数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品ppt课件

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1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t5t2，考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t−5t2， t2−4t+3=0, t1=1，t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
解方程：20=20t−5t2,t2−4t+4=0,t1=t2=2.
∴当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗?
解方程：20.5=20t−5t2,t2−4t+4.1=0,因为(−4)2−4 ×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t−5t2,t2−4t=0,t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.球从飞出到落地要用4s.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
例1 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得 即 因为Δ=(−6)2−4×1×14＜0 ， 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
1. 二次函数y=x2-3x+2 ，当 x=1 时，y= ;当y=0时，x= .
2. 抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为 ;与x轴的交点坐标为 .
(0.5,0)和（-0.5,0）
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)答：水流的落地点D到A的距离是5m.
分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离.即y=0 .
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2−x+1；（2）y=x2−6x+9；（3）y=x2+x−2.
x2−6x+9=0，x1=x2=3
x2+x−2=0，x1=−2，x2=1
有两个不相等 的实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0.∴此抛物线与x轴总有交点.
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
所以正整数m的值为1或2.
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
分析：一元二次方程 x²−2x−2=0 的根就是抛物线 y=x²−2x−2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
例3 利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出函数 y=x²−2x−2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在−1与0之间，另一个在2与3之间.
先求位于−1到0之间的根，由图象可估计这个根是−0.8或−0.7，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当x分别取−0.8和−0.7时，对应的y由负变正，可见在−0.8与−0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2−2x−2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=−0.8或x=−0.7都符合要求.但当x=−0.7时更为接近0.故x1≈−0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)；
由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)A．x1≈−2.1，x2≈0.1 B．x1≈−2.5，x2≈0.5C．x1≈−2.9，x2≈0.9 D．x1≈−3，x2≈1
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 有两个交点x1,x2 （x1＜x2）
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x＞x2或x＜x1 .
y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x＞x2或x＜x1.
y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 1.根据下列表格的对应值:
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
3.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
4.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限
5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
6.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
7.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
8.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
x1 =x2＝－b/2a