湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优质教案设计

这是一份湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优质教案设计，共9页。教案主要包含了归纳总结，题后总结，即学即练等内容，欢迎下载使用。

第2章　一元二次方程
*2.4　一元二次方程根与系数的关系
教学目标
1.了解根与系数的关系的推导过程.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系.
3.体会从特殊到一般，再由一般到特殊的推导思路.通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力.
教学重难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用.
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导过程.
教学过程
复习巩固
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并口答.
教师追问：方程的两根和与系数还有其他关系吗？
学生带着问题进入新课学习.
探究新知
合作探究
探索一元二次方程的根与系数的关系.
算一算：解下列方程并完成填空.
(1)；
(2)；
(3).
一元二次方程
两根
关系


+
















师生活动：教师出示问题，学生先独立解方程，教师引导学生小组内讨论两根之间存在的关系，学生代表发表意见.
答案:第一行空格内从左向右依次填:0 2 2 0
第二行空格内从左向右依次填:1 -4 -3 -4
第三行空格内从左向右依次填:6 -1 5 -6
猜想二次项系数为1时，根与系数之间的关系.
【问题1】若一元二次方程的两根分别为,则有,且,那么方程(为已知数)的两根是什么？将方程化为的形式，你能看出与之间的关系吗？
师生活动：学生先思考，得出方程两根分别为，通过将的左边展开化为一般形式，得到方程.这个方程的二次项系数为1，一次项系数为，常数项，学生独立观察并讨论后，发现两根之和.
猜想、验证一元二次方程根与系数的关系.
【问题2】如果一元二次方程 的两个根分别是，那么你可以发现什么结论？
师生活动：学生思考后，教师提出如下问题.
教师追问：如何证明这两者之间的关系呢？(利用一元二次方程的一般形式和求根公式).
师生活动：师生共同完成证明过程.


【归纳总结】一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理)：
如果一元二次方程的两个根分别是，那么
，
注意：满足上述关系的前提是.
新知应用
例1　根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程的两根的和与积:
(1)2x2-3x +1＝0;
(2)x2-3x+2＝10;
(3)7x2-5＝x+8.
【分析】(师生互动)教师引导学生思考,运用根与系数的关系时,要把方程化为一般式,然后再利用根与系数的关系求两根的和与两根的积.
【解】(1)x1+x2＝＝,x1x2＝.
(2)整理，得x2-3x-8＝0，
所以x1+x2＝-(-3)＝3，x1x2＝-8.
(3)整理，得7x2-x-13＝0，
所以x1+x2＝,x1x2＝
【题后总结】学生在解决问题时可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，也可能出现根与系数关系记忆不准确的情况，在(2)(3)中可能没有整理成一般形式.教师要及时引导学生进行订正，师生一起总结注意事项.
【即学即练】
根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程的两根的和与积：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【分析】(师生互动)学生在解决问题时可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，在(2)(4)中要整理成一般形式后再求解.
【解】(1)
(2)原方程变形为,
(3),
(4)原方程变形为,
【归纳总结】在运用根与系数的关系时:
(1)不是一般式的要先化成一般式；
(2)在使用时，“- ”不要漏写.
例2　不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和.
师生活动：学生先独立思考，然后合作交流，学生在解决此问题时如果对以前学习的完全平方公式不熟悉的话，可能存在困难，教师引导学生从以下问题思考.
(1)回顾多项式乘法中的完全平方公式.
(2)两根的平方和以及倒数和与一元二次方程的根与系数之间存在什么关系？
师生活动：学生根据教师的追问进一步思考并完成解题过程.
【解】由根与系数的关系可知：.


【归纳总结】与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形：

例3　已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值.
师生活动：教师出示问题，学生独立思考，尝试解答，教师进行引导点拨.解决此问题学生可能出现两种不同的做法：一种是利用根的定义，把2代入，求出的值和一元二次方程，然后解方程求得另一个根；另一种方法是利用根与系数之间的关系,最后师生一块归纳总结.
【解】设方程5x2+kx-6＝0的两个根分别是x1、x2，其中x1＝2 .
所以x1·x2＝2x2＝，即x2＝.
因为x1+x2＝2+＝，所以k＝-7，
所以方程的另一个根是，k的值为-7.
【总结】求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值，若待定字母在常数中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值.

课堂练习
1.若是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A．-10 B．10 C．-16 D．16
2．若是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A．2 B．-2 C．4 D．-3
3.若是方程的两个根，且，则的值为( )
A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1
4.如果-1是方程的一个根，则另一个根是______，＝_____ .
5.已知一元二次方程的两根分别为-2 和1，则＝__________，＝____________.
6．已知关于的方程有两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若满足＝16+，求实数的值.
7.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1＝0的两个根，且(x1+1)(x2+1)＝4.
(1)求k的值；
(2)求(x1-x2)2的值.

参考答案
1.A 2.D 3.D 4. -3 5.1　-2
6.解：(1)∵ 关于的方程有两个实数根，
∴ Δ＝，解得.
∴ 实数的取值范围为.
(2)∵ 关于的方程有两个实数根，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即，
解得 .
∴ 实数的值为-2.
7.解：(1)根据根与系数的关系，可得x1+x2＝-k,
所以(x1+1)(x2+1)＝x1x2+(x1+x2)+1＝解得k＝-7.
课堂小结
学生先自己总结，然后师生共同归纳形成知识框架.

布置作业
教材第48页习题2.4第1-5题.
板书设计
*2.4　一元二次方程根与系数的关系

1.根据系数关系的推导： 　　　

　　
2.一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程的两个根分别是，那么，.
3.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形：

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