初中数学人教版九年级上册23.2.3 关于原点对称的点的坐标精品精练

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23.2.3 关于原点对称的点的坐标（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点坐标为即可得出答案．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，得平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（　　　）
A．3 B．-3 C．5 D．-5
【答案】A
【分析】根据原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，即可得．
【详解】解：∵点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，
∴点A的坐标为：，
即m为3，
故选A．
【点睛】本题考查了两点关于原点对称求参数，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
3．（2022·甘肃·金塔县教育局教育研究室八年级期末）直角坐标系中，点A(-3，4)与点B(3，-4)关于（     ）
A．原点中心对称 B．轴轴对称 C．轴轴对称 D．以上都不对
【答案】A
【分析】观察点A与点B的坐标，依据关于原点中心对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案．
【详解】根据题意，易得点（-3，4）与（3，-4）的横、纵坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．
故选A．
【点睛】本题考查在平面直角坐标系中，关于原点中心对称的两点的坐标之间的关系．掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是解答本题的关键．
4．（2022·全国·九年级单元测试）已知点A（1，2）与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（    ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】D
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值．
【详解】解：∵点A（1，2）与点关于坐标原点对称，
∴实数a、b的值是：a＝-1，b＝-2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期末）在直角坐标系中，已知点A(2a，a-b+1)，B(b，a+1)关于原点对称，则a，b的值是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的特点列出方程组求解即可．
【详解】解：∵点关于原点对称，
得
解得．
故选：A．
【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特点，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的特点．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）已知两点，若，则点与（    ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对
【答案】C
【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．
【详解】，

两点，
点与关于原点对称，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键．
7．（2022·河北保定·九年级期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（    ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称.
故选D．
【考点】关于原点对称的点的坐标．

二、填空题
8．（2022·湖北·武汉市第一初级中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q的坐标为______．
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可直接作答．
【详解】根据中心对称性质可知：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，属于基础问题，熟记知识点是解题关键．
9．（2022·福建省福州铜盘中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________．

【答案】（﹣x，﹣y）
【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答．
【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2），
∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称，
∴△PQR和△ABC关于原点对称．
∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点，
∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）．
故答案为：（﹣x，﹣y）．
【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数．
11．（2022·湖北孝感·九年级期末）点A（5，m）和点B（n，﹣3）关于原点对称，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【分析】平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点为：横坐标、纵坐标都互为相反数，由此可求解．
【详解】解：∵点A（5，m）和点B（n，﹣3）关于原点对称，
∴m＝3，n＝﹣5，
∴m+n＝3+（﹣5）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
12．（2022·河北沧州·九年级期末）若点与点关于原点对称．
（1）点在第________象限；
（2）的值为________．
【答案】     二     -3
【分析】（1）根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解；
（2）根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点A（-4，3），
∴点A在第二象限；
故答案为：二
（2）∵点与点关于原点对称，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：-3
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
13．（2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将点统原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为______．

【答案】
【分析】根据旋转的性质和关于原点对称的点的特征：两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求出．
【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转和关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
14．（2022·湖南长沙·九年级阶段练习）如图，已知点A的坐标是（-2，1），点B的坐标是（﹣1，-1），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ______.

【答案】（1，1）
【分析】根据菱形中心对称的性质求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，点B的坐标是（﹣1，-1），
∴点D的坐标是（1，1），
故答案为：（1,1）．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
15．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），则a+b＝_____．
【答案】﹣3
【分析】利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求出a和b的值，然后代入计算即可．
【详解】∵点A（1，2）关于原点对称的点为B（a，b），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）若点M（3，a）关于原点的对称点是点N（b，－2），则（a+b）2020=_____________．
【答案】1
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（−x，−y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵点M（3，a）关于原点的对称点是点N（b，−2），
∴a＝2，b＝−3，
∴（a＋b）2020＝（−1）2020＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

三、解答题
17．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．

(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．
【答案】(1)图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）
(2)图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）

【分析】（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；
（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；
（1）
如图所示，△OA1B1即为所求，

由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；
（2）
如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．
【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．
18．（2022·广东·佛山市南海区听音湖实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)

(1)画出ABC关于原点O的中心对称图形；
(2)若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用中心对称分别作出A，B，C的对称点即可；
（2）利用轴对称的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决．
（1）
如图，即为所求，

（2）
作点A关于y轴对称点，连接C交y轴于点P，此时PA+PC的值最小，如上图，
由图像可得最小值=C=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-中心对称变换，轴对称最短问题，勾股定理，解决本题的关键是学会利用轴对称把两线段和最小问题转化为两点之间线段最短．
19．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（-2、-2）、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题：

(1)与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______；
(2)的面积为______；
(3)将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为，，则旋转中心的坐标为______，并在网格中画出旋转后的．
【答案】(1)（2，2）
(2)2.5
(3)（0，-1），图形见解析

【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征求解，即可；
（2）利用割补法求三角形的面积，即可；
（3）连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心，即可求解．
（1）
解：∵与△ABC关于坐标原点O成中心对称，
∴点B和点关于坐标原点对称，
∵B（-2、-2），
∴的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）
解：根据题意得：的面积等于△ABC的面积，
∴的面积等于；
故答案为：2.5
（3）
解：如图，连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（0，-1）；
故答案为：（0，-1）
如图，即为所求．

【点睛】本题考查了图形的变换——旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(-2，-2)．
（1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的并写出点C2的坐标；
（3）以C2为旋转中心，把顺时针旋转90°，得到△C2A3B3．

【答案】（1）作图见解析，C1(2，-2)；（2）作图见解析，C2(-2，2)；（3）作图见解析．
【分析】（1）分别作出，，的关于轴的对称点，然后顺次连接即可作出图形；
（2）分别作出，，的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形；
（3）以为旋转中心，把△顺时针旋转，即可得到△．
【详解】解：（1）如图所示，△即为所求，的坐标是；

（2）如图所示，△即为所求，的坐标是：；
（3）如图所示，△即为所求．
【点睛】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·山西·大同市第六中学校九年级开学考试）已知点A关于原点对称点的坐标为（a，b），那么点A关于y轴对称点的坐标是（　　）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b）
【答案】A
【分析】根据点A关于原点对称点的坐标为（a，b），关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，得到点A的坐标为（-a，-b），根据关于y轴对称点的纵坐标相同横坐标互为相反数，得到点A关于y轴对称点的坐标是（a，-b）．
【详解】∵点A关于原点对称点的坐标为（a，b），
∴点A的坐标为（-a，-b），
∴点A关于y轴对称点的坐标是（a，-b）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化——轴对称等，解决问题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标为，然后再根据平移得出新的抛物线顶点坐标为，再根据关于原点对称的两个点的特点，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，关于原点对称点的特点，解一元一次方程，熟练掌握抛物线的平移特点，得出平移后抛物线的顶点坐标为，是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（    ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【详解】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·九年级期末）已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ）
A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点
B．图象关于原点中心对称
C．图象不经过第一象限
D．x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果．
【详解】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意；
B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意；
C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意；
D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键．

二、填空题
5．（2022·全国·九年级课时练习）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．
【答案】2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．

三、解答题
6．（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，已知中，，，．

(1)画出关于原点成中心对称的．
(2)线段OA绕坐标原点O逆时针旋转90°后点A的坐标是 ．
【答案】(1)见详解
(2)

【分析】（1）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出，，的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A的对应点，即可写出A的坐标．
（1）
解：∵，，，
∴，，，

∴为所求三角形．
（2）
解：线段OA绕坐标原点O逆时针旋转90°后如图所示：

∴点A的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，根据题意正确作图是解答本题的关键．根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
7．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（，0），B（，1），C（，2）．

(1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：________；
(2)请画出△ABC关于点O成中心对称的；
(3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的．
【答案】(1)（0，3）；
(2)见解析；
(3)见解析．

【分析】（1）根据中心对称的性质结合图形可得答案；
（2）根据中心对称的性质找出点A、B、C关于点O的对称点、、的位置，顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可．
（1）
解：如图，点B关于点C对称的点的坐标为；
（2）
解：如图所示，即为所求；
（3）
解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题考查了作图—中心对称和旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键．
8．（2022·山西·大同市第六中学校九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．

(1)画出△ABC关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的．
【答案】(1)作图见解析，点坐标为（-2，-1）；
(2)作图见解析

【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点绕点按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
（1）
解：如图所示，所求，
点坐标为（-2，-1）；
（2）
解：如图所示，即为所求，

【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知A(﹣1，4)，B(﹣2，1)，C(﹣4，1)，△ABC与△A1B1C1关于原点对称，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1．

(1)点A关于x轴对称点的坐标是_________，点B关于y轴对称点的坐标是_________；
(2)画出△A1B1C1；
(3)写出△A1B1C1的面积．
【答案】(1)(﹣1，﹣4)，(2，1)
(2)见解析
(3)3

【分析】（1）根据轴对称变换的性质求解即可．
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点，连接各点即可．
（3）利用三角形面积公式求解．
（1）
∵A（﹣1，4），B（﹣2，1），
∴点A关于x轴对称点的坐标是（﹣1，﹣4），点B关于y轴对称点的坐标是（2，1）．
故答案为：（﹣1，﹣4），（2，1）；
（2）
如图，△A1B1C1即为所求；

（3）
△A1B1C1的面积＝×2×3＝3．
【点睛】此题考查了轴对称、中心对称和三角形面积的知识，解题的关键是掌握对称的性质．
10．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
【答案】（1）是，见解析；（2）．
【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可
【详解】解：（1）当时，

点M关于原点对称的点，
当时，
在抛物线上，
抛物线是回归抛物线；
（2）

由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，



．
【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
11．（2022·河南许昌·九年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1， -4）．

(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标是 ．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)（2.5,0）．

【分析】（1）根据原点坐标对称点的坐标性质得出A1，B1，C1，各点坐标即可得出答案；
（2）将A1，B1，C1，各点向右平移5个单位即可得出A2，B2，C2，各点坐标即可得出答案；
（3）如图连接AA2,CC2，线段AA2与线段CC2交点即为所求，从而得到旋转中心坐标．．
(1)
解：∵由图可知：A(2,-2), B(1,-4), C(4,-3),
∴A1(-2,2), B1 (-1,4), C1 (-4,3),
作图：

如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)
解：∵由图可知：A1(-2,2), B1 (-1,4), C1 (-4,3),
∴将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到A2 (3,2), B2 (4,4), C2 (1,3),
作图：

如图所示：△A2B2C2，即为所求；
(3)
如图连接AA2,CC2，线段AA2与线段CC2交点即为所求，旋转中心坐标为（2.5,0）

【点睛】此题主要考查了关于原点对称图形作图、平移作图以及旋转变换，熟知图形平移、对称和旋转的性质是解答此题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）
【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C；
（3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）（2）如图所示

（3）如图，

作C1点关于x轴的对称点C4
在RtΔC4DB1中，C4B1=
故答案为：．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过A（），B（）两点，直线AB与轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在抛物线上，点N在直线AB上，当M，N关于原点O成中心对称时，求点N的坐标；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A，B，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)N的坐标为（，）或（，）
(3)能，

【分析】（1）把点A，点B坐标代入抛物线线y=ax2+bx+，计算即可；
（2）先用待定系数法求出直线AB解析式为，则设N（），则M（）, 将M坐标代入抛物线解析式求出m值，即可求出点N坐标；
（3）分两种情况：①当AB是平行四边形的边时，②当AB是平行四边形的对角线时，分别求解即可．
（1）解：∵抛物线经过A（-1，0），B（）两点,∴解得∴抛物线的解析式.
（2）设直线AB的解析式为，∵A（-1，0）,B（）两点在直线AB上，∴， 解得∴.设N（），则M（）将M（）代入，得，解得，∴，∴N的坐标为（，）或（，）
（3）解：设点Q（m，n），n=-m2+m+2，点P(1，s)，点A、B的坐标分别为(-1，0)、(4，-)，①当AB是平行四边形的边时，i)点B向右平移3个单位，点B在直线x=1上，同样点A向右平移3个单位，此时横坐标为-4，当x=-4时，y=-×(-4)2-4+=-10，所以点A向上平移10个单位得到点Q，同样点B向上平移10个单位得到P，∴s=-(10+)=-13，∴点p坐标为(1，-13)；ii) 点A向右平移2个单位，点A在直线x=1上，同样点B向右平移2个单位，此时横坐标为6，当x=6时，y=-×62+6+=-10，所以点B向上平移-10-=8个单位得到点Q，同样点A向上平移8个单位得到P，则s=8，此时点P坐标为(1，-8)；②当AB是平行四边形的对角线时，AB中点坐标为(，-)，∴，∴m=2，∴n=-×22+2+=，∴，解得：s=-4，故点P（1，-4）综上，故点P的坐标为：(1，-4)或(1，-8)或(1，-13)．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，函数图象上点的坐标特征等知识，题目综合性较强，属中考试压轴题，熟练掌握一次函数的图象性质与二次函数图象性质是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）“N”函数的表达式为y＝x2+x+1；（2）k＝﹣1或3；（3）C（0，）或C（0，5）．
【分析】（1）利用“N”函数的定义，求出a，b，c的值，即可求出表达式；
（2）将y=kx与二次函数联立，得出关于x的一元二次方程，根据交点个数确定∆的取值即可求出k的值；
（3）先由“N”函数的中心对称性确定点B的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出C的坐标．
【详解】（1）设y＝﹣x2+x﹣1“N”函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
则a﹣1＝0，b＝1，c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝1，
∴y＝x2+x+1；
（2）根据题意得：
，即x2+(k﹣1)x+1＝0，
判别式．
，即x2+(1﹣k)x+1＝0，
判别式，
∴∆1＝∆2．
设∆＝∆1＝∆2．
若∆＞0，则“N”函数与y＝kx有四个交点；
若∆＝0，则“N”函数与y＝kx有两个交点；
若∆＜0，则“N”函数与y＝kx有没有交点；
∴∆＝0，即(k﹣1)2﹣4＝0，解得k1＝﹣1；k2＝3．
故k＝﹣1或3．
（3）由题意得“N“函数关于原点成中心对称，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，A（﹣2，1）
∴点B的坐标为(2，﹣1)．
∵△ABC是直角三角形，下面分情况讨论：
若∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
即(c﹣1)2+22+(c+1)2+22＝42+22，
解得．
∵c＞0，
∴c＝，
∴C的坐标为(0，)．
若∠CAB＝90°，
则AC2+AB2＝BC2．
即(c﹣1)2+22+20＝(c+1)2+22，
解得：c＝5，
∴C的坐标为(0，5)．
若∠ABC＝90°，
则C在y的负半轴，故舍去．
∴C(0，)或C(0，5)．

【点睛】本题主要考查了新定义，二次函数的图象与性质，根的判别式，中心对称的特点，以及勾股定理等知识，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．

(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2
(2)四边形PEP′E′能成为正方形，m或3

【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，2），A（，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把A（，0）代入可得a＝﹣1，由此即可解决问题；
（2）情形1，如图1中，四边形PEP′E′能成为正方形．作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，推出PM＝ME，∠PME＝90°，由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝HE＝1﹣m，可得E（m+1，m﹣1），利用待定系数法即可解决问题；情形2，如图2中，四边形PEP′E′是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
（1）
由题意抛物线的顶点C（0，2），A（，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
把A（，0）代入可得a＝﹣1，
∴抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2．
（2）
结论：四边形PEP′E′能成为正方形．
理由：情形1，如图1中，作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．

由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，
∴PM＝ME，∠PME＝90°，
由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝EH＝1﹣m，
∴E（m+1，m﹣1），
∵点E在y＝﹣x2+2上，
∴m﹣1＝﹣（m+1）2+2，解得m或（舍弃），
∴m时，四边形PEP'E′是正方形．
情形2，如图2中，四边形PEP'E′是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），

把E（m﹣1，1﹣m）代入y＝﹣x2+1中，1﹣m＝﹣（m﹣1）2+2，解得m＝3或0（舍弃），
∴m＝3时，四边形PEP′E′是正方形．
综上，四边形PEP′E′能成为正方形，m或3．
【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．