初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系精品第1课时精练

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24.2.2直线和圆的位置关系（第1课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·贵州六盘水·模拟预测）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线的距离为.
∴dr，
∴直线和圆相交．
故选：B
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d 2．（2022·广西梧州·九年级期末）已知⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O（    ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据⊙O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为6，
∴d=r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
3．（2022·河北邢台·九年级期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　）

A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆，
∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案．
【详解】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据矩形的判定判断A，D选项；根据三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点判断B选项；根据确定圆的条件判断C选项．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
D、对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定，确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（    ）

A．中心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【分析】根据三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．即可判断．
【详解】解：由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∵AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
7．（2022·全国·九年级课时练习）一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是．所以它们的比为=．
【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是；
∵内切圆半径是，
外接圆半径是，
∴所以它们的比为=．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．
8．（2022·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）已知相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．11
【答案】C
【详解】解：∵相交两圆的半径分别为4和7

∴它们的圆心距7-4＜d＜7+4，
∴符合条件的数据为6.
故选C．
9．（2022·全国·九年级专题练习）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法先判断点A，点B与圆的位置关系，再结合直线与圆的交点的个数进行判断即可．
【详解】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（    ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【答案】B
【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若dr，则直线与圆相离．
【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（    ）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，，根据勾股定理得，，解得，即可得．
【详解】解：由题意得，，，，
∴是直角三角形，
设OA=x，则OB=x，
在中，，根据勾股定理得，


解得，
则半径OA的长为，
故选B．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，

又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．
13．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点可以确定一个圆
C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的性质解答即可．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
B．不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
C．相等的弧所对的圆心角相等，故原说法正确；
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等，故原说法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的性质是解答本题的关键．
14．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ）

A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【答案】D
【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
【详解】解：因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，
此时E在圆O′上运动，如图，

由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．

二、填空题
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切．

【答案】4
【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解．
【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
若l与⊙O相切，
则点 到直线l的距离等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于
即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．

【答案】1
【详解】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，

则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为 1，
故答案为1．
17．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．

【答案】128°．
【分析】由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=76°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=104°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×104°=128°．
故答案为：128°．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
18．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，圆与圆的位置关系有______．

【答案】相交，外切，内含，外离
【分析】根据圆与圆的五种位置关系的定义，观察图形即可得出包含了圆与圆的位置关系相交，外切，内含，外离．
【详解】解：圆与圆的位置关系有相交，外切，内含，外离，
故答案为：相交，外切，内含，外离．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是掌握圆与圆几种位置关系的定义．
19．（2022·江苏·九年级课时练习）设⊙O的半径为4cm，直线L上一点A到圆心的距离为4cm，则直线L与⊙O的位置关系是______．
【答案】相切或相交
【分析】根据直线与圆有三种位置关系：相离（直线到圆心距离大于直线半径）、相切（直线到圆心距离等于半径）、相交（直线到圆心距离小于半径）即可作答．
【详解】∵直线上一点到圆心距离为4cm，
∴圆心到直线的距离≤4cm，
∴直线与圆相切或相交．
故答案为：相切或相交
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练地掌握直线与圆的三种位置关系并能够通过圆心与直线的距离判断直线与圆的位置关系是解题的关键．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 ___个单位后圆与x轴交于点（2，0）．

【答案】1或9
【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算．
【详解】解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图，

，
由勾股定理：，
，
解得或9，
应将沿轴向下平移1或9个单位后圆与轴交于点．
故答案为：1或9．
【点睛】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在_____秒时相切．

【答案】3或4##4或3
【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可．
【详解】∵直线AB⊥l，
∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，
此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s；
当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，
此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s．
故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键．
22．（2022·湖北黄石·模拟预测）在Rt中，，且，，则该三角形内切圆的周长是______．
【答案】
【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】解：如图：

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，
根据勾股定理AB==13，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∴CE=CF=（AC+BC-AB），
即：r=（5+12-13）=2．
∴该三角形内切圆的周长=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出CE=CF=（AC+BC-AB）是解题关键．
23．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ________．

【答案】##2.4
【分析】根据菱形的性质，可得AC⊥BD， ，再由勾股定理可得，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解．
【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ，
∵AC=8、BD=6，
∴AO=4，DO=3，
∴ ，
设菱形ABCD的内切圆半径为r，
∴ ，
∵，
∴ ，解得： ，
即菱形ABCD的内切圆半径为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，内切圆，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，点是内切圆的圆心，若，那么______度．

【答案】115
【分析】由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=50°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=130°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-×130°=115°．
故答案为：115．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
25．（2022·山东临沂·九年级期末）已知的周长为10，面积为15，则的内切圆的周长为___________．
【答案】
【分析】如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解．
【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，
∴OD=OE=OF=r，
∴

，
∵△ABC的周长为10，面积为15，
∴，
∴，
∴内切圆周长，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查求三角形内切圆周长，解题的关键在于能够根据题意得到．
26．（2022·安徽蚌埠·九年级阶段练习）如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则_______．

【答案】110°
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE．
【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠B＝180°−50°−60°＝70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°．
故答案为：110°．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握．
27．（2022·安徽·九年级期末）如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝______．

【答案】1.5
【分析】连接DE，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到D为AB的中点，E为AC的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论．
【详解】连接DE，如图，

∵点O是△ABC的外心，
∴O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
∵点M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN是△ODE的中位线．
∴MN＝DE＝1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解题的关键．
28．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．

【答案】
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：

∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．（2022·上海领科双语学校九年级期中）如果与相交，的半径是，，那么的半径的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据两圆相交， 即可求得．
【详解】解：两圆相交，
圆心距的取值范围是，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．（表示圆心距，，分别表示两圆的半径）．
30．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是__________
【答案】1或5
【分析】设与内切，的半径为3，圆心距，分①在的内部和②在的内部两种情况，分别画出图形进行求解即可得．
【详解】解：由题意，设与内切，的半径为3，圆心距，
分以下两种情况：
①如图，当在的内部时，

则的半径为；
②如图，当在的内部时，

则的半径为；
综上，另一个圆的半径为1或5，
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查了圆心距、圆与圆的位置关系，正确分两种情况讨论是解题关键．

三、解答题
31．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？
（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围

【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．
【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果；
（2）由（1）的结果即可得出答案．
【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，
∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；
（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm，
∴2cm＜x＜12cm，
x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
32．（2022·全国·九年级专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为　　　　；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　．

【答案】（1）7；（2）．
【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得；
（2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：（1）如图1，，

当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，
此时最大值为，
故答案为：7；
（2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径，

，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．

【答案】r＝
【分析】连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，然后结合三角形面积进行分析求解．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF
＝AB·r＋BC·r＋AC·r
＝r(AB＋BC＋AC)
＝r(a＋b＋c)．
又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab，
∴r·(a＋b＋c)＝ab，
∴r＝

【点睛】此题考查了内切圆的性质、以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
34．（2022·全国·九年级课时练习）
(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．
(2)如图2，按以下步骤画图：
①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；
②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；
③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)①作图见解析，②作图见解析，③

【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．
（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．
（1）
证明：如图所示：

∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，
∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）
解：如图2中，连接AC，BD．

由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴S△COD＝×22＝．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．

(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OE，根据HL得，即可得，由此即可得．
（1）
解：如图所示，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，C为切点，
∴，
∴，
∵，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵的半径为5，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴在中，．
（2）
，证明如下
证明：方法一：如图所示，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，    
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即DE=2EH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴（HL），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海市罗山中学九年级期中）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出r变化的临界值，根据变化区间长度的定义即可求解．
【详解】解：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，
∴AB＝＝10，
过点O作OH⊥AB于点H，如图，

∵OA·OB＝AB·OH，
∴OA·OB＝AB·OH，
∴OH＝，
∵菱形的中心O到各边的距离都相等，
∴以点O为圆心，为半径画圆，该圆与菱形的各边都相切，此时⊙O与菱形ABCD的各边有4个公共点；
当以点O为圆心，6为半径画圆，该圆过点B、D，与菱形ABCD的各边有6个公共点，
∴如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，则＜r＜6，
∴r的变化区间长度是6﹣，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理，菱形的性质等知识，求得r变化的临界值是解题的关键．
2．（2022·河北唐山·九年级期末）内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；

下列判断正确的是（    ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
【详解】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，

即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故选：C．
【点睛】考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角，正确应用定理等知识是解决问题的关键．
3．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ）

A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，
当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，

∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
5．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，

，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．
6．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（     ）

A．4 【答案】A
【分析】作⊙A半径AD，根据含30度角直角三角形的性质可得，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．
【详解】解：设⊙A与直线OP相切时的切点为D，
∴，
∵∠POQ=30°，⊙A半径长为2，即，
∴，
当⊙B与⊙A相切时，设切点为C，如下图，

∵，
∴，
∴若⊙B与⊙A内含，则OB的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．

二、填空题
7．（2022·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为______．
【答案】或3
【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可．
【详解】
点A的坐标为
如图1，当经过原点时，半径为
如图2，当与y轴相切时，半径为点A到y轴的距离为3
故答案为：或3
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d>r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d 8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是____．

【答案】
【分析】以D为圆心，AD的长为半径画圆，分BC与圆相交和相切时分情况讨论，即可求出．
【详解】以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，

∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的作法，圆与直线的位置关系，圆的相关性质，分情况讨论并画出图形是解题的关键．
9．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的外接圆半径为______，内切圆半径为_______．
【答案】     5     2
【分析】首先根据勾股定理求出斜边，再根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半求出半径，内接圆半径的公式求出内接圆半径．
【详解】∵ ，
∴再根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半得圆的半径为5．
内切圆半径为
故答案为：5，2．
【点睛】此题考查了外接圆半径和内接圆半径，要知道直角三角形外接圆的半径是斜边的一半和内接圆半径公式是解答本题的关键．
10．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为___．

【答案】8
【分析】设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，利用切线长定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，则可计算出AD＋CE＝8，接着利用AB＋BC＝16得到BD＋BE＝8，然后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BD＋BE．
【详解】设与与各边的切点分别为、、，与相切于点，如图，

，，，
，即，
，
的周长为24，
，
，
即，
，
的切线与、分别交于点、，
，，
的周长．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
11．（2022·上海·上外浦东附中九年级期中）如图，在RtDABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为 _______________________．

【答案】
【分析】分两种情况：①如图，与内切，连接并延长交于，根据可得结论；②如图，与外切时，连接交于，同理根据可得结论．
【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：
①如图1，与内切时，连接并延长交于，

与相内切，
为切点，
，
，
根据勾股定理得：，
；
即的半径为；
②如图2，与外切时，连接交于，

同理得，
即的半径为，
综上，的半径为或．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出是的半径．
12．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在中，点是直径的延长线上一点，过点作的切线，C为切点．连接，若，则的度数为____________．

【答案】
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出的度数，然后再根据三角形的外角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再进行计算即可得出的度数．
【详解】解：连接，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵点是直径的延长线上一点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．

故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．

三、解答题
13．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）在同一平面直角坐标系中有5个点：．

(1)画出的外接圆，并指出点D与的位置关系；
(2)的外接圆的半径=_________，的内切圆的半径=_________．
(3)若直线l经过点，判断直线l与的位置关系．
【答案】(1)图见解析，点D在上
(2)，
(3)直线l与相切

【分析】（1）根据三边垂直平分线的交点就是的外心，从而画出，根据点D到点P的距离等于半径得出点D在上；
（2）根据两点间的距离公式得出的外接圆的半径，根据等面积法求出的内切圆的半径；
（3）先用SAS证明△PGD≌△DFE，从而得到∠PDE =90°，继而得出直线l与相切．
（1）
解：根据题意画出这五个点，
∵AC的垂直平分线是直线x=-1，BC的垂直平分线是x轴，
∴的外接圆的圆心的坐标是：
由此画出如下图形，

则半径为
又∵
∴，
∴点D在上；
（2）
解：由（1）可知的外接圆的半径=，
由图可知：．
∵，r为的内切圆的半径，
∴
解得：
故答案为：，
（3）
取点，，连接PD、PG、EF，
则有PG=DF=2，∠PGD=∠DFE=90°，DG=EF=1
∴△PGD≌△DFE（SAS），
∴∠DPG=∠EDF，
∴∠PDE=∠PDG+∠EDF=∠PDG+∠DPG=90°，
∴直线l与相切．

【点睛】本题考查在网格中三角形的外接圆，求三角形的外接圆的半径和内切圆的半径，切线的判定定理，掌握网格中的外接圆画法和勾股定理，以及切线的判定定理是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．

(1)求y与x的函数关系式；
(2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．
【答案】(1)y＝（0＜x＜4）
(2)当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交

【分析】（1）根据∠ACB=90°，得到，根据AC=4，AB=5，得到 BC＝3，根据S△ABC＝S△PBC+S△APB，得到，得到x+y＝6，得到y＝（0＜x＜4）．
（2）当x＝y时，得到x＝﹣x+，得到x＝，得到当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．
（1）
解：连接PB，设点P到AB的距离为PD=y，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=4，AB=5，
∴ BC＝3．
∵S△ABC＝S△PBC+S△APB，
∴，
∴，
即x+y＝6，
∴y＝（0＜x＜4）．

（2）
当x＝y时，
则x＝﹣x+，
解得：x＝．
∴当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；
当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；
当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，一次函数，直线与圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理计算，用面积法推导一次函数解析式，用函数与方程与不等式的关系判定直线与圆的位置关系．
15．（2022·全国·九年级专题练习）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上．
（1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号）

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再过点O作OW垂直AC于点W，然后以O为圆心，OW长为半径作圆O，即可求解；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设 ，由，，可得 ， ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，半圆 即为所求；

（2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，
设 ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
， ，
∵，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，圆的基本性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
16．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）
(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数
①d（D，⊙O）＝__________；
②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；

(2)若点N在直线上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；
(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．
【答案】(1)①2，②2≤d（M，⊙O）≤3
(2)d（N，⊙O）≥
(3)m的最小值为1，最大值为

【分析】（1）①因为D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根据关联距离的定义可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），则d（M，⊙O）在其之间即可；
（2）当过O的直线ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，根据三角形的面积公式可求ON的值，而ON无最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范围；
（3）当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，当如图3时，m取最大值，即，可求m的值，从而求得m的最小值和最大值．
（1）
解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，
∴d（D，⊙O）= ，
故答案为2；
②当M在点E处，d（E，⊙O）=2，
当M在点F处，d（F，⊙O）= ，
∴2≤d（M，⊙O）≤3．
（2）
解：设ON=d，
∴p=d-r=d-1，q=d+r=d+1，
∴d（N，⊙O）= ，
∵N在直线上，
设直线交x轴于B，交y轴于A，如图，

则x=0时，y=，y=0时，x=-2，
∴A ，B ，
∴OA= ，OB=2，
∴AB= ，
当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，
∵ ，
∴ON= ，
∵ON无最大值，
∴d（N，⊙O）≥ ．
（3）
解：如图2，当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，

如图3，d（P，⊙O）有最大值 ，
则，

∴
∴m的最小值为1，最大值为．
【点睛】本题是新定义题，考查了对新定义的理解，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是准确理解关联距离这个新定义．
17．（2022·全国·九年级专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】（1）因为直线经过点，
所以，
即，
故答案为
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示），

当时，；当时，.
所以，，即，.
在中，.
过点作于，
因为，
所以，
因为，解得.
依题意得：，
解得，
即的取值范围为.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切．
​
【答案】需要平移2cm．
【分析】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
【详解】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
【点睛】考查垂径定理以及直线和圆的位置关系.注意：直线和圆相切时，应满足
19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．

(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果，，求内切圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1

【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证；
（2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解．
（1）
证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）
解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
20．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，

(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】(1)124°
(2)证明见解析

【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC；
（2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明．
（1）解：∵∠CBD=34°∴∠CAD=34°∵点E是△ABC的的内心∴∠BAC=2∠CAD=68°∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC ∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD∴∠DEB=∠DBE ∴DE=DB ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键．
21．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图1，AB是的直径，点C在上，D为AC的中点，连接BC，OD．

(1)求证：；
(2)如图2，过点D作AB的垂线与交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，的半径为2，求弦BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接BD，由D为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得证；
（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
（1）
证明：连接BD，如图1所示：

∵D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵G为BC中点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．