初中数学22.3 实际问题与二次函数精品课后练习题

这是一份初中数学22.3 实际问题与二次函数精品课后练习题，文件包含人教版数学九年级上册223《实际问题与二次函数建立二次函数模型解决实际问题》解析版docx、人教版数学九年级上册223《实际问题与二次函数建立二次函数模型解决实际问题》原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。

22.3实际问题与二次函数—建立二次函数模型解决实际问题（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设抛物线解析式为y＝ax2，再得出抛物线上一点为（2，﹣2），进而求出a的值．
【详解】解：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，
故﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣0.5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线的解析式是解题关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（   ）
A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒
【答案】B
【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，根据二次函数的性质，即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当时，取得最大值，
当时，取得最大值，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2022·浙江杭州·九年级期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（    ）

A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒
【答案】C
【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，在t＝4s时，小球的高度最高．
【详解】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出抛物线对称轴是解题关键．
4．（2022·全国·九年级）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）

A．6s B．4s C．3s D．2s
【答案】A
【分析】根据题意可得，当﹣5t2+30t＝0时，小球从抛出至回落到地面，解出即可求解．
【详解】解：由小球高度h与运动时间t的关系式h＝30t﹣5t2．
令h＝0，有﹣5t2+30t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝6
∴小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，得到当﹣5t2+30t＝0时，小球从抛出至回落到地面是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（   ）
A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m
【答案】B
【分析】把t=4代入h＝gt2可得答案．
【详解】解：把t=4代入h＝gt2得，

故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t=4代入是解题关键
6．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数表示，则a的值为（  　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，0），可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求解即可．
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，0），

可设抛物线的解析式为，
将A（96，0）代入，得：，
解得：，
所以，该抛物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求抛物线的解析式，理解题意，建立适当平面直角坐标系，将实际问题转化为数学知识求解是解答的关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）

A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m
【答案】C
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，

由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．
8．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（    ）

A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；
③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；
④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
9．（2022·全国·九年级单元测试）在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为(   )

A．1m B．2m C．m D．3m
【答案】C
【分析】根据函数解析式，令，可求出对应的y值，即为水管的长度．
【详解】解：函数解析式
令，则
则水管的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用数形结合的思想根据函数表达式求解出对应的函数值是解决本题的关键．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（    ）

A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．

二、填空题
11．（2022·全国·九年级专题练习）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．

【答案】20
【分析】根据题意分别求出点A、B的坐标，计算即可．
【详解】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，铅球运动员掷铅球的高度 (m)与水平距离 (m)之间的函数关系式是： ，则该运动员此次掷铅球的成绩是________ m.

【答案】10
【分析】由题意知，该运动员此次掷铅球的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此令y=0，解一元二次方程即可．
【详解】令，则： ，
解得：（舍去），.
则该运动员此次掷铅球的成绩是10m.
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系在实际生活中的应用，理解题意是关键．
13．（2022·江苏·九年级专题练习）某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．
【答案】45
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了二次函数求最值的问题，根据已知利用配方法得出顶点式是解题关键．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行______s后，才会停下来．
【答案】26
【分析】当滑行距离最大时飞机才会停下来，所以把二次函数解析式配方即可．
【详解】∵，
∴当时，取得最大值338m，
即飞机着陆后滑行26s后，才会停下来.
故答案为：26
【点睛】本题考查了二次函数的应用，关键理解题意，飞机滑行距离最远时才会停下．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．


【答案】
【分析】根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．
【详解】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，
∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），
∴点D（1，1），点F（3，0），
设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2，
则1＝a（1﹣3）2，
解得，a＝，
∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出抛物线的顶点坐标和经过的点D的坐标，利用二次函数的顶点式解答．
16．（2022·河北唐山·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．

【答案】（或）
【分析】根据题意以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，即可求出解析式．
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），
设抛物线的解析式为：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a，
所以抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
17．（2022·福建省福州第一中学九年级开学考试）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 __秒．
【答案】9.5
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
【详解】解：此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高是第9.5秒，
故答案为：9.5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到抛物线的对称轴是解题的关键．
18．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．

【答案】10
【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
【详解】将y=0代入；

整理得：
（x-10）（x+2）=0
解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
19．（2022·全国·九年级专题练习）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是，该型号飞机着陆后滑行的最大距离是______．
【答案】600m##600米
【分析】根据题意可以将y关于x的代数式化为顶点式，从而可以求得y的最大值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴x=20时，y取得最大值，最大值=600，
故答案为：600m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

三、解答题
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
(2)能飞越，理由见解析
(3)8.1米

【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
（1）
解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
（2）
解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
（3）
解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）

(1)直接写出c＝　 　；
(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
【答案】(1)5；
(2)10米；
(3)能安全通过，理由见解析．

【分析】（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解；
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得；
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
（1）
解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）
解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）
解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、解一元二次方程、二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，能结合图形与实际列式求解．
22．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：

(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点A（-2，-2）代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面AB下降1米，到CD处时，点D的纵坐标为-3，把y=-3代入，可得到水面的宽度，即可求解；
（3）根据题意可得当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，把y=-1代入，可得到水面的宽度，即可求解．
（1）
解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点A（-2，-2），B（2，-2），
把点A（-2，-2）代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）
解：∵水面AB下降1米，到CD处，
∴点D的纵坐标为-3，
当y=-3时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米；
（3）
解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度减少米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
23．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
(1)
依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
(2)
令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
24．（2022·山东·临沂第六中学九年级阶段练习）某校九年级的场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮网中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

(1)建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中?
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功?
【答案】(1)抛物线解析式为：，能准确投中，理由见解析
(2)能拦截成功，理由见解析

【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，
令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；
（2）将x=1代入进而得出答案．
（1）

如图，球出手点、最高点（顶点）坐标分别为：，
设二次函数解析式为，将点代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
将点横坐标代入抛物线解析式得：
即点在抛物线上，
此球一定能投中；
（2）
能拦截成功，
理由：将代入得，
，
他能拦截成功．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2022·湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学九年级阶段练习）如图水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．试求水柱落点距O点4m时的喷头高度．

【答案】8m
【分析】根据题意可得：在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设；喷头高4m时，可设；分别把（2.5，0）、（3，0）代入可得a和b的值，再设水柱落点距O点4m时的喷头高度为hm，可得水柱落点距O点4m时的解析式为，把（4，0）代入，即可求解．
【详解】解：由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0①；
喷头高4m时，可设，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立①②得：，
解得：，
设水柱落点距O点4m时的喷头高度为hm，
∴水柱落点距O点4m时的解析式为，
把点（4，0）代入得：，
解得：h=8，
即水柱落点距O点4m时的喷头高度为8m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
26．（2022·湖南湘西·九年级期末）某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
【答案】(1)（，为整数）
(2)当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

【分析】（1）由题意可得，每辆车的日租金收入为：500+（20-x）×50，从而可以解答本题；
（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，可以得出租赁公司日收益，然后根据二次函数的性质，即可求问题的答案．
(1)
解：（，为整数）．
(2)
解∶根据题意得：日租金收入为元．
∴

．
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴．
∴当＝15时，有最大值5000．
∴当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级单元测试）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（    ）

A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】C
【分析】当时，代入解析式，解得，求得，当时，，即可得到结论．
【详解】解：当时，
即，
解得：，
，
当时，，
（m），
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ）

A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
【答案】C
【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D．
【详解】解：联立两函数解析式，得
，解得：或，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵<0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x-x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，

∴B(x,)，
∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，
∵<0，
∴当x=时，AB有最大值，最大值=，
即小球距斜坡的最大铅直高度为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．18° B．36° C．41° D．58°
【答案】C
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．

二、填空题
4．（2022·全国·九年级单元测试）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

【答案】##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
5．（2022·四川广安·九年级专题练习）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

【答案】8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．

三、解答题
7．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示.已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2来处的棚高BC为米.

(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米?
(3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米?
【答案】(1)
(2)3米
(3)横梁DE的宽度最多是米

【分析】（1）先求出A、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求解即可；
（3）求出当y=1.5时x的值即可得到答案．
（1）
解：由题意得点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（2，），
∴，
∴，
∴该抛物线解析式为；
（2）
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（4，3），
∵，即抛物线开口向下，
∴抛物线的函数值有最大值3，
∴蔬菜大棚离地面的最大高度是3米；
（3）
解：当时，即，
∴，
解得，，
∴，
∴横梁DE的宽度最多是米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
8．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校九年级阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，在长度为的两支柱和之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
(2)求支柱的长度；
(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于），行车道最宽可以铺设多少米？
【答案】(1)
(2)3．5m
(3)米

【分析】（1）根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为可求出支柱EF的长度．
（3）令求得x的值即可求解．
（1）
根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为:：
∵相邻两支柱间的距离均为5m，

两点都在抛物线上，



（2）
设点F的坐标为


（3）
当时，




∴行车道最宽可以铺设米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
9．（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m水面CD的宽是10m．

(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘船以每小时5km的速度向此桥径直驶来，当船距此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位在CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)能安全通过，理由见详解
(3)能安全通过，理由见详解

【分析】（1）设抛物线的解析式为：，由AB=20，CD=10，可得B点的横坐标为10，D点的横坐标为5，设D点的纵坐标为n，则C(5，n)，根据水面CD相对于水面AB升高了3m，可得有B点的纵坐标为n-3，即B(10,n-3)，将B(10,n-3)、C(5,n)代入中，即可求解；
（2）先得到B(10,-4)、C(5,-1)，由常识可知，小船经由水面的正中间航行，最有可能穿过小桥，当x=8÷2=4时，，根据-0.64-2.5=-3.14，-3.14＞-4，即可判断；
（3）求出小船到达小桥时水面的水位即可作答．
（1）
由抛物线的图象在坐标系中的位置可知，抛物线的顶点在原点，
即设抛物线的解析式为：，
∵AB=20，CD=10，
∴B点的横坐标为10，D点的横坐标为5，
设D点的纵坐标为n，则C(5，n)，
∵水面CD相对于水面AB升高了3m，
∴有B点的纵坐标为n-3，即B(10，n-3)，
将B(10，n-3)、C(5，n)代入中，
有：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
根据（1）中n的值，可得B(10,-4)、C(5,-1)，
由常识可知，小船经由水面的正中间航行，最有可能穿过小桥，
∵小船宽8m，船高2.5m，
∴当x=8÷2=4时，，
∴-0.64-2.5=-3.14，
∵-3.14＞-4，
∴小船可以通过这座桥，
即小船可以通过这座桥；
（3）
小船到达小桥所需的时间为：35÷5=7h，
7小时内水位上涨：0.25×7=1.75m，
∵水面CD相对于水面AB升高了3m，1.75＜3，
∴此时水位没有涨至CD处，
∴小船到达小桥时，航线依旧保持通行，
∴小船可以安全通过此桥．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与性质以及求解抛物线解析式的知识．结合图象设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
(1)
依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．
解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
(2)
令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
11．（2022·云南红河·九年级期末）在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？

【答案】小华此次投掷的成绩是10米
【分析】根据题意可知点的坐标为，顶点为B(4，3)，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令y=0，求出此时x的值即可．
【详解】解：点的坐标为，顶点为B(4，3)．
设抛物线的表达式为，
点A在抛物线上，
，  解得．
抛物线的表达式为，
令，则，
解得或（不合实际，舍去）．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质，会用待定系数法求解函数的表达式是解题的关键．注意最后得出的结果要舍去不符合实际的一个．
12．（2022·全国·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池的正中心有一支高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，最高处距喷水管水平距离为．

(1)求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求这个的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？
【答案】(1)
(2)米

【分析】（1）利用解析式经过顶点坐标以及图象上(0,1)，求出抛物线的解析式，进而即可求解抛物线水柱的解析式；
（2）求出解析式与x轴交点坐标，即可得出答案．
（1）
解：根据抛物线经过，
设，
又∵抛物线经过，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线水柱的解析式为；
（2）
根据题意，当时，解得，（不合题意，舍去），
答：水柱落水处离水池中心的距离为米．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出抛物线解析式是解题关键．
13．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M，，，水嘴高，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出图中抛物线的表达式．

【答案】
【分析】根据题意设抛物线表达式为顶点式：，代入定点坐标M（2，10），把与y轴交点坐标代入即可求出抛物线表达式．
【详解】解：设抛物线的表达式为．
由题意知，顶点M（2，10），
∴，
把代入，得，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了求二次函数表达式，解题的关键是找出坐标代入求解．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】(1)s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m
(3)6秒时两车相距最近，最近距离是2m

【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可；
（2）把代入一次函数解析式求出，再把的值代入二次函数解析式求出即可；
（3）根据当时，甲车的速度为16，当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小，得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可．
（1）解：由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为，一次函数表达式为，二次函数经过，，，解得：，二次函数表达式为．一次函数经过，，，解得：，一次函数表达式为．故答案为：，；
（2）解：，当时，，解得，，当时，，当甲车减速至9时，它行驶的路程是87.5；
（3）解：当时，甲车的速度为16，当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小，当时，两车之间距离最小，将代入中，得，将代入中，得，此时两车之间的距离为：，秒时两车相距最近，最近距离是．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂函数图象，求出函数表达式．
15．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室二模）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽与桥面长均为24m，点E在上，，测得桥面到桥拱的距离为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线，，其最低点与桥面的距离均为1m．求拱桥抛物线与钢缆抛物线的垂直距离的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；设拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离为，则，代入求值即可．
(1)
解：设拱桥为   
将代入得
求得，
   
当时，，
桥拱顶部离水面高度为；
(2)
解：右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为
设其表达式为   
将代入其表达式得，
解得
右边钢缆所在抛物线表达式为  
注：同理可得左边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，表达式为
设拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离为
则   
    
当时，
即拱桥抛物线与拱桥抛物线的垂直距离的最小值是
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
16．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．

(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
【答案】(1)y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米
(2)至少是2.25米
(3)至少是8米

【分析】(1)根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；
(2)先求出C点横坐标x=2，再代入(1)中解析式求出y=5.75，据此即可求得；
(3)先求出y=5.75+1.25=7，再代入解析式解方程，求值即可．
（1）
解：将点(0,4)，(16,4)分别代入y=-x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴y=-x2+x+4=-(x-8)2+8，
∵，
∴当x=8时，y有最大值，最大值为8，
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；
（2）
解：由题意得：C点横坐标为16÷2-12÷2=2，
将x=2代入y=-x2+x+4中，
解得：y=5.75，
8-5.75=2.25(米)，
∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；
（3）
解：5.75+1.25=7(米)，
由题意得：y≤7，
当-x2+x+4=7时，
解得：x1=4，x2=12，
∴12-4=8，
∴恒温管的长度至少是8米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．（2022·河南平顶山·九年级期末）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，
∴新函数表达式为：，
∵将新函数图象向右平移个单位长度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，

根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
18．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度，点E到篮球框正下方的距离，篮球框的垂直高度为．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）
【答案】(1)
(2)篮球第二次的落地点E到点O的距离为23m；
(3)小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．

【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，将代入即可求解；
（2）将向下平移两个单位得，，令得，进而即可求解；
（3）令得，，解得：，由即可求解．
(1)
解：由题意知，，
设抛物线的函数解析式为；
将代入表达式得，，解得：；
∴；
令得，，
∴抛物线的函数解析式为；
(2)
由题意，将向下平移两个单位得，，
令得，，解得：
∴，
∴
∴
∴
(3)
令得，，
解得：，


∴小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．
【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质，正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．
19．（2022·河北保定外国语学校一模）图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图，水平台面的长和宽分别为和，中间球网高度为，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为．乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当时，；P，Q的水平距离是（单位：m），如图2．

(1)设．用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）
(2)在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；
②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线，边线），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：）
(3)将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）
【答案】(1)，，
(2)①能，理由见解析；②发球点O在底线上距离边线的位置（即左上角）
(3)

【分析】（1）利用待定系数法分别求出v与t，h与t的函数，得出点Q的纵坐标为，从而推出y与x的函数关系式；
（2）①看图得出中网的坐标为，把x=1.4代入（1）抛物线的解析式求y值和0.15作比较；再读出底线的坐标为，把x=2.8代入抛物线的解析式求y值和0作比较即可判断；②分别过点O，M作底线，边线的平行线，交于点N，先求出ON长，然后把y=0代入抛物线解析式求出OM长，在中，根据勾股定理求出MN长，即可解决问题；
（3）根据题意得出，当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大．分别求出两种情况下的h长，利用h和t的函数分别求出时间，再分别求出球行走的水平距离，根据速度公式分别求两种速度，即可得出速度的范围．
(1)
解：（1）根据题意，当时，∵P，Q的水平距离为，
∴点Q的横坐标；
设，将代入得，
∵P，Q的竖直距离为，
∴点Q的纵坐标；
∴，
即．
(2)
解：①能过网，但出界 ，理由如下：
由（1）可知，
由题可知，中网在坐标系中可看成一个点且点的坐标为；
当时，；
底线可看成一个点且点的坐标为，当时，，
∴这次发球能过网，但出界了．
②如图，

分别过点O，M作底线，边线的平行线，交于点N，
在中，，
当时，，
解得或（根据题意舍去）
∴，
∴，
∴发球点O在底线上距离边线的位置（即左上角）．
(3)
解：当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，
∵中间球网高度为，
∴y=0.15m，
∴h=0.4-0.15=0.25m，
∴，
解得 或（舍去），
∵底线到中网的距离为1.4m ，
∴；
当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大，如图，连接OA，作NB⊥底线于B点，

∴ ，
∵这时的h=0.4，
∴，
∴或（舍去），
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理的实际应用，以及行程问题，解题的关键是读懂题意，根据题干提供的数据建立函数关系式，以及确定球过网时速度最小和最大时的落点位置．
20．（2022·贵州六盘水·九年级学业考试）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线ACD的函数表达式；
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
【答案】(1)
(2)17.7米
(3)1.7米

【分析】（1）根据顶点坐标为，可设顶点式，再将点代入求解；
（2）令可求出x的两个值，可以求出OD的长度，可得第二次篮球弹出后的距离为DE，相当于将抛物线ACND向下平移了2个单位可得，解得x的值即可知道DE的值，进而可得答案；
（3）根据运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，即此时，代入抛物线解析式求解．
（1）
解：设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为，
∵，，
∴，
由已知：当时， ，
即，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）
解：令，则，
解得：，（舍去），
∴篮球第一次落地距O点约9.7米；
如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，

根据题意：，相当于将抛物线ACND向下平移了2个单位，
∴，
解得：，，
∴，
∴（米），
∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；
（3）
解：∵运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，即此时，
∴，
解得，（舍去），

∴米．
【点睛】本题主要考查二次函数应用问题，抛物线解析式的求法，二次函数与一元二次方程．解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．

(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)①小丽的判断是正确的；②小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心
(3)1.3米

【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
(2) ①求得当x = 7.3时的函数值，与3比较即可说明小丽判断的正确性；
②由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将(7.3， 3)代入求得m的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案；
(3)将y=3.19代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
（1）
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）
解：①抛物线的解析式为，
当x = 7.3时，，
，
小丽的判断是正确的；
②出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将(7.3， 3)代入，得：，
解得：，(舍去)，
小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心；
（3）
解：抛物线的解析式为，
当y= 3.19时，，
解得：，(不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效)，
小亮应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)

【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
（1）
（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

             图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．

（2）
的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
23．（2022·北京·九年级专题练习）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．

(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
(3)落点P与坡顶C之间的距离为 m．
【答案】(1)
(2)
(3)50

【分析】（1）由待定系数法解答；
（2）由正切定义解得OB＝80，继而求得直线BC的解析式，设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，由d＝y－y1得到二次函数，再利用配方法求最值；
（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程的解，再根据三角形中位线的性质解得HC，PH的长，最后根据勾股定理解答．
（1）
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
将（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，

解得
∴二次函数的表达式为；
（2）
设线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kx＋b（k为常数，k≠0），
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
∴tan∠CBO＝tan α＝
∵OC＝60，
∴OB＝80
将C（0，60），B（80，0）代入y1=kx＋b可得，

解得
∴线段BC表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝x＋60（0≤x≤80）
设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
则d＝y－y1＝－x2＋x＋70－(x＋60)＝－x2＋x＋10＝－ (x－18)2＋
∴当x＝18时，d的最大值为.
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离为 m.
（3）




或（舍去）
即Px=40，
过点P作PH//x轴，PH=40

又OB=80

是的中位线


故答案为：50．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．