初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.3 解直角三角形一等奖第2课时教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.3 解直角三角形一等奖第2课时教学设计，共9页。教案主要包含了坡度，方向角等内容，欢迎下载使用。

第4章　锐角三角函数
4.4　解直角三角形的应用
第2课时　方向角、坡度、坡角
教学目标
1.理解坡角、坡度、方向角的概念.
2.能把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力,从而利用所学知识解决实际问题.
教学重难点
重点：坡角、坡度、方向角.
难点：把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题.
教学过程
旧知回顾
1.直角三角形三边的关系：勾股定理(a²+b²＝c²)；
2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余(∠A+∠B＝90°)；
3.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
；
4.互余两角之间的三角函数关系:sin A＝cos B；
5.同角之间的三角函数关系:，sin2A+cos2A＝1；
6.特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
新课讲授
一、坡度、坡角
坡角：坡面与水平面所成的夹角.
坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比.(坡度i通常写成1:m的形式).
坡度与坡角之间的关系：.

坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.
坡角α越大，tan α越大；坡度i＝tan α越大.
特别注意：坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.
练一练：
1.斜坡的坡度是1∶，则坡角α ＝___度.
2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
答案：1.30　2.1∶1　3. ∶3
二、方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
(1)正东，正南，正西，正北.
射线OA，OB，OC，OD.
(2)西北方向：射线OE.
西南方向：射线OF.
东南方向：射线OG.
东北方向：射线OH.

(3)南偏西25°:射线OA.
北偏西70°:射线OB.
南偏东60°:射线OC.

方向角通常都写成：北偏…，南偏…的形式.
新知应用
例1　水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求：
(1)斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
(2)坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1 m).

教师引导，学生分析
【解】(1)斜坡CD的坡度i′＝tan α＝1∶2.5＝0.4，
由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
(2)如图分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意可知BE＝CF＝23 m，EF＝BC＝6 m.
在Rt△ABE中，AE＝3BE＝69 m.
在Rt△DCF中，FD＝2.5CF＝57.5 m，
∴AD＝AE+EF+FD＝69+6+57.5＝132.5(m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB＝≈72.7(m)，
故坝底AD的长度为132.5 m，斜坡AB的长度为72.7 m.

教师总结：适当添加辅助线，构造直角三角形.
例2　海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【解】如图，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD＝90°.
由题意图示可知∠DAF＝30°，设DF＝ x , 则AD＝2x.
则在Rt△ADF中，根据勾股定理,得

在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，tan 30°＝，
解得x＝6，AF＝x＝≈10.4.
∵ 10.4>8，∴ 没有触礁危险.
例3　某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4 m.
(1)调整后的楼梯会加长多少?
(参考数据： 结果精确到0.01 m)
(2)楼梯多占多长一段地面?
(参考数据：，tan 40°≈0.839 1,结果精确到0.01 m.)

教师引导，学生分析.

【解】如图，根据题意可知，AC⊥BC，∠BDC＝40°，∠BAD＝35°，
BD＝4 m.
(1)∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ 调整后的楼梯会加长约0.48 m.
(2)∵ ，∴
∵ ，∴
∴


∴ 楼梯多占约0.61 m长的一段地面.
教师总结：利用三角函数解决实际问题的步骤：

课堂练习
1.如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　 　米．(精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

2.如图所示,某地下车库的入口处有斜坡AB,其坡比i＝1:1.5,则AB＝ 　 　m．

3.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m，参考数据：tan 40°＝0.839 1.)

4.如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m，高度为2 m，tan B＝，∠ADC＝135°.

(1)求BC的长是多少米.
(2)如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？
5.如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？(参考数据：3 ≈1.73 ，2 ≈1.414)．

参考答案
1.566 2.13
3.解：在Rt△CBD中，∵ BD＝5，
∴ tan 40°＝，
∴ BC＝5tan 40°≈4.195 5≈4.20(m).
在Rt△BED中，BE＝BC+CE＝4.20+2＝6.20(m)，
∴ DE＝＝＝≈7.96(m).
答：钢缆ED的长度约为7.96 m.
4.解：(1)如图，分别过A，D点作AE⊥BC，DF⊥BC，
则AE＝DF＝2，EF＝AD＝4.
∵ tan B＝，AE＝2，∴ BE＝10.
∵ ∠ADC＝135°，∴ ∠CDF＝45°，
∴ CF＝2，∴ BC＝BE+EF+CF＝16(m).

(2)S梯形ABCD＝×10×2+4×2+×2×2＝20(m2)，
V大坝＝20×100＝2 000(m3).
∴ 修建这个大坝共需2 000 m3土石方.
5.解：如图，过点P作PC⊥AB，点C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°.
∵ AC＋BC＝AB，
∴ PC·tan 30°+PC·tan 45°＝200，
即PC＋PC＝200，
解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．



课堂小结

有关坡度与坡角的基本图形 有关方向角的基本图形

布置作业
教材第129页练习第1，2题.
板书设计
第2课时　方向角、坡度、坡角
利用三角函数解决实际问题的步骤：

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