初中数学人教版九年级上册21.2.3 因式分解法优秀课件ppt

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1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
(x+m)2=n (n≥0)
2. 因式分解的方法
利用平方差公式a2-b2= (a+b)(a-b) 和完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x−4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即
10x−4.9x2 =0 ①
∵ a=4.9,b=−10,c=0.
∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100.
公式法解方程10x−4.9x2=0.
配方法解方程10x−4.9x2=0.
方程可化为4.9x2−10x=0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
x(10−4.9x) =0
10−4.9x=0 ②
1.试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x−2)=0；
(1) x1=0，x2=2；
(2) (y+2)(y−3)=0；
(2) y1=−2，y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x−4)=0；
(3) x1=−2，x2=2；
(4) x1=0，x2=1.
，
，变形为 ，
的解为 .
∴ ，
；
的解为 。
移项得 ，
，
∴ ，
2.观察上面各小题，你能得出什么结论：一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，也可以 求解，即
，则 。
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例1 解下列方程 (1)3x2+2x=0; (2)x2=3x
解：（1）方程左边分解因式，得
所以 x=0 或 3x+2=0
所以 x=0 或 x-3=0
解：(1)因式分解，得
x−2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=−1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x−1 )=0.
2x＋1=0或2x−1=0,
(x−2)(x＋1)=0.
练一练 解下列方程：
(1)(x+1)2=5x+5；
∴x1=4，x2=−1．
(2)x2−6x+9=(5−2x)2．
解：∵(x+1)2=5(x+1)，
∴(x+1)2-5(x+1)=0，
则(x+1)(x−4)=0，
∴x+1=0，或x−4=0，
解：方程整理得 (x−3)2−(5−2x)2=0，则
[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，
∴−x+2=0，或3x−8=0，
(3m+2)2−7(3m+2)+10=0．
解：方程整理得9m2−9m=0.
分解因式，得9m(m−1)=0.
解得m1=0，m2=1．
解：分解因式，得(3m+2−2)(3m+2-5)=0.
∴3m+2−2=0，或3m+2−5=0，
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
简记口诀：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
试一试 解方程：x2+6x-7=0.
解：因式分解得(x+7)(x−1)=0.
∴x+7=0,或x−1=0.
∴x1=−7,x2=1.
(1)x2−5x+6=0；
解：分解因式，得(x−2)(x−3)=0，
(3)(x+3)(x−1)=5；
解：整理得x2+2x−8=0，
(4)2x2−7x+3=0.
(2)x2+4x−5=0；
解：分解因式，得(x+5)(x−1)=0，
解：分解因式，得(2x−1)(x−3)=0，
解得x1=2，x2=3.
解得x1=−5，x2=1．
解得x1=−4，x2= 2.
分解因式，得(x+4)(x−2)=0，
例4 用适当的方法解方程：(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
即 3x − 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x − 5) (x + 5) = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方,得 5x + 1 = ±1.
(3) x2 − 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1.
解：化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.
解：配方，得 x2 − 12x + 62 = 4 + 62,即 (x − 6)2 = 40.
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
x2 + px + q = 0 (p2− 4q ≥0)
(x+m)2＝n (n ≥ 0)
ax2 + bx +c = 0 (a≠0 ， b2−4ac≥0)
(x + m) (x + n)＝0
1．【中考·河南】方程(x－2)(x＋3)＝0的解是(　　)A．x＝2 B．x＝－3　　　C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．【中考·怀化】一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是(　　)A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝2
【点拨】解方程x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，若腰长为3，则三角形的三边长为3，3，6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形的三边长为5，5，6，此时三角形的周长为16.故选A.
4．【中考·内江】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是(　　)A．16 B．12C．14 D．12或16
5．【中考·通辽】一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为(　　)A．48 B．24C．24或40 D．48或80
6．【中考·十堰】对于实数a，b，定义运算“”如下：ab＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)(m－3)＝24，则m＝________.
7．【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是________________．
8．【中考·齐齐哈尔】解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．
【点拨】解方程时千万不能将方程两边同时除以x－3，否则方程会漏掉一解．
9．解下列方程：(1)【中考·东莞】x2－3x＋2＝0；(2)【中考·丽水】(x－3)(x－1)＝3；
解：x2－3x＋2＝0，因式分解，得(x－1)(x－2)＝0，∴x1＝1，x2＝2.
(x－3)(x－1)＝3，则x2－4x＝0，因式分解，得x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是(　　)A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
2．解方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是(　　)A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1)B．化为一般形式为13x2＋5＝0C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x−5)(x+2)=18.
解：原方程化为：(x−5)(x+2)=3×6 . ①
由x−5=3，得x=8； ②
由x+2=6，得x=4； ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解: 从①开始就错了原方程化为： x2 −3x −28= 0， (x−7)(x+4)=0， x1=7，x2=−4.
4．用因式分解法解方程(x－1)(x＋3)＝12. 
【点拨】用因式分解法解一元二次方程的依据是“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”．若ab＝c(c≠0)，则a，b都不能为零，即a≠0，b≠0.本题易将(x－1)·(x＋3)＝12与(x－1)·(x＋3)＝0混淆，从而出现x－1＝0或x＋3＝0的错误．
解：将(x－1)(x＋3)＝12化为一般形式为x2＋2x－15＝0.因式分解，得(x＋5)(x－3)＝0，∴x＋5＝0或x－3＝0.解得x1＝－5，x2＝3.
x2−2x+1 = 0.
( x－1 ) 2 = 0.
有 x － 1 = 0，
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
(4)x2+4x−2=2x+3；
(3)2x2−5x+1=0；
解：a=2，b=−5，c=1，
∴△=(−5)2−4×2×1=17．
解：整理，得x2+2x=5，
∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，
6.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
答：小圆形场地的半径为
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4.
这样的赋值是没有任何依据的，切记！
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2−13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
2.(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2−5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
当右边=0时，将方程左边因式分解.
因式分解常见的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c)；a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a +b)(a -b).