山东省聊城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份山东省聊城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省聊城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，则复数在复平面内对应的点位于（   ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若，则实数的值为（    ）
A．1 B．3 C． D．
3．若直线在平面外，则（    ）
A．平面内存在唯一的直线与平行 B．平面内存在唯一的直线与垂直
C．平面内存在无数条直线与异面 D．平面内的所有直线与都不相交
4．某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（    ）
A． B．
C． D．
5．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广．”可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍中，四边形是边长为2的正方形，，到平面的距离为3，则该刍甍的体积可能是（    ）
  
A． B．4 C． D．3
6．已知，则（    ）
A． B． C． D．
7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（    ）（，）
  
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是（    ）
A．为偶函数 B．
C．当时，在上恰有2个零点 D．若在上单调递减，则

二、多选题
9．甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：
  
下列说法正确的是（    ）
A．从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B．从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C．从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好
D．从二人命中环数的走势看，甲更有潜力
10．如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）

A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
11．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．若，记为方程的一个虚数根，则（    ）
A． B．
C． D．
12．如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，设平面截该正方体所得截面面积为，则（    ）
  
A．平面
B．
C．当异面直线与所成角的余弦值为时，
D．当的面积最小时，

三、填空题
13．已知样本的标准差为，若，则样本的标准差为 ．
14．一个盒子中装有大小和质地相同的2个红球和2个白球，从盒中不放回地依次随机取出2个球，则取出的2个球同色的概率是 ．
15．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
  
16．已知正三棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．

四、解答题
17．在平面直角坐标系中，设与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为和，向量，．
(1)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标；
(2)若点是线段的中点，且向量与垂直，求实数的值．
18．2023年4月23日是第28个“世界读书日”，为了更好地弘扬“尊重知识，崇尚文明”的阅读理念，某书屋举办了“智慧闯关奖励图书”活动，活动规则如下：有3道难度相当的题目，每位闯关者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功；否则就一直抽题到第3次为止．假设张华答对每道题的概率都是0.7，且对抽到的题目能否答对是独立的．
(1)求张华第二次闯关成功的概率；
(2)求张华闯关成功的概率．
19．如图，是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在的平面，，分别是，的中点．
    
(1)记平面与所在的平面的交线为，求证：；
(2)当为的中点，且时，求与平面所成角的正切值．
20．有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的（百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某检测中心从一批这种鱼中随机抽取了50条，检测其汞含量（单位：），并将所得数据分为6组：，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图．
  
(1)由频率分布直方图分别估计样本的中位数和第分位数（精确到0.01）；
(2)由频率分布直方图估计这批鱼汞含量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)从实际情况看，许多鱼的我含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过．你认为每批这种鱼的平均汞含量都比大吗？并说明理由．
21．如图，平面四边形由等腰直角和等边拼接而成，将沿折起，使点到达点的位置，且．
  
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
22．已知向量，，其中，函数，且图象的两个相邻对称中心的距离为．
(1)求；
(2)已知分别为不等边的三个内角的对边，且，，求的面积．

参考答案：
1．C
【分析】利用复数的四则运算及几何意义即可得解.
【详解】因为，
所以
则在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2．B
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，，
所以，则.
故选：B
3．C
【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.
【详解】因为直线在平面外，所以直线与平面相交或平行，
当时，平面内存在无数条直线与平行，故A错误；
当时，平面内存在无数条直线与垂直，故B错误；
无论直线与平面相交或平行，平面内存在无数条直线与异面，故C正确；
当直线与平面相交时，平面内有无数条直线与相交，故D错误.
故选：C
4．D
【分析】根据已知条件，结合按比例分配的分层抽样即可求解.
【详解】高一年级有女生504人，男生596人．总人数为，
从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，
不能直接用样本平均数估计总体平均数，
需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，
即，即D选项最合理.
故选：D
5．A
【分析】根据题意，找到该刍甍的临界状态，运用极限思维求解；
【详解】  
设该刍甍的体积为，由题意知，该刍甍顶部只有长没有宽为一条棱，
所以,在选项中，，
故选：A.
6．A
【分析】利用余弦函数的倍角公式，结合弦化切齐次式求得，再利用正切函数的和差公式求得，从而得解.
【详解】因为，
所以，
，
则.
故选：A.
7．B
【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果.
【详解】依题意得，，
在中，米，，
由正弦定理得，得米，
又

所以该山顶的海拔高度为米.
故选：B
8．C
【分析】根据三角函数图象平移规律以及，得，，，再根据偶函数的定义可得A正确；计算可得B正确；当时，求出在上的零点，可得C不正确；根据余弦函数的单调递减区间可得D正确.
【详解】依题意得，
由已知得，所以，，
所以，，，，
对于A，，且的定义域关于原点对称，所以为偶函数，故A正确；
对于B ，，，故B正确；
对于C，当时，，，由，得，得，，，
因为，所以或或，则在上恰有3个零点，故C不正确；
对于D，由，，得，，
所以，，所以，所以，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据三角函数图象平移规律以及三角函数的性质求解是解题关键.
9．ABC
【分析】求出甲乙的平均数和方差，即可得出结论.
【详解】由题意及图得，
甲射击 10 次中靶环数分别为.
将它们由小到大排列为.
乙射击 10 次中靶环数分别为.
将它们由小到大排列为.
甲平均值：（环）,
乙平均值：（环）,
甲方差：，
乙方差：
，
A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；
B项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；
C项，甲乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；
D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误.
故选：ABC
10．AD
【分析】依题意，计算出与，从而求得对应概率即可判断AB；由判断C；分别计算的值，从而判断D.
【详解】对于A，由，得，
则，所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B错误；
对于C，与不互斥，故C错误；
对于D，，
，事件A与相互独立，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】先利用配方法求得复数根，再利用复数的运算法则求解即可.
【详解】令，得或，
由，得，所以，则，
所以是的两个复数根，
对于A，因为为方程的一个虚数根，即满足，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为与互为共轭复数，
所以，故C正确；
对于D，由，得，
若，则，
若，则，
综上：，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】根据面面平行的判定定理得面面平行，再又性质定理判断线面平面，即可判断A；证明正方体的体对角线与平面的位置关系，即可判断B；利用异面直线的概念确定异面直线与所成角余弦值大小，确定点的位置，结合相似、梯形面积公式即可求得截面面积，从而可判断C；根据线面关系确定的面积最小值，即可得点的位置，在根据三角形面积公式求得截面面积，从而可判断D.
【详解】对于A，如图连接
  
在正方体中，，则四边形为平行四边形
所以，又平面，平面，所以平面
同理可得，又平面，平面，所以平面
因为平面，所以平面平面
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，如图，连接
  
在正方体中，平面，由于平面，所以，
又正方形中有，因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证得，
因为平面，所以平面
因为平面，所以，故B正确；
对于C，如图，连接
  
因为，结合图形可得异面直线与所成角为
设，，则，
在中，由余弦定理得，
所以，
则在中，由于，
所以余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
则，则如图，延长交于，过作交于，连接，过过作于，
  
由于，所以，所以，即为中点，
由于，所以为中点，且，则，
四边形是平面截该正方体所得截面，
又，，所以，
则,故C不正确；
对于D，如下图，作，，
  
由于平面，面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以，
设，，则，又，所以，
所以，
当时，取得最小值，此时的面积最小，则，
延长交于，取为的中点，连接，
    
由于，所以，所以，即为中点，
显然三角形为平面截该正方体所得截面，
又在中，，因为为的中点，所以，
且，所以，故D正确．
故选：ABD．
13．/
【分析】根据方差的性质可求出结果.
【详解】因为样本的标准差为，所以方差为，
又因为，
所以样本的方差为，所以标准差为，
故答案为：.
14．
【分析】根据互斥事件概率的加法公式和古典概型概率公式可得结果.
【详解】取出的2个球都是红色的概率为，
取出的2个球都是白色的概率为，
所以取出的2个球同色的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果.
【详解】因为是的中点，所以，

，
因为，，

，
所以，
所以.
故答案为：.
16．/
【分析】根据已知计算可得下底面中心为外接球球心，算出半径，根据球的表面积公式可得结果.
【详解】如图：在正三棱台中，上、下底面中心为，
依题意得，因为，所以，
过作，垂足为，则，又，
所以，所以，所以，
所以为正三棱台的外接球的球心，半径，球的表面积为.
  
故答案为：.
17．(1)
(2)

【分析】（1）由题意得到，再利用向量的坐标表示与线性运算即可得解；
（2）由向量与的数量积为0，即可求得的值．
【详解】（1）依题意，得，，则，，
因为点在线段的延长线上，且，所以，
设，则，
所以，即，解得，
所以点的坐标为.
（2）因为点是线段的中点，则，
又，向量与向量垂直，
所以，即，
所以.
18．(1)
(2)

【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）先求出张华没有闯关成功的概率，再利用对立事件概率的求法求解即可．
【详解】（1）因为张华答对每道题的概率都是，
所以张华不能答对某道题的概率，
张华第二次闯关成功的概率；
（2）张华没有闯关成功的概率，
张华闯关成功的概率．
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质定理得；
（2）取的中点，连，可得是与平面所成的角，利用已知条件计算可得结果.
【详解】（1）因为，分别是，的中点．所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）取的中点，连，
因为为的中点，所以，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以是与平面所成的角，
因为为的中点，且，
所以，，
所以.
  
20．(1)；
(2)
(3)不一定，理由见解析

【分析】（1）先利用频率之和为求得，再利用频率分布直方图的中位数与百分位数的求法求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用频率分布直方图的平境外数的求法求解即可；
（3）结合样本估计总体的平均数的实际意义判断说理即可.
【详解】（1）依题意，由频率分布直方图可知这批鱼汞含量在区间，，，，，的频率分别为，，，，，，
所以，解得，则，
因为，，，
所以样本的中位数在区间中，设为，则，解得，
样本的第分位数在区间中，设为，则，解得，
所以样本的中位数为，第分位数为.
（2）结合（1）中结论，可得这批鱼汞含量的平均值为
.
（3）不一定，因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面所得的平均数也只能为这个分布做出估计，不能保证每批鱼的平均录含量都大于.
21．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由勾股定理证明，结合可得平面，从而可得平面平面；
（2）取的中点，过作，垂足为，可证是二面角的平面角，再计算可得结果.
【详解】（1）因为为等边三角形，为等腰直角三角形，
由图可知， ，，
设，则，，
故，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取的中点，过作，垂足为，
因为，所以，
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，所以是二面角的平面角，
由题意知，，
在等腰直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以.
所以二面角的余弦值为.
  
22．(1)
(2)或

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换公式可得，再根据周期公式可得；
（2）根据已知条件求出，再根据正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）
,
依题意得，即.
（2）由（1）得，
由，得，
因为为不等边三角形，且，，
所以，，
所以，，或，，
当，时，，
由正弦定理得，得，
所以，
当，时，，
由正弦定理得，得，
所以.
【点睛】易错点点睛：由，以及为不等边三角形，求出时，容易漏掉一解.