湘教版2.1 一元二次方程完整版复习课件ppt

这是一份湘教版2.1 一元二次方程完整版复习课件ppt，共52页。PPT课件主要包含了一元二次方程，一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，配方法，公式法，因式分解法，回顾复习，韦达定理，实际问题，建立一元二次方程模型等内容，欢迎下载使用。

一元二次方程的有关概念
一元二次方程根的判别式
*一元二次方程根与系数的关系
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是
ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0)
对于一元二次方程ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) ，其中a， b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
解一元二次方程的三种方法
一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系:
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 5x2= 49;(2)6x2-7x2 =3x +5;(3) 0.01t2- 3t=2t- 1;(4)(2y-1 ) ( 2y+5 )=6y +4.
解：(1)原方程可化为
所以该方程的二次项系数是5、一次项系数是0、常数项是-49.
解：(2)原方程可化为
所以该方程的二次项系数是1、一次项系数是3、常数项是5.
解：(3)原方程可化为
0.01t2- 5t+ 1=0
所以该方程的二次项系数是0.01、一次项系数是-5、常数项是1.
解：(4)原方程可化为
所以该方程的二次项系数是4、一次项系数是2、常数项是-9.
(1) 49x2 - 144=0;(2) ( 1-x)2=1;(3)x2+8x +16=0;(4) x (7-x )=4x2;(5) x(x-2)-3x2=0;(6)x2-4x＋4=64.
(1) 49x2 - 144=0;
解：根据平方根的意义，得
(2)(1-x)2=1
(3)x2+8x +16=0;
把方程左边因式分解，得
x (5x -7)=0,
由此得x=0或 5x -7=0.
解得x1=0 ，x2 = .
(4) x (7-x )=4x2
x (x +1)=0,
由此得x=0或 x +1 =0.
解得x1=0 ，x2 =-1.
(5) x(x-2)-3x2=0
(6)x2-4x＋4=64
(1)2x2-6x- 3=0;(2) x (x +5)= 24;(3) x (x +1)+2 (x-1) =0;(4) (x-3)2+2x ( x -3 )=0;(5) 3(x-2)2=x (x-2).
解：这里a=2，b =-6，c = -3.
因而 b2-4ac = ( -6)2-4×2× (-3)=36+24=60>0,
因此，原方程的根为 .
(1)2x2-6x- 3=0
(2) x (x +5)= 24
x2+5x -24=0.
(x-3) (x +8)=0,
由此得x-3=0或 x +8 =0.
解得x1=3 ，x2 =-8.
(3) x (x +1)+2 (x-1) =0
因而 b2-4ac = 32-4×1× (-2)=9+8=17>0,
因此，原方程的根为 .
这里a=1，b =3，c = -2.
x2+3x -2=0.
(4) (x-3)2+2x ( x -3 )=0
解：把方程左边因式分解，得
(x-3) (x -3+2x)=0,
由此得x-3=0或 3x -3 =0，
解得x1=3 ，x2 =1.
即 (x-3) (3x -3)=0
(5) 3(x-2)2=x (x-2)
3(x-2)2-x (x-2)=0
(x-2) [3(x -2)-x]=0,
由此得x-2=0或 2x -6 =0.
解得x1=2 ，x2 =3.
即 (x-2) (2x -6)=0
4.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
(1) 4x2+6x＋9=0;(2) y2=y+5.
解：(1)因为Δ = b2-4ac =62-4×4×9=36+ 144 =-108<0，
所以，原方程没有实数根.
解：(2)将原方程化为一般形式，得
因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×(-5)=1+20=21>0,
所以，原方程有两个不相等的实数根.
*5.设x1，x2,是方程2x2-6x＋3=0的两根，求下列各式的值:
(1) x1+x2; (2)x1x2;(3) x12+x22.
*6.若方程x2-3x -1=0的两根为x1，x2，求 的值.
7.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
解：设三个连续奇数中间的奇数为x.
(x-2)2+x2+(x+2)2=371
解得x1=11 ，x2 =-11.
所以这三个奇数为9，11，13或-13，-11，-9.
8.北京奥运会的主会场“鸟巢”给世人留下了深刻的记忆.据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从最初的54000 t减少到42000 t.求平均每次用钢量降低的百分率x(精确到1%).
54000( 1-x)2=42000.
整理，得( 1-x )2= .
答:平均每次用钢量降低的百分率为12%.
9.将一块长方形桌布铺在长为1.5 m、宽为1 m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍.求桌布下垂的长度.
解：设桌布下垂的长度为x m，则根据等量关系得
(2x+1.5)(2x+1)=1.5×1×2
整理，得8x2+10x-3=0，
解得x1=0.25 ，x2 =-1.5(不合题意，舍去).
答：桌布下垂的长度为0.25m，
10.如图为一张方格纸，纸上有一三角形(上色部分)，其顶点均位于网格线的交点上.若上色部分的三角形面积为15.75 cm2，则此方格纸的面积为多少?
解：设每个小方格的边长为x cm.
整理，得x2=2.25
解得x1=1.5 ，x2 =-1.5(不合题意，舍去).
所以此方格纸的面积为4×1.5×4×1.5=36cm2.
11.现有一块矩形钢板ABCD，长AD=7.5 m，宽AB=5 m.在这块钢板上截除两个正方形得到如图所示的模具(阴影部分所示).已知 BE= DF，且模具的面积等于原矩形钢板的面积的一半，求DF的长(精确到0.1 m).
解：设DF长为x m.
∵DF+FC=DC=AB=5m，
∴PC=FC=(5-x)m.
∵BE+EP+PC=BC=AD=7.5m，
即2x2-20x+25=0.
，由于x2>5，因而舍去.
答：DF长约为1.5m.
12.如图，在 Rt △ABC中，∠B= 90°，AC= 10 cm，BC=6 cm.现有两点P，Q分别从点A 和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动.已知点P，Q的速度分别为2 cm/s，1 cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.设P，Q两点移动时间为x s.问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16 cm2?若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由.
解：根据题意，得AP=2x cm，CQ=x cm，
假设存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16 cm2.
∵∠B=90°，AC=10，BC=6， ∴AB=8，BQ=(6-x)cm，BP=(8-2x)cm.
整理，得x2-10x+16=0
解得x1=2 ，x2 =8.
但x2 =8时不合题意，因为P从A到B只需4s.
所以当x=2时，正好四边形APQC的面积等于16cm2.
(1)( 3x+5 )2-6 ( 3x+5 )+9=0;(2) x2+ax - 2a2=0(a为常数).
[ (3x +5)-3]2=0，
由此得 (3x +5)-3=0，
解得x1=x2 = .
(1)( 3x+5 )2-6 ( 3x+5 )+9=0;
(x -a)(x+2a)=0,
由此得x-a=0或 x +2a =0，
解得x1=a，x2 = -2a.
(2) x2+ax - 2a2=0(a为常数).
14.已知 a，b，c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2-4x +b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
解：依题意得关于x的方程x2-4x +b=0的判别式
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×b=0
∴ △ABC是等腰三角形.
*15.设x1，x2是关于x的方程x2-4x+k＋1=0的两个实数根.请问:是否存在实数k，使得x1·x2>x1+x2成立?试说明理由.
解：∵方程x2-4x+k+1=0有两个实数根，
∴ Δ =16-4(k+1)≥0，
又x1·x2＞x1+x2，
而x1+x2=4，x1·x2=k+1，
所以不存在实数k，使得x1·x2>x1+x2成立.
即k＞3，与k≤3矛盾
16.已知□ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根.
(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？
解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
关于x的一元二次方程为
∴当m为1时，平行四边形ABCD是菱形,且菱形的边长为 .
解：将x=2代入 中，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程
17.如图，一长方形地，长为x m，宽为120 m，建筑商将它分为甲、乙、丙三个区域，甲、乙为正方形.现计划甲区域建筑住宅区，乙区域建筑商场，丙区域开辟为公园.若已知丙区域的面积为3200 m2，试求x的值.
解：依题意得甲区域的边长为120m，由图可知乙区域的边长为(x-120)m.
则丙区域的长为：(x-120)m 宽为：(240-x)m
(x-120) (240-x)=3200
即x2-360x+32000=0
解得x1=160 ，x2 =200.
当x=160时，丙区域的长为x-120=160-120=40(m)，宽为120-40=80(m)，80＞40，∴x=160不符合题意，舍去. ∴x=200.
18.有如下问题:“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线?”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究:
(1)请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论;(2)若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点?