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初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角精品巩固练习
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角精品巩固练习，文件包含人教版数学九年级上册2414《圆周角》作业解析版docx、人教版数学九年级上册2414《圆周角》作业原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
24.1.4 圆周角（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·福建·厦门实验中学二模）如图，在⊙O中，A、B、C为圆上三点，将下列命题“同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半”用符号语言表示为（ ）
A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴
B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，
C．∵，∠C＝∠D，∴
D．∵，∴∠C＝∠D，
2．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（ ）
A．50° B．30° C．40° D．60°
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
4．（2022·河南郑州·九年级期末）如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学九年级阶段练习）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．5
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
7．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
8．（2021·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25 B．50 C． D．
9．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
10．（2020·福建福州·九年级期中）下列图形中，∠A＝∠B的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为______cm．
12．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
13．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．
14．（2022·福建·九年级竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
15．（2022·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．
三、解答题
16．（2022·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
17．（2022·江苏·九年级专题练习）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
18．（2020·江苏·南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=100°，求∠ABD的度数．
19．（2022·广东·佛山市南海区石门实验学校模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．
20．（2022·江苏·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B．矩形的对角线相等且相互平分
C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
2．（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
3．（2022·安徽六安·一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·全国·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
二、填空题
5．（2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在中，AB是的直径，，，M是AB上一动点，的最小值是______．
6．（2022·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD为⊙P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为⊙P与格线的交点，连接AC
（1）AC的长等于______；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦DE（点E在上），使DE＝DC，并简要说明点P的位置和弦DE是如何得到的（不要求证明）______
7．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
三、解答题
8．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：；
(2)若，求BF的长．
9．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：中，，分别是所对的圆心角和圆周角．
求证：．
情况一：当圆心O在的一边上时，如图1．
情况二：当圆心O在内部时，如图2．
情况三：当圆心O在外部时，如图3．
10．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）点E为正方形的边延长线上一点．
(1)如图1，当时，连接，，则____________°，_____________．
(2)如图2，将射线绕着点A逆时针旋转得到射线，作于点H，在射线取点M使得，连接．
①依题意补全图形；
②猜想的度数，并证明．
11．（2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，弦CE⊥AB，BD交CE，CA于点F，G，OC与BD交于点H．
(1)求证：CF＝BF＝GF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求BD的长．
12．（2022·福建·福州华伦中学九年级阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
(1)求证：∠CAG＝∠ABE；
(2)求证：CG＝CD；
(3)若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
13．（2022·江苏盐城·一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2)如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3)在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF=，则∠AOB的度数为______．（用含的式子表示）
14．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，为的直径，，连接．点在上，，求证：
(1)平分；
(2)．
15．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧中点，垂足为E，分别与相交于点F、G，则与是否相等？为什么？
16．（2022·全国·九年级单元测试）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
24.1.4 圆周角（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·福建·厦门实验中学二模）如图，在⊙O中，A、B、C为圆上三点，将下列命题“同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半”用符号语言表示为（ ）
A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴
B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，
C．∵，∠C＝∠D，∴
D．∵，∴∠C＝∠D，
2．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（ ）
A．50° B．30° C．40° D．60°
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
4．（2022·河南郑州·九年级期末）如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学九年级阶段练习）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．5
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
7．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
8．（2021·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．25 B．50 C． D．
9．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
10．（2020·福建福州·九年级期中）下列图形中，∠A＝∠B的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为______cm．
12．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．
13．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．
14．（2022·福建·九年级竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______．
15．（2022·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．
三、解答题
16．（2022·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
17．（2022·江苏·九年级专题练习）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
18．（2020·江苏·南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=100°，求∠ABD的度数．
19．（2022·广东·佛山市南海区石门实验学校模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．
20．（2022·江苏·九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）下列命题是假命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B．矩形的对角线相等且相互平分
C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
2．（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
3．（2022·安徽六安·一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·全国·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
二、填空题
5．（2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在中，AB是的直径，，，M是AB上一动点，的最小值是______．
6．（2022·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD为⊙P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为⊙P与格线的交点，连接AC
（1）AC的长等于______；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦DE（点E在上），使DE＝DC，并简要说明点P的位置和弦DE是如何得到的（不要求证明）______
7．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．
三、解答题
8．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，AB是的直径，点C为的中点，CF为的弦，且．垂足为E，连接交CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：；
(2)若，求BF的长．
9．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：中，，分别是所对的圆心角和圆周角．
求证：．
情况一：当圆心O在的一边上时，如图1．
情况二：当圆心O在内部时，如图2．
情况三：当圆心O在外部时，如图3．
10．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）点E为正方形的边延长线上一点．
(1)如图1，当时，连接，，则____________°，_____________．
(2)如图2，将射线绕着点A逆时针旋转得到射线，作于点H，在射线取点M使得，连接．
①依题意补全图形；
②猜想的度数，并证明．
11．（2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，弦CE⊥AB，BD交CE，CA于点F，G，OC与BD交于点H．
(1)求证：CF＝BF＝GF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求BD的长．
12．（2022·福建·福州华伦中学九年级阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
(1)求证：∠CAG＝∠ABE；
(2)求证：CG＝CD；
(3)若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
13．（2022·江苏盐城·一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2)如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3)在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF=，则∠AOB的度数为______．（用含的式子表示）
14．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，为的直径，，连接．点在上，，求证：
(1)平分；
(2)．
15．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧中点，垂足为E，分别与相交于点F、G，则与是否相等？为什么？
16．（2022·全国·九年级单元测试）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
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