数学九上·湘教·4.1正弦和余弦（第1课时正弦的定义） 教案

这是一份数学九上·湘教·4.1正弦和余弦（第1课时正弦的定义） 教案，共9页。

第4章　锐角三角函数
4.1　正弦和余弦
第1课时　正弦的定义
教学目标
1.会利用相似直角三角形，探索并认识正弦．
2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值．
教学重难点
重点：理解锐角三角函数正弦的意义，并能举例说明．
难点：根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.
教学过程
导入新课
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算
＝ .
教师提示：与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).
探究新知
如下图所示，(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A＝∠A′＝65°，∠C＝∠C′＝90°.
　　　　
(1) 　　　　　 (2)
小明量出∠A的对边BC＝3 cm，斜边AB＝3.3 cm，算出：

小亮量出∠A′的对边B′C′＝2 cm，斜边A′B′＝2.2 cm，算出：

小组合作交流，统一答案．
教师总结：由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于.
教师提问：这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？


如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则成立吗？为什么？
　　　　　　　
学生分组讨论：
理由:
∵ ∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴
即BC·DE＝AB·EF，
∴
教师引导学生总结：
这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sin α，即
.

拓展：

如图，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△A1B1C中，
sin A1＝．
∵ AB＝A1B1，∴＜，即sin A 又∵ 梯子A1B1比梯子AB陡．
∴梯子的倾斜程度与sin A有关系，sin A的值越大，梯子越陡，即正弦值能反映梯子的倾斜程度．　　
设计意图：此环节的设计是为了突出定义的形成过程，帮助学生理解定义，通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．
典型例题
例1　如图所示，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5.

(1)求sin A的值；
(2)求sin B的值.
【解】(1)∠A的对边BC＝3，斜边AB＝5，于是sin A＝
(2)∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16.
于是AC＝4.
因此sin B＝
例2　在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求BC的长．
【问题探索】根据正弦的定义，得sin A＝，代入数据即可求出BC的长．
【解】在Rt△ABC中，∵sin A＝，即＝0.6，
∴BC＝200×0.6＝120．
【总结】在直角三角形中，已知正弦值，需要先找出对应的边角关系，再代入数据进行求解．
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°, AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )

A. B. C. D.
2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　)

A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(　　)
A.扩大到原来的2倍 B.缩小为原来的
C.扩大到原来的4倍 D.不变

4.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P(b，4).若sin α＝，则b＝　　　　.

5.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB＝______.
6.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AD是BC边上的中线,AC＝2,BC＝4,则sin∠DAC＝_____.

参考答案
1.A 　
2.A
3.D
4.3
5.
6.
课堂小结
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布置作业
教材第111页练习第1，2题.
板书设计
第1课时　正弦的定义
锐角的正弦：
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教学反思





































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