人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程精品第3课时同步达标检测题

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21.3 几何图形问题（第3课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，
由题意得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．
2．（2022·浙江温州·八年级期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先求出空白的小正方形的边长，再表示出大正方形的面积，根据大正方形的边长减去个空白小正方形的边长即为方程的正数解．
【详解】解：根据题意，可知以正方形的边长为一边向外构造的一个矩形的面积为，
四个空白的小正方形的边长为，
大正方形的面积为，
该方程的正数解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意求出空白小正方形的边长是解题的关键．
3．（2022·四川达州·九年级期末）在校园的一块正方形空地上划出部分区域搞绿化，如图，原空地一边减少，另一边减少，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，则可列方程为，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022·四川成都·九年级期末）2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m，宽18m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化（图中阴影部分）．设小路宽为xm，若绿化面积为448m2，则可列方程为（　　）

A．32×18﹣32x﹣18x＝448 B．32×18﹣64x﹣18x＝448
C．（32﹣x）（18﹣2x）＝448 D．（32﹣2x）（18﹣x）＝448
【答案】D
【分析】种植花草的部分可以合成一个矩形，由小路的宽为xm，可知合成后的矩形长为，宽为，根据矩形面积公式列等式，即可求解．
【详解】解：小路的宽为xm，纵向有2条路，横向有1条路，
种植花草的部分可以合成一个长为，宽为的矩形，
绿化面积为448m2，
，
故答案为：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
5．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室二模）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（       ）

A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米
【答案】C
【分析】设中央边长为x米，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设中央边长为x米，
依题意，得：（x＋3.2＋3.2）2−x2＝144×0.82，
解得：x＝4.
故选：C
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·江西景德镇·九年级期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______．
【答案】x（x+12）=864
【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案．
【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864．
故答案为：x（x+12）=864．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
7．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．

【答案】1
【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
8．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．

【答案】2或3
【分析】设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解．
【详解】解：设运动时间为秒，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
三、解答题
9．（2021·甘肃兰州·九年级期中）如图，在一块宽为，长为的长方形草地上，修建同样宽的小路后，剩下的草坪面积为，求修建的小路的宽度．

【答案】
【分析】设修建的小路的宽度为xm，利用“剩下的草坪面积为”列出方程，求解即可．
【详解】解：设修建的小路的宽度为xm，
则，
化简得，
解得（舍去）．
答：修建的小路的宽度为．
【点睛】本题考查实际问题与一元二次方程．找到等量关系列出方程是本题解题的关键．
10．（2022·全国·九年级）如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长．

【答案】5m
【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出边AB的长．
【详解】
解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝50，
整理得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5．
答：边AB的长为5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．（2022·全国·九年级）如图，在一块长为22m，宽为17m的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路．两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分种上草坪．已知草坪的面积为300m2，设道路宽为x（m），写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．

【答案】该方程是一元二次方程，其一般形式为x2﹣39x+74＝0；
【分析】由道路的宽为xm，由平移的性质可得出种植草坪的部分可合成长（22﹣x）m，宽（17﹣x）m的长方形，根据草坪的面积为300m2列方程，再将其转化为一般形式即可；
【详解】解：∵道路的宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长（22﹣x）m，宽（17﹣x）m的长方形，
依题意得：（22﹣x）（17﹣x）＝300，
x2﹣39x+374＝300，
x2﹣39x+74＝0，
∴该方程是一元二次方程，其一般形式为x2﹣39x+74＝0；
【点睛】本题考查了平移，一元二次方程的实际应用以及一元二次方程的一般形式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【分析】（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可．
(1)解：当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
(2)解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
(3)解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．
13．（2021·辽宁沈阳·九年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？

【答案】1秒
【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得：
4x（6﹣x）÷2＝10，
解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）．
答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm2”，找到等量关系是解决问题的关键．
14．（2022·山西太原·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0
【答案】当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【分析】当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【详解】解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，
依题意得×2t(6－t)＝8，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2021·湖南·娄底一中九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．

（1）若，求的值；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）x的值为2或；（2）当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【分析】（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；
（2）直接利用S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，代入求出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm， BQ=2x(cm)，
∵,
∴，
解得：，
∴x的值为2或；
（2）由题意可得：S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ
=AB•BC-AD•AP-CD•CQ-BP•BQ
=6×12-×12x-×6（12-2x）-（6-x）•2x
=x2-6x+36=31，
解得：x1=1，x2=5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正确表示出三角形的各边长是解题关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2021·辽宁朝阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（       ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t•（8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、解答题
2．（2022·全国·九年级）如图所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．对于这个问题，你能列出方程吗？试求其解，并与同伴交流一下自己的心得．

【答案】仓库的长和宽分别为13米，10米
【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，那么平行于墙的一边长为（32﹣2x+1），而仓库的面积为130平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米，
依题意得（32﹣2x+1）x＝130，
2x2﹣33x+130＝0，
（x﹣10）（2x﹣13）＝0，
∴x1＝10或x2＝6.5，
当x1＝10时，32﹣2x+1＝13＜16；
当x2＝6.5时，32﹣2x+1＝20＞16，不合题意舍去．
答：仓库的长和宽分别为13米，10米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄懂题意，根据面积为130平方米列出方程是解决问题的关键，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3．（2021·全国·九年级期中）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？

【答案】仓库的边为10米，为14米
【分析】设仓库的边为米，根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设仓库的边为米，
由题意得：，
整理，得，
解，得，，
当时，；
当时，，
∴不合题意，应舍去.
答：仓库的边为10米，为14米.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
4．（2022·全国·九年级）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．

(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)24 (2)10米 (3)不能，见解析
【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
(1)解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
(2)设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
(3)不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，点E从点B沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间．

【答案】（6－）s
【分析】设点E运动的时间是x秒．根据题意可得方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：设点E运动的时间是x s．
根据题意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解这个方程得
x1＝6－，x2＝6＋，
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴两点运动了1.5s后停止运动．
∴x＝6－．
答：当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－）s．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
6．（2022·江西宜春·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．

(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；
(2)若时，求x的值；
(3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形．
【答案】(1)，
(2)或
(3)当为或时，是以为斜边的直角三角形
【分析】（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；
（2）在中，根据勾股定理即可求出答案；
（3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案．
(1)由题可得：，，
∴，，
故答案为：，；
(2)在中，，即，
解得：或；
(3)，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
解得：或，
∴当为或时，是以为斜边的直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．
7．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？

【答案】（1）8；（2）；（3）
【分析】本题可设出发后，符合已知条件：
在（1）中，，，，得出，即可求出经过2秒钟后的面积；
在（2）中，，，，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，，，，利用勾股定理和列出方程，求出答案．
【详解】解：（1）、同时出发，经过秒钟，，
当，
，
故答案是：8．
（2）设出发时，则运动的时间为秒，由题意得：
，
，
解得：
因此经4秒点离点，点离点，符合题意．
答：先出发，再从出发后，．
（3）设经过秒钟后，则，，，
，
解得，（不合题意，舍去）
答：经过秒钟后．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．
8．（2021·辽宁·沈阳市光明初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 　 　；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 　 　．

【答案】（1）；（2）或 ；（3）2．
【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程=速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑；
（3）由（2）得到线段PQ2的关系式，然后利用二次根式的性质，即可得到答案．
【详解】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有（t+62t）×2=2×6×，
解得t=；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t=或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t232t+59=0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t=或 时，点P与点Q之间的距离．
故答案为：或 ；

（3）由（2）可知，
①当0＜t≤3时，；
则时，PQ有最小值2；
②当3＜t≤4时，
则时，PQ有最小值；
∵；
∴PQ长度的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用．
9．（2019·山东·青岛市即墨区第二十八中学九年级阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交于点，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；
（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．

【答案】（1）；（2）；（3）当或时，的面积为矩形面积的；（4）当时，点在线段的垂直平分线上
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得由得四边形为平行四边形，即，列式，计算可解.
（2）由，得，代入时间，得解得，
再通过梯形构建联系，可列函数式.
（3）由的面积为矩形面积的得，可解
当或时，的面积为矩形面积的．
（4）当点在线段的垂直平分线上时，，得，由与可得，，，即，代入，，，
可得，计算验证可解.
【详解】（1）当四边形是平行四边形时，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即，
∴
（2）∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
，
梯形，
∴梯形
（3）由题意，
解得，
所以当或时，的面积为矩形面积的．
（4）当点在线段的垂直平分线上时，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
即
解得，（舍）
所以当时，点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.
10．（2018·江苏淮安·九年级期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒

（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．
【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.
【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，
∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，
解之，得t1＝2，t2＝4；
（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，
∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，
解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，
解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），
③如图3，当3≤t≤6时，S＝ 6×6﹣t2＝8，
解得：t1＝2，t 2＝﹣2（不合题意，舍去），
综上，t的值为或2时，重叠面积为8．

【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
11．（2021·山东济南·九年级期中）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.
试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0   
∴＝3或＝4 .
则AB＝3，BC＝4
(2)由题意得
∴，(舍去)
则t＝4时，AP＝.
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形.
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒).
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4.
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5        
∴t＝ ＝9.5(秒)
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ，
∴PC＝2PQ＝       
∴(秒)
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.