湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法优质课教学课件ppt

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2.2.3.1　因式分解法
湘教版数学九年级上册
1
2
理解用因式分解法解一元二次方程的依据.
会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
学习目标
复习交流
(2)因式分解有哪些方法？
2. 说出方程(x+3)(x－5)=0的解.
1. (1) 因式分解的概念？
①提公因式法
②公式法
平方差公式
完全平方公式
③十字相乘法
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
 
新课导入
★ 因式分解法解一元二次方程
方程 小亮是这么解的：
把方程两边同除以 ，得
所以
小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零，所以小亮的解法不对 .
怎么少了一个根？小亮的解法对吗？为什么？
知识讲解
配方法解方程x2-3x=0.
解：
公式法解方程x2-3x=0.
解：
x2-3x=0.
∵ a=1,b=-3,c=0.
∴ b2－4ac = (－3)2－4×1×0 =9.
因式分解
两个因式乘积为 0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
x2 -3x =0 ①
x(x-3) =0 ②
x =0
x-3=0
　　利用因式分解法解一元二次方程的实质就是通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解.
简记口诀：右化零 左分解两因式 各求解
利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
例1
用因式分解法解下列方程
因式分解，得
解：(1) 原方程可化为
 
x(x－8)=0.
于是得
x=0或x－8＝0,
x1=0，x2=8.
 
 
 
把方程左边因式分解，得 ( 5x－1)( 2x－3 )=0.
由此得，5x－1=0或2x－3=0,
解得
 
 
 
 
 
由此得 65－2x = 0 或 5－2x = 0，
 
 
用因式分解法解下列方程
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
所以x1=x2=1.
解:（1）化为一般式为
从而
练一练
（1）3x2－6x+3 = 0.
 
 
把方程左边因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
 
所以
从而
或
把方程的左边进行因式分解，得
，
，
 
例2
把方程左边因式分解，得
 
 
（ x －4） (x－6)=0.
于是得x －4=0或x－6＝0,
解得　x1=4，x2=6.
 
 
解方程：
 
总结
 
形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b.
练一练
用因式分解法解下列方程：
 
 
解（1）把方程左边因式分解，得
(x+3) (x－4)=0.
于是得x +3=0或x－4＝0,
解得　x1=－3，x2=4.
（2）把方程左边因式分解，得
(x－2) (x+5)=0.
于是得x －2=0或x+5＝0,
解得　x1=2，x2=－5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ a.
（3）形如x2 ±2ax+ a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为（x± a ）2＝ 0，则① x+a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ -a. ② x-a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ a.
（4）形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b.
1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3
2.一元二次方程x(x －3)＋3－ x ＝0的根是( )A．1 B．3 C．1和3 D．1和2
C
B
3. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4 x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )A．5 B ．7 C．5或7 D．10
B
随堂训练
4．方程x 2＝| x |的根是 ．
5．如果x 2－ x －1＝(x ＋1)0，那么x的值为 ．
x =0， x =±1
2
6．用因式分解法解下列方程：(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)5x(2x－3)＝10x－15. 
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.解得x1＝3，x2＝9.
 
 
7．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，得x1＝7，x2＝10.当x＝10时，3＋7＝10，∴x2＝10不合题意，舍去．∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
因式分解法
概念
步骤
简记口诀：右化零 左分解两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0
原理
将方程左边因式分解，右边=0
因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；a2 -b2=(a +b)(a -b)
课堂小结