浙教版数学九上 第一章《二次函数》单元能力提升卷（困难）

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浙教版 数学 九上 第一章《二次函数》单元能力提升卷
一． 选择题（共30分）
1.已知抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则方程（x﹣1）2+m2＝2m（x﹣1）﹣n的解为（　　）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2
【分析】先将方程（x﹣1）2+m2＝2m（x﹣1）﹣n化简，再根据抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点和二次函数图象平移的特点，即可写出抛物线y＝（x﹣m﹣1）2+n与x轴交于（0，0）、（4，0）两点，然后即可得到方程（x﹣1）2+m2＝2m（x﹣1）﹣n的解．
【解答】解：（x﹣1）2+m2＝2m（x﹣1）﹣n，
化简，得：（x﹣m﹣1）2+n＝0，
∵抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，
∴抛物线y＝（x﹣m﹣1）2+n与x轴交于（0，0）、（4，0）两点，
∴方程（x﹣1）2+m2＝2m（x﹣1）﹣n的解为x1＝0，x2＝4，
故选：C．

2.小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3.25＜x＜3.26 B．3.24＜x＜3.25
C．3.23＜x＜3.24 D．3＜x＜3.23
【解答】解：由表格可发现ax2+bx+c的值在﹣0.02与0.03之间最接近0，
即抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点在函数值在﹣0.02与0.03之间，
∴ax2+bx+c＝0时，对应的x就是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴3.24＜x＜3.25．
故选：B．

3.某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）

A．24m B．20m C．18m D．16m

【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，
由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），
∴0＝a×（﹣24）2+12，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+12，
当y＝9时，
9＝﹣x2+12，
解得x1＝12，x2＝﹣12，
∴点E（﹣12，9），点F（12，9），
∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），
故选：A．

4.如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0．故②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0．故①正确；

∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0．故③错误；

根据抛物线的对称性知，当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．

5.长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（　　）

A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
【分析】根据AD的边长为x米，可以得出AB的长为米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．
【解答】解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x•，
∴y＝．
故选：C．

6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，
CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．
设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，
则y与x之间的函数关系大致是（  ）

A． B．
C． D．
【答案】C

7.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】直接利用关于x对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数得到关于x轴对称后的解析式，进而利用上下平移规律得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2的图象关于x轴对称后，得抛物线解析式为：﹣y＝（x+1）2，即y＝﹣（x+1）2，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式是：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：C．

8.已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；
【详解】解：∵，
对称轴为：，∴x=0时，y=c；x=-3时，y=c，
如图为抛物线与直线关系图，

由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2，
∴当-5≤c＜-2时，直线与抛物线只有一个交点，
∴c为整数时可取-5，-4，-3，
②令，则，时，解得 c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，
∴c的值为：-5，-4，-3，-1，
故选： D．

9.若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【答案】D
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．

10.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（  ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．

二． 填空题（共24分）
11.已知是关于x的二次函数，那么m的值为______
【答案】2
【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为，系数不为，列式计算即可；
【详解】解：是y关于x的二次函数，
且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为且指数为是解题的关键．
12．(3分)（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．
【答案】a＞2
【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．
【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，
∴2-a＜0，即a＞2，
故答案为：a＞2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
13．(3分)（2022秋·九年级单元测试）二次函数（为常数）与轴的一个交点为（－1，0），则另一个交点为___________．
【答案】（-5，0）
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后利用二次函数的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线,
而抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点为（-5，0）．
故答案为：（-5,0）．

14.无论自变量x取什么实数，二次函数的函数值总是正数，
则m的取值范围是 ．
【答案】
15. 如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，
以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，
以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O建立如图2所示的平面直角坐标系，
则该抛物线的表达式为 ．

【答案】
16.二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
①＞0；②b＞0；  ③  ＞0；④ b2-4ac＞0，其中正确的个数是____________

【答案】.①④


三．解答题（共66分）
17.（6分）一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？
【答案】(1)抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；
(2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度

【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式；
（2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案．
【详解】（1）解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=-7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7.
顶点坐标是（-1，-7）
（2）解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到

18.（8分）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．

【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得

与x之间的函数关系式是．
（2）解：根据题意，得


∴抛物线开口向下，W有最大值
当时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．

19.（8分）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．

（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．

20.（10分）水果店新进一种水果，进价为每千克元，
每天的销售量与销售单价（元）之间满足一次函数关系式，其图像如图所示．

(1) 求与之间的函数关系式；
(2) 水果的销售单价定为多少元时，水果店卖这种水果每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
（1）解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图像可知：，
解得：，
∴与的函数关系式为．
（2）解：设每天销售这种水果所获的利润为元，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴售价定为元/件时，每天最大利润为元．
21.（10分）王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离
之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示．

（1）求铅球出手点的离地面的高度为多少米；
（2）求铅球推出的水平距离是多少米？
解：（1）令，则，
所以求铅球出手点的离地面的高度为米．
（2）令函数式中，y=0，，
所以
所以  
解得（舍去），
即铅球推出的距离是10m．

22.（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，作直线AC．
​（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是x轴正半轴上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可求点A、B、C的坐标；
（2）先求出△ABC的面积，可求△PAB的面积为1，从而可以求出P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出P的坐标；
（3）过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，先证明△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，再求出直线CD的函数解析式，令y＝0即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得：
﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得：
y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴点A、B、C的坐标分别为：A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．

（2）＝3，
∴＝1，
设点P的纵坐标为h，则有：
，
∴h＝±1，
当h＝1时，
﹣x2+4x﹣3＝1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，1），
当h＝﹣1时，
﹣x2+4x﹣3＝﹣1，
解得：，，
∴P（，﹣1）或（，﹣1），
∴点P的坐标为：（2，1）或（，﹣1）或（，﹣1）．

（3）如图，点Q在x轴正半轴上，且∠ACQ＝45°，

过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，CE＝DF，
∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF＝CE，EF＝OC＝3，
设DE＝AF＝n，
∵OA＝1，
∴CE＝DF＝OF＝n+1，
∵DF＝3﹣n，
∴n+1＝3﹣n，
解得n＝1，
∴DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝OF＝2，
∴D（2，﹣2），
设直线CD的函数解析式为y＝kx﹣3，
则有：2k﹣3＝﹣2，
解得：，
∴y＝﹣3，
由，得x＝6，
∴Q点的坐标为（6，0）．

23.（12分）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．
(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．
【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式．
∴ 图像的对称轴是直线．
（2）由题意，得，
∵，
∴b=-4h，c=
∴，
∴当时，的最小值是．
（3）由题意，得
因为函数y的图像经过点，
所以，
所以，或．