重庆市南开中学校2022-2023学年高三第十次数学试题（原卷版）

这是一份重庆市南开中学校2022-2023学年高三第十次数学试题（原卷版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市高2023届高三第十次质量检测
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知为虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，能表示集合关系的Venn图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C. 去年4月鲜菜价格要比今年4月低
D. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%
4. 已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则（ ）
A. 3 B. C. D. 13
5. 已知侧面积为的圆柱存在内切球，则此圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在上函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（ ）
A. 平均数没变 B. 中位数没变 C. 方差没变 D. 极差没变
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象可由的图象左移个单位得到
B. 与图象交点的横坐标成等差数列
C. 函数在上单调递减
D. 函数的一条对称轴为
11. 已知三棱锥，，为棱上一点，且，过点作平行于直线和的平面，分别交棱于．下列说法正确的是（ ）

A. 四边形为矩形
B. 四边形的周长为定值
C. 四边形的面积为定值
D. 当时，平面分三棱锥所得的两部分体积相等
12. 19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A. 都有
B. 函数和均不存在最小正周期
C. 函数和均为偶函数
D. 存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，若与平行，则实数______________．
14. 的展开式中含有项的系数为__________．
15. 过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是_____________．
16. 已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为_________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图所示，正三棱柱中各条棱长均为2，点分别为棱的中点．

（1）求异面直线和所成角的正切值；
（2）求点到平面的距离．
18. 已知中，角的对边分别为，满足．
（1）求角；
（2）若，求．
19. 已知数列满足．
（1）求数列通项公式；
（2）若不等式对恒成立，求实数取值范围．
20. 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
（1）记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望；
（2）对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数．
①若，求证：；
②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．
21. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求实数的值及抛物线的标准方程；
（2）如图，过点的直线交轴于点，点在线段上，过点的直线交抛物线于不同两点（点异于点），直线分别交抛物线于不同的两点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①为的中点；
②直线为抛物线的切线；
③∥．
22. 已知函数为其极小值点．
（1）求实数值；
（2）若存在，使得，求证：．