人教版21.2.3 因式分解法精品练习

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21.2.3 因式分解法（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（       ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【分析】根据已知分解因式和方程得出x＋3＝0，x−1＝0，求出方程的解即可．
【详解】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分解因式法解一元二次方程，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．
2．（2022·全国·九年级）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（       ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【答案】C
【分析】通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，
解得x=3，或x=4；
∴等腰三角形的两腰长是3或4；
①当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．
3．（2022·四川成都·九年级期末）方程的解为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解： ，


解得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
4．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程的根为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：

解得：，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键．
二、填空题
5．（2022·贵州·贵阳清镇北大培文学校一模）一元二次方程的根是_______．
【答案】，
【分析】根据因式分解法，先将x提出来分解因式得出因式乘积的形式，即可得出答案．
【详解】x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，灵活选择方法是解题的关键.解二元一次方程的方法有直接开平方法，公式法，因式分解法．
6．（2022·全国·九年级）一元二次方程的解是 __．
【答案】，
【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
，
或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成几个一次因式相乘，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
7．（2022·全国·九年级）方程的根是__．
【答案】或
【分析】将方程右边整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
【详解】解：移项，得：，
将左边因式分解，得：，
即，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
三、解答题
8．（2022·全国·九年级）用分解因式解方程：2y2＋4y＝y＋2
【答案】y1=﹣2，y2
【分析】先提公因式变形，再移项后用因式分解法解方程即可．
【详解】解：将原方程变形为2y（y+2）=y+2
移项，得2y（y+2）-（y+2）=0
因式分解，得（y+2）（2y﹣1）＝0
即y+2＝0或2y﹣1＝0
解得：y1＝﹣2，y2．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，正确掌握解方程的方法是解题的关键．
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：
【答案】
【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项合并得：，
分解因式得：，
∴或，
∴，
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，注意用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，正确掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
10．（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝12
【答案】
【分析】化简方程，利用因式分解法就方程即可．
【详解】解：（x﹣1）（x﹣2）＝12
化简得，



【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
12．（2022·全国·九年级）解方程：2x2﹣3x＝0．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：2x2﹣3x＝0
所以x（2x﹣3）＝0，
解得：x＝0或2x﹣3＝0，
所以．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13．（2022·河南许昌·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当时，求方程的实数根．
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再根据根的判别式 ，然后解不等式即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
(1)原式化成一元二次方程的一般形式：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
(2)当时，
原方程变为，
即，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式并熟练选择合适的方法解方程是解题的关键．
14．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）用适当的方法解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)解∶
整理得：
∴
∴或
解得：；
(2)解：
∴
∴或
解得：
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（       ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴

∴ ，故③错误；
④整理得：

∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
二、填空题
2．（2022·全国·九年级）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，过A作AH⊥CB交CB的延长线于H．分两种情形：若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8；若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，分别利用参数构建方程求解即可．
【详解】解：过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．

①若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8，
设BH＝x，
在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，
∴AB＝2x，AH＝BH＝x，
∴AC＝8﹣2x，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，
解得x＝，
∴AH＝，
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝；
（2）若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，
设BH＝x，则AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了“优三角形”以及“优比”的新定义问题，解题时用到了三角形的三边关系、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题
3．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　　，方程的另一个根为 　　；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
(3)若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
【答案】(1)1；x＝0；(2)m的值为1或﹣1；(3)m+n的最小值为﹣2
【分析】对于（1），根据两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中，求m即可；
对于（2），两个方程里面含有两个未知数，用含有m的代数式表示x，再代入求出解；
对于（3），利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造关系式，再求最小值．
(1)2（x﹣1）﹣4＝0
解得：x＝3，
将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，
将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，
∴另一个解为x＝0，
故答案为：1，x＝0；
(2)由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，
将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
答：m的值为1或﹣1；
(3)由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，
将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，
整理得：m＝n2+n﹣1，
∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，
当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，
答：m+n的最小值为﹣2．
【点睛】本题考查含参数的一元二次方程，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题．
4．（2022·全国·九年级）按指定的方法解下列方程：
(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法） (2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）
(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法） (4)5（x＋1）2＝10（直接开平方法）
【答案】(1)x1＝7，x2＝﹣1，(2)x1＝3，x2＝5
(3)x1＝1，x2，(4)
【解析】(1)x2﹣6x﹣7=0
解：移项得：x2﹣6x=7
配方得：x2﹣6x+9=7+9
（x﹣3）2=16
开方得：x﹣3=±4
解得：x1=7，x2=﹣1；
(2)2x﹣6=（x﹣3）2
解：移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0
提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0
由此得：x﹣3=0，或x﹣5=0
解得：x1=3，x2=5；
（3）3x2﹣4x+1=0
解：
方程有两个不相等的实根，


解得：x1=1，x2=；
(4)5（x+1）2=10
解：（x+1）2=2

解得：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级）解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
当x＜0时，原方程化为x2＋x﹣2＝0，
解得：　 　．
综上，原方程的根是　 　．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）；x1＝2，x2＝﹣2；x1＝2，x2＝﹣3
【分析】①②当x≤0时，去绝对值，将原方程化为: x2＋x﹣2＝0， 然后利用因式分解法解两个一元二次方程，即可解答；
③参照例题分类讨论：当x≥3, 原方程化为x2-x=0，当x<3时，原方程化为x2+x- 6=0，然后分别利用因式分解法解两个一元二次方程即可．
【详解】解：①当x<0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；
③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．
当x<3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级）阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）当m＜0时，原方程可化为m2＋m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0
【答案】m1＝1，m2＝﹣2
【分析】仿照例题分类讨论，再因式分解法解一元二次方程即可求解．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
【详解】解：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0，解得：m1＝1，m2＝0（舍去）．
当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1 （舍去）．
原方程的解：m1＝1，m2＝﹣2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，去绝对值符号，解题的关键是掌握数学转化思想求解．
7．（2022·安徽·安庆市第四中学模拟预测）先化简，再求值．，（其中的值是方程的根）．
【答案】；．
【分析】先解方程求得x的值，根据分式有意义的条件对x的值进行取舍，然后代入化简后的分式求值．
【详解】解：由，
解得：x1=1，x2=3，
因为x1≠0，即x≠1．
所以x=3．
原式=
=
=；
当时，
原式=．
【点睛】考查了分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
8．（2022·黑龙江黑龙江·三模）解方程：
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．
【详解】


或，
．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是利用提公因式法进行因式分解．
9．（2021·江苏宿迁·九年级期中）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程： ① ②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【答案】（1）①，，；②；（2）
【分析】（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案
②方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案；
（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）①∵
∴
∴，，
②∵
∴，即
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴（舍去）
∴的解为：
（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，
当时，
∵x为实数       
∴       
∴且；
当时，得：，方程有解（x的值存在）；
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解．
10．（2021·全国·九年级单元测试）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，
解之得，即所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：＝　 　．
（2）方程组的解为　 　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　．
（4）解方程组
（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），
【分析】（1）设，代入原式化简即可得出结论；
（2）设，将原方程组变形，求得，，进而求出原方程组的解；
（3）设，展开后因式分解，再将代入即可得出结论；
（4）将原方程组变形为，设，，解关于，的方程组，进而求得．的值；
（5）将关于、的方程组，变为，利用关于、的方程组的解是，可得：，解这个方程组可得原方程组的解．
【详解】
解：（1）设，
原式．
故答案为：．
（2）设，原方程组变为：
．
解得：．
．
解得：．
经检验，是原方程组的解．
故答案为：．
（3）设，
原式．
故答案为：．
（4）原方程组变形为：，
设，，则．
解得：．
．
．
（5）将关于、的方程组整理得：
．
关于、的方程组的解是，
．
即：．
解这个方程组得：
，．
原方程组的解为：
，．
【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，分式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．