湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用精品教学设计及反思

这是一份湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用精品教学设计及反思，共8页。教案主要包含了归纳总结等内容，欢迎下载使用。

第3章　图形的相似
3.5　相似三角形的应用
教学目标
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重难点
重点：能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
难点：进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学过程
复习巩固
1.相似三角形的判定方法有哪几种？
2.相似三角形的性质有哪些？
师生活动：学生根据教师提出的问题思考并回答.
导入新课
情景引入
1.世界上平均高度最高的树——红杉，你能测量它的高度吗？
2.神秘的埃及金字塔，你能测量它的高度吗？



师生活动：教师展示图片，提出问题，使学生感受到在生活中有很多物体是不能直接测量它的高度的，激发探究欲望，引入课题.教师讲解古代测量这些物体的高度的方法：据史料记载，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
探究新知
合作探究
【探究1】利用相似三角形测量物体的高度
1.如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.

师生活动：（1）学生独立思考后，小组内进行交流.
（2）教师巡视指导，若发现学生存在困难，教师可提示太阳光线是平行的，即AB∥ED，易得到∠BAO＝∠EDA.又因为∠BOA＝∠EAD，得到△BOA∽△EFD,再利用相似三角形的性质求解.
（3）学生书写做题过程，教师进行展示并归纳总结，板书.
【解】∵ 太阳光是平行的光线，∴∠BAO＝∠EDF.
又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF，∴

答：金字塔的高度为134 m.
【归纳总结】测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高∶物2高＝影1长∶影2长.
2.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在点H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度.


师生活动：学生独立思考，小组合作交流.教师巡视指导，若发现学生存在困难教师可提示：根据题意，图中有哪些相似的三角形?再根据相似三角形的对应边成比例进行计算，未知线段的长可设未知数，利用方程的思想求解.学生板演计算过程.师生共同做出点评，并进行归纳总结.
【解】设建筑物的高度AB＝米，根据题意，得△CDG∽△ABG，

设AB＝BG＝x，根据题意得△EFH ∽△ABH，
∴
∴，
解得.
答：建筑物的高度为54米.
【归纳总结】测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
3.如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度.


师生活动：教师可与学生先进行相关物理知识的复习，然后让学生思考解答.
【解】由反射角等于入射角，可得∠APB＝∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴ △ABP∽△CDP，
又∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，
∴
解得CD＝8.
答：该古城墙的高度为8米.
【归纳总结】 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
【探究2】利用相似三角形测量物体的宽度
4.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求两岸间的大致距离AB. 

师生活动：学生证明，并回答，教师归纳点评.
【解】∵ ∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，∴
解得AB＝100.
答：两岸间的大致距离为100 m.
【归纳总结】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.


课堂练习
1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m


2.如图，为了测量水塘边A，B两点之间的距离，在可以看到A，B的点E处，取AE，BE延长线上的C，D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5 m，AD＝15 m，ED＝3 m，则 A，B 两点间的距离为____ m.


3.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且PC＝24 cm，则点光源S到平面镜的距离SA＝ _________.

4.如图，在高为4 m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过小树的顶端E.如果测得小树的高度为3 m，求这幢楼的高度.

5.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树底部的距离BD＝5 m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端C了？



参考答案
1.C 2.20 3.12 cm
4.解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.
∵EF＝3，AB＝4，∴
∵ EF∥CD，∴ △BEF∽△BCD，
∴ CD＝4EF＝12 m.
答：这幢楼的高度为12 m.
5.解：假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点 E与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上.
∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD，
∴ △AEH∽△CEK，∴ 　
解得EH＝8 m.
由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，就不能看到右边树的顶端C.
课堂小结

布置作业
教材第92页练习.

板书设计
3.5　相似三角形的应用
1.利用相似三角形测量物体的高度
(1)测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高：物2高＝影1长：影2长.
(2)利用标杆测量高度.
(3)利用镜子的反射测量高度.
2.利用相似三角形测量物体的宽度
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.

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