初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形优质第1课时教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形优质第1课时教学设计，共8页。教案主要包含了教师总结等内容，欢迎下载使用。

第4章　锐角三角函数
4.4　解直角三角形的应用
第1课时　仰角、俯角
教学目标
1.理解仰角、俯角的概念.
2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
教学重难点
重点：仰角、俯角.
难点：利用仰角、俯角解决实际问题.
教学过程
旧知回顾
1.直角三角形三边的关系：勾股定理(a²+b²＝c²)；
2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余(∠A+∠B＝90°)；
3.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
；
4.互余两角之间的三角函数关系:sin A＝cos B；
5.同角之间的三角函数关系:，sin2A+cos2A＝1；
6.特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
新课讲授
仰角、俯角的定义
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角.
巧记：上仰下俯
俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.
【问题】小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)

教师引导，学生分析.


【解】如图,根据题意可知,∠A＝30°,∠DBC＝60°,AB＝50 m.
设塔高DC＝x m,则∠ADC＝60°,∠BDC＝30°,
∵
∴ ∴ AC-BC＝AB，
∴
∴
答:该塔约有43 m高.
例　如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知AB的高度为30米,从A顶部看C的仰角为30° ，求建筑物CD的高度.

【解】在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝120×＝403(米).
所以CD＝30+403(米).
【变式1】如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为60°.求建筑物AB，CD的高度.

【解】如图，α＝30°，β＝60°， AE＝BD＝120米．
∵ tan α＝，tan β＝，
∴ CE＝AE·tan α＝120×tan 30°＝(米)，
DE＝AE·tan β＝120×tan 60°＝(米)，
∴ AB＝DE＝(米)，
∴ CD＝CE+DE＝≈277.1(米).
【变式2】如图，已知两建筑物AB和CD，AB的高度为30米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为45°，求建筑物CD的高度.


【变式3】如图，已知两建筑物AB和CD，CD的高度为30米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为45°，求建筑物AB的高度.


【变式4】如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从C顶部看A的俯角为30°，看B的俯角为60°，求建筑物AB，CD的高度.



【教师总结】
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
仰角、俯角问题的常见基本模型：
　 　　
　 　

温馨提示：当含有两个(或两个以上)直角三角形时，若某个三角形不能求解，可考虑设未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.
课堂练习
1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝_______米.

2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 米.

3.某铁塔由塔身和塔座两部分组成(如左图所示).为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6 m，CD的长为6 m，CD所在的水平线CG⊥EF于点G(如图所示)，求铁塔EF的高(结果精确到0.1 m).
　
4.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．

参考答案
1.100
2.203
3.解：设DG＝x，则EG＝x.
∵∠ECG＝45°，∠CGE＝90°，
∴∠CEG＝45°，
∴ EG＝CG ，
∴CD+DG＝EG，
即6+x＝x，解得x＝3+3，
∴ EG＝×(3+3)≈14.2(m)，
EF＝EG+GF＝14.2+1.6＝15.8(m).
答：铁塔EF的高为15.8 m.
4.解：∵从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，
∴∠BCD＝90°-45°＝45°，∠ACD＝90°-30°＝60°.
∵CD⊥AB，CD＝100米，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝100米.
在Rt△ACD中，
∵CD＝100米，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD·tan60°＝100×3＝1003(米)，
∴AB＝AD+BD＝1003+100＝100(3+1)(米)．
答：AB两点的距离是100(3+1)米．


课堂小结

布置作业
教材第125页做一做，第126页练习第1，2题.
板书设计
第1课时　仰角、俯角
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角.
巧记：上仰下俯
俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.
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