学中选5名，有C53A22=20种方法，
故所求安排方法共有 30+20=50种方法，
故选B.
2.【答案】C;
【解析】
本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．
此题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意.
解：分两类：
第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×A22种，然后排丁，有A41种，剩下其他四个人全排列有A44种，因此共有2×A22A41A44=384种方法
第二类：甲乙相邻排中间，
若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有A44种，
若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后排丙，丙不再1号和7号，有A31种，接着排丁，丁不排在10月7日，有A31种，剩下3个人全排列，有A33种，
因此共有(4A22A44+4A22A31A31A33)=624种方法，
故共有1008种不同的排法
故选C.
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，属于基础题．
把(x+1x)9 按照二项式定理展开，即可求得(x2-4)(x+1x)9的展开式中x5的系数．
解：∵(x2-4)(x+1x)9=(x2-4)(C90⋅x9+C91⋅x7+C92x5+C93⋅x3+…+C99⋅x-9)，
故展开式中x5的系数为C93-4C92=84-144=-60，
故选：D．
4.【答案】D;
【解析】解：将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，有C62.C42.C21.C11A22.A22=45种方法，
再分配到4个村庄体验农村生活，共有A44=24种，
∴不同的分配方案种数为45×24=1080种．
故选：D．
根据分排列组合的分配问题，分组后再全排，先求出分组的方法，再求出分配的方法，利用乘法原理，可得结论．
该题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查中国传统文化与古典概型，考查读图能力和应用意识.
解：由图可知，
至少有两个“”的是乾，巽，离，兑四卦，
利用古典概型求解，在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是P=C42C82=314.
故选B.
6.【答案】B;
【解析】解：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，
即从9个球中取出3个，有C93=84种，
而这3个球的排法有2×1×1=2种；
则共有84×2=168种，
故选：B.
先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，是组合问题，结合题意，可得其排法数，进而分析可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，根据分步计数原理，计算可得答案．
此题主要考查排列、组合的运用，是一个典型的排列组合的实际应用，解题时注意排列、组合意义的不同，以免混用．
7.【答案】B;
【解析】解：根据题意，第一次传球中，甲传给三人中的一人，
第二次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前2次传球共有3×3=9种情况，其中球在甲手中的情况有3种，不在甲手中的情况有9-3=6种，
第三次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前3次传球共有3×3×3=27种情况，其中球在甲手中的情况有6种，不在甲手中的情况有27-6=21种，
第四次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前4次传球共有3×3×3×3=81种情况，其中球在甲手中的情况有21种，不在甲手中的情况有81-21=60种，
第五次传球，球回到甲手中，则第4次传球时，球一定不在甲手中，
故不同的传球路径有60条，
故选：B.
根据题意，由4人传球的规则，分析每一步传球的情况，计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及合情推理的应用，属于中档题．
8.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
先在物理、历史两科中选择1科，有2种选法，
再从政治、地理、化学、生物四科中选择2科，有C42=6种选法，
则有2×6=12种选法，
故选：B.
根据题意，分2步进行分析：先分析在物理、历史两科中选择1科的选法数目，再分析从政治、地理、化学、生物四科中选择2科的选法，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽出的3件中恰好有1件是不合格品，即两件合格品，1件不合格品，有A21C982种抽取方法，A正确，
对于B，由A的结论，B错误，
对于C，抽出的3件中至少有1件是不合格品即两件合格品，1件不合格品或1件合格品，2件不合格品，有C21C982+C22C981种抽取方法，C正确，
对于D，用间接法分析，抽出的3件中没有不合格品的抽取方法有C983种，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003-C983种，D正确，
故选：ACD．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查排列组合和两个计数原理的应用，属于中档题
解题时根据选项逐一判断即可。
解：若甲地选派2人，且有1名为女调研员，先考虑甲地，有C21C31种方法，再考虑乙、丙两地，有A32种方法，共有C21C31A32=36种方法.
故A正确，B错误.
若甲地选派2名女调研员，则甲地有C22种方法，共有C22A32=6种方法，故D正确，C错误.
综上，AD正确.
11.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了二项式定理的运用及二项式展开式的通项公式，属于基础题.
将二项式x区特殊值1，可得系数和，二项式系数和为2n，再利用二项式展开式通项公式求解.
解：
由(x+33x)n，令x=1，
得各项系数的和为(1+3)n=4n，各项二项式系数的和为2n，
依题意4n2n=2n=64，得n=6，
所以(x+33x)n展开式的通项为C6r.(x12)6-r.(3.x-13)r=3r.C6r.x3-56r，
要使3-56r为整数，则r=0，6.所以有理项是第1项与第7项.
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查二项式定理以及应用二项式定理求特定项以及系数，属于中档题.
令x=1可求得a的值，再利用二项式定理的通项分别判断BCD的正确性.
解：令x=1，可得1+a=2，所以a=1，故A正确；
设(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6rx6-2k，
当k=3时，(1+1x)(2x-1x)6为常数项，
所以(1+1x)(2x-1x)6的展开式中常数项为(-1)323C63=-160，故B错误；
(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，
令x=1，即2×36=1458，故C正确；
由(1+1x)(2x-1x)6=(2x-1x)6+(2x-1x)6x
由(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6rx6-2k，
则(2x-1x)6的所有项的次数都是偶数，
所以，对于(1+1x)(2x-1x)6，当r为偶数时，r-1为奇数，
xr的系数为(-1)r26-rC6rx6-2r=26-rC6rx6-2r，
xr-1的系数也为(-1)r26-rC6rx6-2r=26-rC6rx6-2r
所以r为偶数，展开式中xr和xr-1的系数相等，故D正确，
故选ACD.
13.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查二项式定理以及应用二项式定理求特定项以及系数，属于中档题.
令x=1可求得a的值，再利用二项式定理的通项Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6kx6-2k，分别判断BD的正确性，因为(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，令x=1，代入得展开式中系数的绝对值的和，可判断C的正误.
解：对于A，令x=1，可得1+a=2，所以a=1，故A正确；
对于B，设(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6kx6-2k，
当k=3时，所以(1+1x)(2x-1x)6的展开式中常数项为(-1)323C63=-160，故B错误；
对于C，(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，
令x=1，即2×36=1458，故C错误；
对于D，根据(1+1x)(2x-1x)6=(1+1x)(64x6-192x4+240x2-160+60x-2-12x-4+x-6)，
可得若k为偶数，则展开式中xk和xk-1的系数相等，故D正确，
故答案为AD.
14.【答案】-20;
【解析】解：(x-1x)6的二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x6-2r，
令6-2r=0，求得r=3，可得(x-1x)6的二项展开式中的常数项为-C63=-20，
故答案为：-20.
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.【答案】108;
【解析】解：根据题意，分两步进行：
①将5个安保小组分成3组，有C42×3=36种情况；
②将分成的3组全排列分派到每一个区域内，有A33=6种情况，
根据分步计数原理，这样的安排方法共计有36×6=108种情况．
故答案为：108．
根据题意，分两步，将5个安保小组分成3组，然后全排列分派到每个区域，即可得到结果．
该题考查排列、组合及计数原理知识，属于一般基础题型．
16.【答案】90;540;
【解析】
此题主要考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列.
第一空：是平均分组，再排列；第二空：三种分法：2:2:2或3:2:1或4:1:1
解：第一空：平均分组再排列，即C62C42C22=15×6×1=90；
第二空：2:2:2或3:2:1或4:1:1，即C61C51C44A22.A33+C62C42C22+C61C52C33.A33
=90+90+360=540.
故答案为90；540.
17.【答案】8;
【解析】解：第一步从2张卡片选一个数字为4种，第二步再剩下的一张卡上取一个数字有2种，
根据分步计数原理可得，共有4×2=8种．
故答案为：8
分两步，第一步从2张卡片选一个数字为4种，第二步再剩下的一张卡上取一个数字有2种
该题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．
18.【答案】120;
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，
②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有A54=120种安排方法，
故答案为：120
根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案．
该题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
x2的系数为Cm2+22Cn2=m(m-1)2+2n(n-1)=m2-m2+(11-m)(11-m2-1)=(m-214)2+35116.
∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，
此时n=3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.
设这时f(x)的展开式为
fx=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，
两式相减得2(a1+a3+a5)=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.;
【解析】此题主要考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．
(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
(2)通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
20.【答案】解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为，12Cn1，14Cn2，
∴C0n+14C2n=2×12C1n，
∴n2-9n+8=0，
解得n=8.
(I)第四项T4=C83(3x)5(-12)3=-7x23
(II)通项公式为Tr+1=C8r(-12)rx8-2r3，
令8-2r3=0，得r=4，
所以展开式中的常数项为T5=C84(-12)4=358.;
【解析】
首先展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，写出三个项之间的关系，求出n的值，
(I)在一个二项式中，写出二项式的第四项，注意二项式所包含的两部分结构比较复杂，运算时要细心．
(II)根据前面写出的二项式的形式，写出二项式的通项，根据要求的是常数项，只要使得变量x的指数等于0，做出r的值即可求得常数项．
21.【答案】解：(1)要组成偶数，则个位必须是2和4中的某一个数字，所以有C21种，
十位百位在剩下的4个数字中挑两个进行排列，有A42种，
所以共有C21.A42=2×12=24种；
(2)法一：用1，2，3，4，5这5个数字一共可以组成A54=120个四位数，
其中小于等于2000的自然数一定是首位为1，则这样的四位数有A43=24个，
所以大于2000的自然数有120-24=96个；
法二：首位只要不是1的四位数均比2000大，所以共有C41A43=4×24=96个；
(3)中间为偶数的情况有C21种，夹在两奇数之间，这两个奇数有A32种，
三个元素捆绑在一起作为一个元素与剩下的两个数字全排列，
所以一共有C21.A32.A33=2×6×6=72个.;
【解析】此题主要考查了排列、组合的综合应用，是中档题.
(1)先安排个数，剩下全排列即可；
(2)法一，先得出所有的四位数，再减去首位为1的四位数，可得结果；
法二：先考虑首位大于1，剩下全排列即可；
(3)选一个偶数，两个奇数，捆在一起，剩下全排列即可；
22.【答案】解：(1)从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，
基本事件总数n=C72=21，
所选2人都是男生包含的基本事件个数m1=C42=6，
∴所选2人都是男生的概率p1=m1n=621=27.
(2)所选2人恰有1名女生包含的基本事件个数m2=C41C31=12，
∴所选2人恰有1名女生的概率p2=m2n=1221=47.
(3)所选2人中至少有1名女生的对立事件是所选2人都是男生，
∴所选2人中至少有1名女生的概率p3=1-C42C72=57.;
【解析】此题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．
(1)基本事件总数n=C72=21，所选2人都是男生包含的基本事件个数m1=C42=6，由此能求出所选2人都是男生的概率．
(2)所选2人恰有1名女生包含的基本事件个数m2=C41C31=12，由此能求出所选2人恰有1名女生的概率．
(3)所选2人中至少有1名女生的对立事件是所选2人都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出所选2人中至少有1名女生的概率．
23.【答案】解：（1）∵Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
又m+n=8，解得m=5，n=3，
此时x2的系数为Cm2+4Cn2=22；
（2）由（1）m=5，n=3
所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
从而f（1）=25+33=a0+a1+…+a5，
f（-1）=0-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5，
所以a1+a3+a5=12[f(1)-f(-1)]=30，
即奇数次幂项的系数之和为30．;
【解析】
(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，再由m，4，n成等差数列，列出方程得到m，n的关系；进而得到x2的系数；
(2)通过对x分别赋值1，-1，两式子相减乘以12，求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
该题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题，考查利用赋值法求二项展开式的系数和问题，属于中档题．
人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )
A. 20种
B. 50种
C. 80种
D. 100种
2.（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A. 504种
B. 960种
C. 1008种
D. 1108种
3.（5分）在(x2-4)(x+1x)9的展开式中x5的系数为( )
A. 36 B. -144 C. 60 D. -60
4.（5分）《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )
A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080
5.（5分）八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”坤卦是“”，坎卦是“”，在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是( )
A. 37 B. 314 C. 38 D. 316
6.（5分）将标号为1，2，…，9的9个球放入标号为1，2，…，9的9个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A. 84 B. 168 C. 252 D. 504
7.（5分）甲、乙、丙、丁四人做传球练习，第一次甲传给三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了5次后发现球在甲手中，则不同的传球路径条数是( )
A. 59 B. 60 C. 61 D. 62
8.（5分）2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有( )
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )
A. 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A21C982种
B. 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981种
C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981种
D. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003-C983种
10.（5分）某市为了了解各学校的教学工作，决定从3名男调研员和2名女调研员中选派4人到甲、乙、丙三所学校进行视察，则下列说法正确的是( ).
A. 若甲地需要选派2人且有1名为女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有36种
B. 若甲地需要选派2人且有1名为女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有18种
C. 若甲地需要选派2名女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有12种
D. 若甲地需要选派2名女调研员，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有6种
11.（5分）已知(x+33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则为有理项的是( )
A. 第0项 B. 第1项
C. 第6项 D. 第7项
12.（5分）已知1+ax2x-1x6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A. a=1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式系数的绝对值的和1458
D. 若r为偶数，则展开式中和xr-1的系数相等
13.（5分）已知(1+ax)(2x-1x)6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有 ( )
A. a=1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式中系数的绝对值的和为1450
D. 若k为偶数，则展开式中xk和xk-1的系数相等
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）(x-1x)6的二项展开式中的常数项为 ______ .(用数字作答)
15.（5分）2019年5月15日，亚洲文明对话大会在中国北京开幕．来自亚洲全部47个国家和世界其他国家及国际组织的1352位会议代表共同出席大会．为了保护各家元首的安全，相关部门将5个安保小组安排到的三个不同区域内开展安保工作，其中“甲安保小组”不能单独被分派，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______种．
16.（5分）为了提高命题质量，命题组指派6名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编.若每种题型指派两名教师，则不同分派方法种数为 (1) ；若每种题型至少指派一名教师，则不同分派方法种数为 (2) .
17.（5分）两张卡片的正、反两面分别写有1，2；3，4，将这两张卡片排成一排，可以构成 ______ 个不同的两位数．
18.（5分）为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
20.（12分）已知二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(I)求展开式的第四项；
(II)求展开式的常数项．
21.（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
22.（12分）从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛.
(1)求所选2人都是男生的概率；
(2)求所选2人恰有1名女生的概率；
(3)求所选2人中至少有1名女生的概率．
23.（12分）已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n均为大于1的整数)展开式中x的系数为11.且m，4，n成等差数列，求：
(1)x2的系数；
(2)f(x)展开式中x的奇数次幂项的系数之和．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】【试题解析】
此题主要考查两个计算原理和排列组合的综合应用，属于基础题.
分为两类：第一类：5名同学中选4名，第二类：5名同学中选5名，分别求出两类的方法数，再相加，即可得到答案.
解：可分为两类：
第一类：5名同学中选4名，则有C54C42=30种方法；
第二类：5名同学中选5名，有C53A22=20种方法，
故所求安排方法共有 30+20=50种方法，
故选B.
2.【答案】C;
【解析】
本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．
此题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意.
解：分两类：
第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×A22种，然后排丁，有A41种，剩下其他四个人全排列有A44种，因此共有2×A22A41A44=384种方法
第二类：甲乙相邻排中间，
若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有A44种，
若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后排丙，丙不再1号和7号，有A31种，接着排丁，丁不排在10月7日，有A31种，剩下3个人全排列，有A33种，
因此共有(4A22A44+4A22A31A31A33)=624种方法，
故共有1008种不同的排法
故选C.
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，属于基础题．
把(x+1x)9 按照二项式定理展开，即可求得(x2-4)(x+1x)9的展开式中x5的系数．
解：∵(x2-4)(x+1x)9=(x2-4)(C90⋅x9+C91⋅x7+C92x5+C93⋅x3+…+C99⋅x-9)，
故展开式中x5的系数为C93-4C92=84-144=-60，
故选：D．
4.【答案】D;
【解析】解：将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，有C62.C42.C21.C11A22.A22=45种方法，
再分配到4个村庄体验农村生活，共有A44=24种，
∴不同的分配方案种数为45×24=1080种．
故选：D．
根据分排列组合的分配问题，分组后再全排，先求出分组的方法，再求出分配的方法，利用乘法原理，可得结论．
该题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查中国传统文化与古典概型，考查读图能力和应用意识.
解：由图可知，
至少有两个“”的是乾，巽，离，兑四卦，
利用古典概型求解，在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是P=C42C82=314.
故选B.
6.【答案】B;
【解析】解：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，
即从9个球中取出3个，有C93=84种，
而这3个球的排法有2×1×1=2种；
则共有84×2=168种，
故选：B.
先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，是组合问题，结合题意，可得其排法数，进而分析可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，根据分步计数原理，计算可得答案．
此题主要考查排列、组合的运用，是一个典型的排列组合的实际应用，解题时注意排列、组合意义的不同，以免混用．
7.【答案】B;
【解析】解：根据题意，第一次传球中，甲传给三人中的一人，
第二次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前2次传球共有3×3=9种情况，其中球在甲手中的情况有3种，不在甲手中的情况有9-3=6种，
第三次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前3次传球共有3×3×3=27种情况，其中球在甲手中的情况有6种，不在甲手中的情况有27-6=21种，
第四次传球，由拿球者再传给其他三人中的一人，前4次传球共有3×3×3×3=81种情况，其中球在甲手中的情况有21种，不在甲手中的情况有81-21=60种，
第五次传球，球回到甲手中，则第4次传球时，球一定不在甲手中，
故不同的传球路径有60条，
故选：B.
根据题意，由4人传球的规则，分析每一步传球的情况，计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及合情推理的应用，属于中档题．
8.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
先在物理、历史两科中选择1科，有2种选法，
再从政治、地理、化学、生物四科中选择2科，有C42=6种选法，
则有2×6=12种选法，
故选：B.
根据题意，分2步进行分析：先分析在物理、历史两科中选择1科的选法数目，再分析从政治、地理、化学、生物四科中选择2科的选法，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽出的3件中恰好有1件是不合格品，即两件合格品，1件不合格品，有A21C982种抽取方法，A正确，
对于B，由A的结论，B错误，
对于C，抽出的3件中至少有1件是不合格品即两件合格品，1件不合格品或1件合格品，2件不合格品，有C21C982+C22C981种抽取方法，C正确，
对于D，用间接法分析，抽出的3件中没有不合格品的抽取方法有C983种，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003-C983种，D正确，
故选：ACD．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查排列组合和两个计数原理的应用，属于中档题
解题时根据选项逐一判断即可。
解：若甲地选派2人，且有1名为女调研员，先考虑甲地，有C21C31种方法，再考虑乙、丙两地，有A32种方法，共有C21C31A32=36种方法.
故A正确，B错误.
若甲地选派2名女调研员，则甲地有C22种方法，共有C22A32=6种方法，故D正确，C错误.
综上，AD正确.
11.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了二项式定理的运用及二项式展开式的通项公式，属于基础题.
将二项式x区特殊值1，可得系数和，二项式系数和为2n，再利用二项式展开式通项公式求解.
解：
由(x+33x)n，令x=1，
得各项系数的和为(1+3)n=4n，各项二项式系数的和为2n，
依题意4n2n=2n=64，得n=6，
所以(x+33x)n展开式的通项为C6r.(x12)6-r.(3.x-13)r=3r.C6r.x3-56r，
要使3-56r为整数，则r=0，6.所以有理项是第1项与第7项.
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查二项式定理以及应用二项式定理求特定项以及系数，属于中档题.
令x=1可求得a的值，再利用二项式定理的通项分别判断BCD的正确性.
解：令x=1，可得1+a=2，所以a=1，故A正确；
设(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6rx6-2k，
当k=3时，(1+1x)(2x-1x)6为常数项，
所以(1+1x)(2x-1x)6的展开式中常数项为(-1)323C63=-160，故B错误；
(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，
令x=1，即2×36=1458，故C正确；
由(1+1x)(2x-1x)6=(2x-1x)6+(2x-1x)6x
由(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6rx6-2k，
则(2x-1x)6的所有项的次数都是偶数，
所以，对于(1+1x)(2x-1x)6，当r为偶数时，r-1为奇数，
xr的系数为(-1)r26-rC6rx6-2r=26-rC6rx6-2r，
xr-1的系数也为(-1)r26-rC6rx6-2r=26-rC6rx6-2r
所以r为偶数，展开式中xr和xr-1的系数相等，故D正确，
故选ACD.
13.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查二项式定理以及应用二项式定理求特定项以及系数，属于中档题.
令x=1可求得a的值，再利用二项式定理的通项Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6kx6-2k，分别判断BD的正确性，因为(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，令x=1，代入得展开式中系数的绝对值的和，可判断C的正误.
解：对于A，令x=1，可得1+a=2，所以a=1，故A正确；
对于B，设(2x-1x)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6kx6-2k，
当k=3时，所以(1+1x)(2x-1x)6的展开式中常数项为(-1)323C63=-160，故B错误；
对于C，(1+1x)(2x-1x)6的展开式系数的绝对值的和应为(1+1x)(2x+1x)6的展开式系数的和，
令x=1，即2×36=1458，故C错误；
对于D，根据(1+1x)(2x-1x)6=(1+1x)(64x6-192x4+240x2-160+60x-2-12x-4+x-6)，
可得若k为偶数，则展开式中xk和xk-1的系数相等，故D正确，
故答案为AD.
14.【答案】-20;
【解析】解：(x-1x)6的二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x6-2r，
令6-2r=0，求得r=3，可得(x-1x)6的二项展开式中的常数项为-C63=-20，
故答案为：-20.
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.【答案】108;
【解析】解：根据题意，分两步进行：
①将5个安保小组分成3组，有C42×3=36种情况；
②将分成的3组全排列分派到每一个区域内，有A33=6种情况，
根据分步计数原理，这样的安排方法共计有36×6=108种情况．
故答案为：108．
根据题意，分两步，将5个安保小组分成3组，然后全排列分派到每个区域，即可得到结果．
该题考查排列、组合及计数原理知识，属于一般基础题型．
16.【答案】90;540;
【解析】
此题主要考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列.
第一空：是平均分组，再排列；第二空：三种分法：2:2:2或3:2:1或4:1:1
解：第一空：平均分组再排列，即C62C42C22=15×6×1=90；
第二空：2:2:2或3:2:1或4:1:1，即C61C51C44A22.A33+C62C42C22+C61C52C33.A33
=90+90+360=540.
故答案为90；540.
17.【答案】8;
【解析】解：第一步从2张卡片选一个数字为4种，第二步再剩下的一张卡上取一个数字有2种，
根据分步计数原理可得，共有4×2=8种．
故答案为：8
分两步，第一步从2张卡片选一个数字为4种，第二步再剩下的一张卡上取一个数字有2种
该题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．
18.【答案】120;
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，
②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有A54=120种安排方法，
故答案为：120
根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案．
该题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
x2的系数为Cm2+22Cn2=m(m-1)2+2n(n-1)=m2-m2+(11-m)(11-m2-1)=(m-214)2+35116.
∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，
此时n=3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.
设这时f(x)的展开式为
fx=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，
两式相减得2(a1+a3+a5)=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.;
【解析】此题主要考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．
(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
(2)通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
20.【答案】解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为，12Cn1，14Cn2，
∴C0n+14C2n=2×12C1n，
∴n2-9n+8=0，
解得n=8.
(I)第四项T4=C83(3x)5(-12)3=-7x23
(II)通项公式为Tr+1=C8r(-12)rx8-2r3，
令8-2r3=0，得r=4，
所以展开式中的常数项为T5=C84(-12)4=358.;
【解析】
首先展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，写出三个项之间的关系，求出n的值，
(I)在一个二项式中，写出二项式的第四项，注意二项式所包含的两部分结构比较复杂，运算时要细心．
(II)根据前面写出的二项式的形式，写出二项式的通项，根据要求的是常数项，只要使得变量x的指数等于0，做出r的值即可求得常数项．
21.【答案】解：(1)要组成偶数，则个位必须是2和4中的某一个数字，所以有C21种，
十位百位在剩下的4个数字中挑两个进行排列，有A42种，
所以共有C21.A42=2×12=24种；
(2)法一：用1，2，3，4，5这5个数字一共可以组成A54=120个四位数，
其中小于等于2000的自然数一定是首位为1，则这样的四位数有A43=24个，
所以大于2000的自然数有120-24=96个；
法二：首位只要不是1的四位数均比2000大，所以共有C41A43=4×24=96个；
(3)中间为偶数的情况有C21种，夹在两奇数之间，这两个奇数有A32种，
三个元素捆绑在一起作为一个元素与剩下的两个数字全排列，
所以一共有C21.A32.A33=2×6×6=72个.;
【解析】此题主要考查了排列、组合的综合应用，是中档题.
(1)先安排个数，剩下全排列即可；
(2)法一，先得出所有的四位数，再减去首位为1的四位数，可得结果；
法二：先考虑首位大于1，剩下全排列即可；
(3)选一个偶数，两个奇数，捆在一起，剩下全排列即可；
22.【答案】解：(1)从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，
基本事件总数n=C72=21，
所选2人都是男生包含的基本事件个数m1=C42=6，
∴所选2人都是男生的概率p1=m1n=621=27.
(2)所选2人恰有1名女生包含的基本事件个数m2=C41C31=12，
∴所选2人恰有1名女生的概率p2=m2n=1221=47.
(3)所选2人中至少有1名女生的对立事件是所选2人都是男生，
∴所选2人中至少有1名女生的概率p3=1-C42C72=57.;
【解析】此题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．
(1)基本事件总数n=C72=21，所选2人都是男生包含的基本事件个数m1=C42=6，由此能求出所选2人都是男生的概率．
(2)所选2人恰有1名女生包含的基本事件个数m2=C41C31=12，由此能求出所选2人恰有1名女生的概率．
(3)所选2人中至少有1名女生的对立事件是所选2人都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出所选2人中至少有1名女生的概率．
23.【答案】解：（1）∵Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，
又m+n=8，解得m=5，n=3，
此时x2的系数为Cm2+4Cn2=22；
（2）由（1）m=5，n=3
所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
从而f（1）=25+33=a0+a1+…+a5，
f（-1）=0-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5，
所以a1+a3+a5=12[f(1)-f(-1)]=30，
即奇数次幂项的系数之和为30．;
【解析】
(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，再由m，4，n成等差数列，列出方程得到m，n的关系；进而得到x2的系数；
(2)通过对x分别赋值1，-1，两式子相减乘以12，求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
该题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题，考查利用赋值法求二项展开式的系数和问题，属于中档题．
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