高中数学（人教A版2019）选择性必修第三册 同步备课试题 第7章 随机变量及其分布全章复习（单元测试） Word版含解析

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第7章随机变量及其分布全章复习（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【详解】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
2．某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，品牌设备需投入60万元，品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.1
0.3
0.4
0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：（    ）A．不更换设备 B．更换为设备 C．更换为设备 D．更换为或设备均可
【答案】C
【分析】根据随机变量分布列分别计算出、品牌设备使用年限的平均值，从而可计算出各自的年均收益，进而可进行判断
【详解】设更换为品牌设备使用年限为，则年，
更换为品牌设备年均收益为万元；
设更换为品牌设备使用年限为，则年，
更换为品牌设备年均收益为万元．
所以更换为品牌设备，
故选：C．
3．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，由此可求得选项.
【详解】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，
所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为，
故选：C.
4．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的对称性和性质可知，由此可确定对称轴，即为.
【详解】随机变量服从正态分布，其正态密度曲线的对称轴为直线，
，又，
，．
故选：D．
5．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（    ）

附：若随机变量，则，，
A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
【答案】A
【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积，
【详解】根据题意，随机变量满足正态分布，
得，，则对称轴为，且，
根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积


．
故选：A
6．随机变量的分布列为








若，则（    ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果.
【详解】由分布列性质知：，解得：；
，；
.
故选：A.
7．已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】设事件为合格品，事件为一级品，则，，则.
故选：A.
8．设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表格，则（    ）
X
0
1
2
p
a
a
b
A．有最大值，有最大值 B．有最大值，无最大值
C．无最大值，有最大值 D．无最大值，无最大值
【答案】C
【分析】先根据期望和方差的公式，计算出和，然后再分析最大值即可.
【详解】由题意易知，，，
，
因为，所以无最大值，





，
当时，有最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．设离散型随机变量的分布列如下表：

1
2
3
4
5


0.1
0.2

0.3
若离散型随机变量，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案
【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确；
，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误，
故选：BC．
10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（    ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，
故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，
故选项C正确；
若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，
故选项D正确．
故选：ACD．
11．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球的个数为，则随着的增加，下列说法正确的是（    ）
A．增加 B．减小 C．增加 D．减小
【答案】BC
【分析】由超几何分布与二项分布，求解离散随机变量的期望与方差，然后判断选项
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中红球的个数服从超几何分布，，，则．
故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球的个数为，
易知随机变量服从两点分布，故，
所以，随着的增加，减小；
，
随着的增加，增加．
故选：BC
12．下列说法正确的是（    ）
A．设随机变量服从二项分布，则
B．已知随机变量服从正态分布，且，则
C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D．，
【答案】ABC
【分析】对于选项A：直接利用二项分布的概率公式即可求解；
对于选项B：利用正态曲线的对称性直接求解；
对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，分别求出，，利用条件概率即可求解；
对于选项D：利用期望和方差的性质直接求解.
【详解】对于选项A：若随机变量服从二项分布，则，正确；
对于选项B：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是直线.
因为，所以，
∴，正确；
对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，
则，，∴，正确；
对于选项D：，，不正确．
故选：ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．100只灯泡中含有n（2≤n≤92）只不合格品，若从中一次任取10只，记“恰好含有2只不合格品”的概率为f（n），当f（n）取得最大值时，n=_____．
【答案】20
【详解】试题分析：由题意得：，则由
当时，；当时，；因此当f（n）取得最大值时，n=20
考点：组合数性质
14．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________
【答案】
【分析】求出，再利用条件概率求解即可.
【详解】由题意得
,
则.
故答案为：
15．某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》PK赛（共4局），A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为______．
【答案】
【分析】根据题意可知比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种：A全胜；A三胜一负；A第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式分别求出对应的概率即可.
【详解】比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有：
A全胜；A三胜一负；A第三局胜，另外三局一胜两负.
所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：
.
故答案为：.
16．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若，则的值为__________．

-1
0
1
2





【答案】
【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道、、和之间的关系，根据期望为0和方差
是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．
【详解】由题知，，
由题得，
，．
则．
故选．
【点睛】本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量
不大，解题时要认真．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知10件产品中有2件次品，
（1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率；
（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？
【答案】（1）；（2）至少应抽取8件产品作检验.
【分析】（1）先求出任取4件的方法数，再求出任取的1件中次品的方法数，由此可得所求概率；
（2）即抽取的产品中至少有2件次品的概率超过0.6，列式求解．
【详解】（1）其中恰有1件次品的概率；
（2）设应抽取件产品作检验，则，得，解得，所以至少应抽取8件产品作检验.
18．某公司对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的销售目标.这个销售目标是否合适将直接影响公司的经济效益.如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心；如果目标定得太低，不利于挖掘销售员的工作潜力.通过抽样，获得了2020年7月到12月100名销售员的月均销售额（单位：万元），将数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，公司希望恰有的销售人员完成销售目标.

（1）求频率分布直方图中的值，及公司应制定的销售目标值；
（2）为了继续挖掘销售员的工作潜力，公司规定：若销售员能完成销售目标，则奖励销售员1000元奖金；若销售员不能完成销售目标，则销售员没有奖金.现按分层抽样的方法从销售额在，这两组的销售员中抽取8人，再从中任意选取2人，记这2名销售员获得的奖金之和为元，求的分布列与期望.
【答案】（1），14.5万元；（2）分布列见解析，1500元.
【分析】（1）由面积之和为1可求得，先确定销售目标为所在的区间，再由题意列出式子即可求解；
（2）先有分层抽样确定每组抽取的人数，再结合超几何分布求解即可
【详解】（1）由题可知，
解得.
设应制定的销售目标为万元，
因为时有：，
时有：，
所以，由，解得.
故公司应制定的销售目标为14.5万元.
（2）因为，所以应从销售额在这组人中抽取人，从销售额在这组人中抽取6人.
由题可知，可能的取值为0，1000，2000，
且，，.
故的分布列为

0
1000
2000





，即的期望为1500元.
19．小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：，，.每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，.假设遇到拥堵会迟到，求：

(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)小张到达公司未迟到，选择第1条路的概率是多少？
【答案】(1)0.36；
(2).

【分析】(1)将不迟到的事件C分拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可求解作答.
(2)利用(1)的结论利用条件概率公式计算作答.
(1)
不迟到就是对应着不拥堵，设事件C为到公司不迟到，它是分别选择、、不迟到的三个互斥事件的和，
因此，
，
所以小张从家到公司不迟到的概率为0.36.
(2)
由(1)知，小张到达公司未迟到的概率，
，
所以小张到达公司未迟到，选择第1条路的概率约为.
20．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:







所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.



21．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
87   87   88   92   95   97   98   99   103   104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
（1）求与．
（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【答案】（1）；；（2）①；②需要进一步调试；理由见解析．
【分析】（1）直接根据平均值和方差公式求出与，即可求出；
（2）①根据题意分析得知即可套公式求出；
②先计算出5个零件中恰有1个的内径（单位：）不在内的概率，根据原则，即可下结论.
【详解】解：（1），
，
则．
（2）①因为，
所以，
则，
所以，
故．
②因为，
所以5个零件中恰有1个的内径（单位：）
不在内的概率为，
因为，所以试生产的5个零件就出现了1个不在内，
出现的频率是0.01485的十三倍多，根据原则，需要进一步调试．
22．十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
(1)若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
(2)当，且每轮比赛互不影响时，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】(1)
(2)19轮竞赛

【分析】（1）分甲答对1次，乙答对2次，甲答对2次，乙答对1次，甲答对2次，乙答对2次三类求解；
（2）先求得获“优秀小组”的概率的最大值，设他们小组在n轮竞赛中获“优秀小组”的次数为，由求解.
【详解】（1）解：由题可知，所有可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率；
②甲答对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率．
故所求的概率．
（2）他们在一轮竞赛中获“优秀小组”的概率

．
因为，，，
所以，，
所以，
由基本不等式，当且仅当时，等号成立，
所以，令，
则，，
所以当时，，
设他们小组在n轮竞赛中获“优秀小组”的次数为，
则，
由，得，
所以理论上至少要进行19轮竞赛．