数学九上·湘教·4.1正弦和余弦（第3课时余弦） 教案

这是一份数学九上·湘教·4.1正弦和余弦（第3课时余弦） 教案，共7页。

第4章　锐角三角函数
4.1　正弦和余弦
第3课时　余弦
教学目标
1.会利用相似直角三角形，探索并认识余弦．
2.会求特殊角的余弦值并熟记这些值．
3.会用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求对应的锐角.
教学重难点
重点：余弦的定义，特殊角的余弦值．
难点：能根据直角三角形的边角关系，进行正弦余弦的简单计算．
教学过程
探究新知
一、 复习导入
1.什么是锐角α的正弦？
2.30°，45°，60°角的正弦值分别是多少？
二、 新知探究
探究一：
学生分组交流讨论：
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则成立吗？为什么？
∵ ∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，∴ ∠B＝∠E.
从而sin B＝sin E.因此
　　　　
教师总结：由此可得，在一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cos α，即

探究二：
学生分组交流讨论：
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
∠A的正弦值是什么？∠B的余弦值呢？它们相等吗？
教师总结结论：


从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cos α＝sin(90°-α)，
sin α＝cos(90°-α).
例1　求cos 30°,cos 45°,cos 60°的值．
【解】cos 30°＝sin(90°-30°)＝sin 60°＝；
cos 45°＝sin(90°-45°)＝sin 45°＝ ；
cos 60°＝sin(90°-60°)＝sin 30°＝.
【总结】
α
sin α
cos α
30°


45°


60°



探究三：
1.利用计算器求一个角的余弦
通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角(30°，45°，60°)的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来求.
例如求50°角的余弦值，可以在计算器上依次按键,显示结果为0.642 78….
2.已知一个角的余弦值，求这个角
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如,已知cos α＝0.866 1，依次按键,显示结果为29.991 4…，表示角α约等于30°.
练一练：利用计算器计算：
　　(1)cos 15°≈ (精确到0.000 1)；
　　(2)cos 50°48′≈ (精确到0.000 1)；
　　(3)若cos α＝0.965 9，则α≈ (精确到0.1°)；
　　(4)若cos α＝0.258 8，则α≈ (精确到0.1°).
　　答案：(1)0.965 9　(2)0.632 0　(3)15.0°　(4)75.0°
　　例2　计算：cos 30°-cos 60°+cos245°.
　　【解】原式＝＝.
课堂练习
1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　　)

A. B. C. D.
2.如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝6, cos B＝,则BC的长为(　　)

A.4 B. C. D.
3.计算：
(1)sin 30°+cos 45°;
(2)sin260°+ cos260°-2sin 30°.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B．

5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sin B，cos B．
6.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c.
求证:sin2A+cos2A＝1.

参考答案
1.D 　
2.A
3.解：(1)sin 30°+cos 45°＝＝.
(2)sin260°+cos260°-2sin 30°＝＝＝0.
4.解：∵ ∠C＝90°，MN⊥AB，∴ ∠C＝∠ANM＝90°．
又∵ ∠A＝∠A，∴ △ABC∽△AMN，∴ ＝＝．
设AC＝3x，AB＝4x．
由勾股定理，得BC＝＝x，
∴ 在Rt△ABC中，cos B＝＝＝．
5.解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，
则BD＝DC＝BC＝×6＝3．

在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
所以sin B＝＝，cos B＝＝.
6.证明：∵ sin A＝
∴＝＝1.
即.

课堂小结
直角三角形三边的关系：a2+b2＝c2.
直角三角形两锐角的关系：∠A+∠B＝90°.
特殊角30°，45°，60°角的正弦值、余弦值，互余两角之间的正弦、余弦的关系.

布置作业
教材第115页练习.

板书设计
第3课时　余弦
锐角的余弦:
.
α
sin α
cos α
30°


45°


60°



教学反思






































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