湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法优质教学ppt课件

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2.2.3.2　因式分解法　
湘教版数学九年级上册
1
2
会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
学习目标
复习
(2)因式分解有哪些方法？
1. (1) 因式分解的概念？
①提公因式法
②公式法
平方差公式
完全平方公式
③十字相乘法
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
新课导入
2.回顾所学知识，完成下面内容：( x－3 ) ( x＋4 ) =__________；(2) x2＋x－12 = ( x－_____) ( x＋____).
你能从中想到快速解方程 x2－x－12=0 的方法吗?
　　利用因式分解法解一元二次方程的实质就是通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.
3.因式分解法的概念
4.因式分解法的基本步骤
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解.
简记口诀：右化零 左分解两因式 各求解
利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
练一练
用因式分解法解下列方程：
 
 
解（1）把方程左边因式分解，得
(x+3) (x－4)=0.
于是得x +3=0或x－4＝0,
解得　x1=－3，x2=4.
（2）把方程左边因式分解，得
(x－2) (x+5)=0.
于是得x －2=0或x+5＝0,
解得　x1=2，x2=－5.
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ a.
（3）形如x2 ±2ax+ a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为（x± a ）2＝ 0，则① x+a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ -a. ② x-a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ a.
（4）形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b.
★ 选择适当的方法解一元二次方程
知识讲解
例1
用适当的方法解下列方程：
（1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ；
(1)分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法.
解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2.
（2）x2+4x-1 ＝ 0 ；
（3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
（2）x2+4x-1 ＝ 0 ；
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
 
（3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
 
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1， ∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝ 144+36 ＝ 180>0，
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
选择合适的方法解下列方程：
 
 
练一练
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
一元二次方程的解法及适用类型
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
一元二次方程解法选择基本思路
总结
 
　　　我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解．
 
随堂训练
 
 
2. 选择适当的方法解下列方程. (1)4x2－64＝0； (2)2x2－7x－6＝0； (3)(3x＋2)2－8(3x＋2) ＋15＝0.
 
 
 
因式分解法
1. 将方程的右边化为0；2. 将方程的左边进行因式分解；3. 令每个因式为0，得到两个一 元一 次方程.4. 解一元一次方程，得到方程的解.
用适当的方法解一元二次方程
因式分解法解题步骤
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因为分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
课堂小结