初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法精品第2课时课后练习题

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21.2.1 配方法（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2．（2022·山东滨州·二模）一元二次方程，配方后可变形为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】解：移项得：x2-8x=1，
配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
3．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
二、填空题
4．（2022·全国·九年级单元测试）利用配方法填空：x2-x+_______=．
【答案】
【分析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．
【详解】解：x2-x+=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用；解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
5．（2022·全国·九年级）当a＝_____时，多项式a2+2a+2有最小值为 _____．
【答案】     -1     1
【分析】利用配方法将多项式a2+2a+2，转化为（a+1）2+1，然后利用非负数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，
∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1．
故答案为：﹣1，1．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
三、解答题
6．（2022·全国·九年级）解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】把方程的常数项移到右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．正确理解和掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级）解方程：x2＋2＝2x．
【答案】x1＝x2
【分析】用配方法解一元二次方程，本题可直接利用完全平方公式计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程，用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
8．（2022·全国·九年级）用配方法解方程：3x2+6x﹣4＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程即可．
【详解】解：3x2+6x﹣4＝0，
方程两边同时除以3，得x2+2x﹣＝0，
移项，得x2+2x＝，
配方，得x2+2x+1＝+1，
则（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点睛】本题主要考查的是配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
9．（2022·全国·九年级）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】先将二次项系数化为1，然后将常数项移到方程右边，两边再加上，则左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：二次项系数化成1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
则，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．正确理解和掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？
【答案】4
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣12≥4，即代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
11．（2022·全国·九年级）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
(3)求x2+8x+7的最小值．
【答案】(1)4；(2)（a﹣5）（a﹣7）；(3)-9
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将x2+8x+7转化为（x+4）2﹣9，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
(1)解：a2+4a+4=（a+2）2，
故答案为：4；
(2)解：a2﹣12a+35
=a2﹣12a+36﹣1
=（a﹣6）2﹣1
=（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
=（a﹣5）（a﹣7）；
(3)解：x2+8x+7
=x2+8x+16﹣9
=（x+4）2﹣9，
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2﹣9≥﹣9，
∴x2+8x+7的最小值为﹣9．
【点睛】本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1
∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1
试利用“配方法”解决以下问题：
(1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，则代数式A＝　 　，常数B＝　 　；
(2)已知a2＋b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值；
(3)已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．
【答案】(1)x﹣1；3，(2)-6，(3)M＜N
【分析】（1）根据配方法进行解答，即可求解；
（2）先移项，再利用配方法，得到（a﹣3）2+（b+2）2＝0，可得到a，b的值，即可求解；
（3）用作差法进行比较，即可求解．
(1)解： x2﹣2x+4
＝x2﹣2x+1+3
＝（x﹣1）2+3，
故答案为：x﹣1；3；
(2)解：∵a2+b2＝6a﹣4b﹣13，
∴a2﹣6a+9+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣3）2+（b+2）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴ab=3×（-2）=-6；
(3)解：∵N﹣M＝2x2﹣1﹣（4x﹣5）
＝2x2﹣1﹣4x+5
＝2x2﹣4x+4
＝2（x2﹣2x+1）+2
＝2（x﹣1）2+2，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2+2＞0，
∴N﹣M＞0，
∴M＜N．
【点睛】本题考查了配方法的应用，利用作差法比较大小是本题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·浙江丽水·一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
x2-2x=1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2022·广东·广州六中九年级阶段练习）P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，
解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴，则，
∵x+y＝﹣，
∴，且x＝﹣y﹣
∴，
∴，
∴，化简得：，
则，解得：或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
二、填空题
3．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：

∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
4．（2022·广西河池·三模）利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn=______．
【答案】6
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，求出m，n的值即可得出答案．
【详解】解：x2-6x+7=0，
x2-6x=-7，
x2-6x+9=-7+9，
（x-3）2=2，
则m=3，n=2，
∴mn=3×2=6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．（2021·四川巴中·九年级期中）已知a、b、c满足，，，则_______．
【答案】3
【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即，
∴，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
三、解答题
6．（2022·全国·九年级）（1）请用配方法解方程；
（2）请用配方法解一元二次方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
【详解】解：（1）
两边同时除以2得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
解得：；
（2）
两边同时除以得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
当时，
解得：，
当时，
，
当时，
该方程无实数根．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论．
7．（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：


而 则
即
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
8．（2022·全国·九年级）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x1＝i，x2＝﹣i．
同样我们也可以化简2i；
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1
(2)x1＝1+i，x2＝1﹣i
(3)x1＝2+2i，x2＝2﹣2i
【分析】（1）直接根据i2＝﹣1计算即可；
（2）把右边的-1写成i2求解即可；
（3）利用配方法，结合i2＝﹣1求解.
(1)解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；
故答案为﹣i，1，﹣1，1；
(2)解：∵（x﹣1）2＝﹣1，
∴（x﹣1）2＝i2，
∴x﹣1＝±i，
∴x1＝1+i，x2＝1﹣i．
(3)解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，
∴x﹣2＝±2i,
解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．
【点睛】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，读懂材料及正确解一元二次方程是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x2＋10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x2＋10x﹣39＝0，所以有x（x＋10）＝39
展示1：阿尔•花拉子米构图法
如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x＋10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．

(1)图2中，补上的空白小正方形的边长为　 　；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x＋　 　）2＝39＋　 　；
(2)展示2：赵爽构图法
如图3，用4个长都是（x＋10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．图3中，大正方形面积可以表示为（       ）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39＋　 　，故可得原方程的一个正的根为　 　．
(3)请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2＋2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．
【答案】(1)5，5，25，(2)2x+10，100，x＝3，(3)见解析
【分析】（1）根据图2中拼成的大正方形解答即可；
（2）根据图3的形状可得大正方形面积可以表示为（2x+10）2，而中间小正方形面积为100，故可得（2x+10）2＝4×39+100，再解方程即可；
（3）仿照题中所给构图法作图即可．
(1)解：由图2可知，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+5）2＝39+25；
故答案为：5，5，25；
(2)图3中，大正方形面积可以表示为（2x+10）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+100，
则（2x+10）2＝4×39+100，
即（2x+10 ）2＝256，
解得：x1＝3，x2＝﹣13．
故原方程的一个正的根为x＝3．
故答案为：2x+10，100，x＝3；
(3)如图所示：

【点睛】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，根据示例和方程的特点构建几何图形并完成分割是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级）阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3；
x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x；
x2﹣2x+4＝x2﹣2x+4+x2＝（x﹣2）2+x2；
是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式x2﹣6x+16配成完全平方式（直接写出两种形式）；
(2)已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求a﹣b+c的值；
(3)已知2x+y＝6，求当x、y分别取什么值时，x2+2xy+y2﹣3x﹣2y取最小值，最小值是多少？
【答案】(1)（x﹣3）2+7，（x﹣4）2+2x ，(2)1，(3)，
【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可；
（3）已知的式子可以变形成（a2+b2﹣2ab）+（c2+2c+1）＝0，得到两个完全平方式的和是0，即可根据两个非负数的和是0，则每个数是0，求得a，b，c的关系，从而求解．
（3）将题中求最小值的式子变形成含有已知值的式子，再进行分析求解即可．
(1)解：x2﹣6x+16＝x2﹣6x+9+7＝（x﹣3）2+7；
x2﹣6x+16＝x2﹣8x+16+2x＝（x﹣4）2+2x；
(2)a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，
∴，
∴，
∴

∴a﹣b+c＝1；
(3)x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝（x+y）2﹣（2x+y+x+y）
＝（x+y）2﹣6﹣（x+y）

，
当，即时，原式取得最小值；
又，解得：，最小值为．
【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．
11．（2021·全国·九年级单元测试）阅读下面的解题过程，求的最小值．
解：∵=，
而，即最小值是0；
∴的最小值是5
依照上面解答过程，
（1）求的最小值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）2019；（2）5．
【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可；
【详解】（1）

∵，
∴，
∴的最小值为2019；
（2）
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是5.
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．