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2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. “你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了4.5亿，数据450000000用科学记数法表示为( )
A. 0.45×109 B. 4.5×108 C. 4.5×109 D. 4.5×107
3. 下面四个立体图形中主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. x2+x4=x6 B. (x+1)(x−1)=x2+1
C. (x3)2=x6 D. x6÷x3=x2
5. 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这15名学生决赛成绩的中位数和众数分别是( )
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
A. 95，97 B. 95，95 C. 95，86 D. 90，95
6. 不等式组x−2≤0−x+1>0的解集为( )
A. x<1 B. x≤2 C. 1
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
8. 下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
10. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN.若AD=4，AB=2.则四边形MBND的周长为( )
A. 52
B. 5
C. 10
D. 20
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 式子 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 分解因式：2m2−18=______．
13. 已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC= ______ cm．
14. 分式方程2x=5x+3的解是______．
15. 某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为______度．
16. 如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1−k2= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023−tan60°+( 5−1)0+|1− 3|.
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a+2b)2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a，其中a=−1，b=12．
19. (本小题6.0分)
如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°.若CF=1.75m，求有效测温区间EF的长度．(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
20. (本小题8.0分)
《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类−完全知晓；B类−知晓；C类−部分知晓；D类−不知晓.并根据调查结果制作了如下不完整的统计图．
知晓等级
频数(人)
频率
A
m
0.1
B
20
0.4
C
a
n
D
10
0.2
请根据图表中的数据回答下列问题：
(1)表中m= ______ ，a= ______ ，n= ______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)为了加大《民法典》的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
21. (本小题8.0分)
如图：已知点C是线段AB的中点，AE⊥AB于A，BF⊥AB于B，过点C的直线与AE，BF分别交于E，F．
(1)求证：△AEC≌△BFC；
(2)若∠E=45°，AE=1，求△ABF的面积．
22. (本小题9.0分)
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
23. (本小题9.0分)
如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，DE=BF=3，EC=2BF．
(1)求证：四边形BFED是平行四边形；
(2)若tan∠ABD=23，求DB的长．
24. (本小题10.0分)
已知a、b是两个不相等的实数且a
(2)①已知正比例函数y=x是闭区间[1,2023]上的“t倍函数”，求t；
②一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，求此函数的解析式．
(3)若二次函数y=x2−6x−9是闭区间[a,b]上的“7倍函数”，求实数a、b的值．
25. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，AD、BC为直径，点∠COA=60°，点P是⊙O上的一个动点．
(1)如图1，点P是弧AB上的一个动点，连接PC、PD分别交直径于点F、E．
①如果DP⊥BC，则∠ECP= ______ °，PC ______ PD(填“>”或“<”或“=”)；
②求证：△CFO∽△CEP．
(2)如图2，点P是弧AC上的一个动点，连接PD交直径BC于点E作射线CP交DA的延长线于点F.图中有和CF相等的线段吗？如果有请写出并证明，如果没有请说明理由；
(3)如图1，点P是弧AB上的一个动点，连接PC、PD分别交直径于点F、E.设⊙O的半径为r，PC=m，PD=n，求出CF的长(用含m，n，r的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：450000000=4.5×108．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的主视图为三角形，符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，不符合题意；
C、球的主视图为圆，不符合题意；
D、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
故选：A．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2和x4不是同类项，
∴x2+x4不能进行合并计算，
∴选项A不符合题意；
∵(x+1)(x−1)=x2−1，
∴选项B不符合题意；
∴选项C符合题意；
∴选项D不符合题意；
故选：C．
运用合并同类项、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算辨别．
此题考查了整式加减、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解以上运算法则．
5.【答案】B
【解析】解：共2+8+2+3=15人，
所以中位数为第8人的成绩，为95分；
数据95出现了8次，最多，
所以这组数据的众数为95分．
故选：B．
根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：解不等式x−2≤0，得：x≤2，
解不等式−x+1>0，得：x<1，
则不等式组的解集为x<1．
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选B．
根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
8.【答案】B
【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，
∴直线经过一、二、三象限．
故选：B．
根据一次函数的性质判断即可．
本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=50°，
∴∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，
∵点C为BD的中点，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=12×(180°−130°)=25°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，
∴BM=MD，BN=ND．
设PQ与BD交于点O，如图，
则BO=DO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
∠DMO=∠BNO∠MDO=∠NBOOD=OB,
∴△MDO≌△NBO(AAS)，
∴DM=BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∵BM=MD，DM=BN，
∴BM=BN，
∴四边形MBND为菱形，
∴四边形MBND的周长=4BM．
设MB=x，则MD=BM=x，
∴AM=AD−DM=4−x，
在Rt△ABM中，
∵AB2+AM2=BM2，
∴22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
∴四边形MBND的周长=4BM=10．
故选：C．
利用作图过程可得PQ为BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形MBND为菱形，利用勾股定理求得BM，则结论可得．
本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形MBND为菱形是解题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
12.【答案】2(m+3)(m−3)
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
故答案为：2(m+3)(m−3)．
13.【答案】4
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°；
在Rt△ACB中，∠A=30°，AB=8cm；
因此BC=12AB=4cm．
根据圆周角定理，可得出∠C=90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质．
14.【答案】x=2
【解析】
【分析】
观察可得最简公分母是x(x+3)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可．
【解答】
解：方程的两边同乘x(x+3)，
得2(x+3)=5x，
解得x=2．
检验：当x=2时，x(x+3)=10≠0．
故原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
【点评】
本题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；②解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】90
【解析】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×(1−10%−30%−20%−15%)=90°，
故答案为90．
根据圆心角=360°×百分比计算即可；
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16.【答案】−3
【解析】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−S△OAM−S△OCN=3，
∴k2−k1=3，
∴k1−k2=−3，
故答案为：−3．
根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17.【答案】解：原式=−1− 3+1+ 3−1
=−1．
【解析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18.【答案】解：(a+2b)2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a
=a2+4ab+4b2+a2−4b2−2a2
=4ab，
当a=−1，b=12时，原式=4×(−1)×12=−2．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：如图，延长CB交AD于点G，则GD=CF．
∴AG=AD−CF=2.74−1.75=0.99(m)．
在Rt△AGC中，CG=AGtan24∘≈0.990.45=2.2(m)，
在Rt△AGB中，BG=AGtan45∘=0.991=0.99(m)，
∴BC=CG−BG=2.2−0.99=1.21(m)，
∴EF=BC=1.21(m)．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
【解析】延长CB交AD于点G，则GD=CF，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
20.【答案】5 15 0.3
【解析】解：(1)总调查人数为20÷0.4=50(人)，
m=50×0.1=5，
a=50−5−20−10=15，
n=15÷50=0.3，
故答案为：5，15，0.3；
(2)补全条形统计图如图：
(3)由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=35．
(1)先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到m；总人数减去A、B、D的人数可得a；a除以总人数50可得n；
(2)根据人数补图即可；
(3)列树状图解答．
此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△AEC和△BFC中，
∠ACE=∠BCFAC=BC∠EAC=∠FBC，
∴△AEC≌△BFC(ASA)；
(2)解：∵△AEC≌△BFC，
∴AE=BF=1，
∵∠E=45°，AE⊥AB，
∴∠E=∠ACE=45°，
∴AE=AC=1，
∴AB=2，
∴△ABF的面积=12×AB⋅BF=1．
【解析】(1)由“ASA”可证△AEC≌△BFC；
(2)由全等三角形的性质可求AE=BF=1，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：300x=30054x+3，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100−m，
解得m≤50，
设本次购买花费w元，
∴w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，
∵−9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴m=50时，w取最小值，最小值为−9×50+2700=2250(元)，
答：本次购买最少花费2250元．
【解析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，得m≤50，设本次购买花费w元，有w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，
又∵DE=BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
(2)解：∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB//EF，
∴∠ABD=∠F，
∴tan∠ABD=tanF=23，
∴BGBF=23，
又∵BF=3，
∴BG=2，
∵EC//BF，
∴CG：BG=EC：BFEC：BF=2，
∴CG=4，EC=6，
∴BC=BG+CG=2+4=6，CD=DE+CE=2+6=8，
∵∠C=90°，
∴BD= CD2+BC2= 82+62=10．
【解析】(1)由矩形的性质可得DC//AB，可得结论；
(2)由平行四边形的性质可得DB//EF，可证∠ABD=∠F，由锐角三角函数可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)已知反比例函数y=4x是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，
∴当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
当x=m时，y=4m；当x=n时，y=4n，
又∵k=4>0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而减小，
∴4m=2n，且4n=2m，
∴2mn=4，
又∵m+n= 2023，
∴(m+n)2=m2+2mn+n2=2023，
∴m2+n2=2023−2mn=2023−4=2019．
(2)①已知正比例函数y=x，y随x的增大而增大，且当x=1时，y=1；当x=2023时，y=2023，
∴当1≤x≤2023时，1≤y≤2023，
∴y=x是闭区间[1,2023]上的“1倍函数”，即t=1．
②∵一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，
∴当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
若k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=m，则y=km+b=2m；当x=n，则y=kn+b=2n，
∴(m−n)k=2(m−n)，
∴k=2，将k=2代入km+b=2m，得2m+b=2m，
∴b=0．
∴若k>0时，函数解析式为y=2x．
若k<0时，y随x的增大而减小，
∴当x=m时，y=km+b=2n；当x=n时，y=kn+b=2m，
∴k=−2，b=2m+2n．
∴若k<0时，函数解析式为y=−2x+2(m+n)，
综合以上分析，函数的解析式为y=2x或y=−2x+2(m+n)．
(3)由二次函数y=x2−6x−9解析式可知，抛物线开口向上，对称轴x=3，
∴当x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大，
∵二次函数y=x2−6x−9是闭区间[a,b]上的“7倍函数”，
∴当a≤x≤b时，7a≤y≤7b.(a≠0)，
若b≤3时，根据增减性，当x=a时，y=a2−6a−9=7b；当x=b时，y=b2−6b−9=7a，
两式相减得：a2−b2−6a+6b=7b−7a，
∴(a+b)(a−b)=b−a，
∴b=−1−a，
将b=−1−a代入a2−6a−9=7b得：
a2+a−2=0，
∴a=−2或a=1，
当a=−2时，b=1；当a=1时，b=−2.(舍去，a
当x=b时，y=b2−6b−9=7b.解得b=13− 2052或b=13+ 2052，均不符合a
∴a=−187，
则x=a时，y=a2−6a−9=63949，若63949=7b，b=639343<3，(舍去)，
当x=b时，y=b2−6b−9=7b，则b=13− 2052(舍去)或b=13+ 2052.符合题意．
综上分析，a=−2，b=1或者a=−187，b=13+ 2052．
【解析】(1)根据新定义和函数增减性对应代入得到2mn=4，利用完全平方公式求出m2+n2的值；
(2)①根据新定义和正比例函数y=x的增减性，发现当1≤x≤2023时，1≤y≤2023，得出t值；
②根据新定义和一次函数y=kx+b的增减性，分情况讨论k>0和k<0的x与y的对应变化，综合分析，得出函数的解析式；
(3)根据新定义和二次函数y=x2−6x−9的增减性，分三种情况进行探讨，在各个区间段满足a
25.【答案】30° =
【解析】(1)①解：连接BP，如图：
∵∠COA=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∵ CD=CD，
∴∠CPD=∠CAO=60°，
∵DP⊥BC，
∴∠CEP=90°，
∴∠ECP=180°−∠CEP−∠CPD=30°；
∵BC为⊙O直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠B=90°−∠ECP=60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠APD=90°=∠CED，
∴AP//BC，
∴∠DAP=∠COA=60°，
∴∠B=∠DAP=60°，
∴PC=PD；
故答案为：30°，=；
②证明：如图：
∵∠CPE=∠CAO=60°=∠COA，∠OCF=∠PCE，
∴△CFO∽△CEP；
(2)解：图中有和CF相等的线段DE，证明如下：
连接BD，如图：
∵∠BOD=∠COA=60°，OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠B=60°=∠COA，BD=OB=OC，
∵BP=BP，
∴∠BDE=∠OCF，
∴△BDE≌△OCF(ASA)，
∴DE=CF；
(3)解：如图：
∵∠DPC=∠OAC=60°=∠COA，∠OCF=∠PCE，
∴△OCF∽△PCE，
∴OCCP=CFCE，即rm=CFr+OE(Ⅰ)；
∵∠DPF=60°=∠DOE，∠PDF=∠ODE，
∴△ODE∽△PDF，
∴OEPF=ODPD，即OEm−CF=rn，
∴OE=rn⋅(m−CF)(Ⅱ)，
把(Ⅱ)代入(Ⅰ)得：
rm=CFr+rn⋅(m−CF)，
解得：CF=mr2+nr2r2+mn．
(1)①连接BP，由∠COA=60°，OA=OC，知△AOC是等边三角形，∠CAO=60°，故∠CPD=∠CAO=60°，又DP⊥BC，可得∠ECP=180°−∠CEP−∠CPD=30°；证明∠B=∠DAP=60°，可得PC=PD；
②结合①知∠CPE=∠CAO=60°=∠COA，又∠OCF=∠PCE，故△CFO∽△CEP；
(2)连接BD，证明△BDE≌△OCF(ASA)，即得DE=CF；
(3)证明△OCF∽△PCE，得rm=CFr+OE(Ⅰ)；证明△ODE∽△PDF，由OEm−CF=rn，得OE=rn⋅(m−CF)(Ⅱ)，把(Ⅱ)代入(Ⅰ)可得CF=mr2+nr2r2+mn．
本题考查圆的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，相似三角形解决问题．
2023年湖南师大附中博才实验中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. “你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行.”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了4.5亿，数据450000000用科学记数法表示为( )
A. 0.45×109 B. 4.5×108 C. 4.5×109 D. 4.5×107
3. 下面四个立体图形中主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. x2+x4=x6 B. (x+1)(x−1)=x2+1
C. (x3)2=x6 D. x6÷x3=x2
5. 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这15名学生决赛成绩的中位数和众数分别是( )
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
A. 95，97 B. 95，95 C. 95，86 D. 90，95
6. 不等式组x−2≤0−x+1>0的解集为( )
A. x<1 B. x≤2 C. 1
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
8. 下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为BD的中点，若∠A=50°，则∠CBD的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
10. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN.若AD=4，AB=2.则四边形MBND的周长为( )
A. 52
B. 5
C. 10
D. 20
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 式子 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 分解因式：2m2−18=______．
13. 已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC= ______ cm．
14. 分式方程2x=5x+3的解是______．
15. 某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为______度．
16. 如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1−k2= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023−tan60°+( 5−1)0+|1− 3|.
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a+2b)2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a，其中a=−1，b=12．
19. (本小题6.0分)
如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°.若CF=1.75m，求有效测温区间EF的长度．(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
20. (本小题8.0分)
《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类−完全知晓；B类−知晓；C类−部分知晓；D类−不知晓.并根据调查结果制作了如下不完整的统计图．
知晓等级
频数(人)
频率
A
m
0.1
B
20
0.4
C
a
n
D
10
0.2
请根据图表中的数据回答下列问题：
(1)表中m= ______ ，a= ______ ，n= ______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)为了加大《民法典》的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
21. (本小题8.0分)
如图：已知点C是线段AB的中点，AE⊥AB于A，BF⊥AB于B，过点C的直线与AE，BF分别交于E，F．
(1)求证：△AEC≌△BFC；
(2)若∠E=45°，AE=1，求△ABF的面积．
22. (本小题9.0分)
近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
23. (本小题9.0分)
如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，DE=BF=3，EC=2BF．
(1)求证：四边形BFED是平行四边形；
(2)若tan∠ABD=23，求DB的长．
24. (本小题10.0分)
已知a、b是两个不相等的实数且a
(2)①已知正比例函数y=x是闭区间[1,2023]上的“t倍函数”，求t；
②一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，求此函数的解析式．
(3)若二次函数y=x2−6x−9是闭区间[a,b]上的“7倍函数”，求实数a、b的值．
25. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，AD、BC为直径，点∠COA=60°，点P是⊙O上的一个动点．
(1)如图1，点P是弧AB上的一个动点，连接PC、PD分别交直径于点F、E．
①如果DP⊥BC，则∠ECP= ______ °，PC ______ PD(填“>”或“<”或“=”)；
②求证：△CFO∽△CEP．
(2)如图2，点P是弧AC上的一个动点，连接PD交直径BC于点E作射线CP交DA的延长线于点F.图中有和CF相等的线段吗？如果有请写出并证明，如果没有请说明理由；
(3)如图1，点P是弧AB上的一个动点，连接PC、PD分别交直径于点F、E.设⊙O的半径为r，PC=m，PD=n，求出CF的长(用含m，n，r的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：450000000=4.5×108．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的主视图为三角形，符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，不符合题意；
C、球的主视图为圆，不符合题意；
D、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
故选：A．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2和x4不是同类项，
∴x2+x4不能进行合并计算，
∴选项A不符合题意；
∵(x+1)(x−1)=x2−1，
∴选项B不符合题意；
∴选项C符合题意；
∴选项D不符合题意；
故选：C．
运用合并同类项、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算辨别．
此题考查了整式加减、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解以上运算法则．
5.【答案】B
【解析】解：共2+8+2+3=15人，
所以中位数为第8人的成绩，为95分；
数据95出现了8次，最多，
所以这组数据的众数为95分．
故选：B．
根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：解不等式x−2≤0，得：x≤2，
解不等式−x+1>0，得：x<1，
则不等式组的解集为x<1．
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选B．
根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
8.【答案】B
【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，
∴直线经过一、二、三象限．
故选：B．
根据一次函数的性质判断即可．
本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=50°，
∴∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，
∵点C为BD的中点，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=12×(180°−130°)=25°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°−∠A=180°−50°=130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，
∴BM=MD，BN=ND．
设PQ与BD交于点O，如图，
则BO=DO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
∠DMO=∠BNO∠MDO=∠NBOOD=OB,
∴△MDO≌△NBO(AAS)，
∴DM=BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∵BM=MD，DM=BN，
∴BM=BN，
∴四边形MBND为菱形，
∴四边形MBND的周长=4BM．
设MB=x，则MD=BM=x，
∴AM=AD−DM=4−x，
在Rt△ABM中，
∵AB2+AM2=BM2，
∴22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
∴四边形MBND的周长=4BM=10．
故选：C．
利用作图过程可得PQ为BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形MBND为菱形，利用勾股定理求得BM，则结论可得．
本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形MBND为菱形是解题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
12.【答案】2(m+3)(m−3)
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
故答案为：2(m+3)(m−3)．
13.【答案】4
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°；
在Rt△ACB中，∠A=30°，AB=8cm；
因此BC=12AB=4cm．
根据圆周角定理，可得出∠C=90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质．
14.【答案】x=2
【解析】
【分析】
观察可得最简公分母是x(x+3)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可．
【解答】
解：方程的两边同乘x(x+3)，
得2(x+3)=5x，
解得x=2．
检验：当x=2时，x(x+3)=10≠0．
故原方程的解为：x=2．
故答案为：x=2．
【点评】
本题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；②解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】90
【解析】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×(1−10%−30%−20%−15%)=90°，
故答案为90．
根据圆心角=360°×百分比计算即可；
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16.【答案】−3
【解析】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x(k1是非零常数，x>0)的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x(k2是非零常数，x>0)的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−S△OAM−S△OCN=3，
∴k2−k1=3，
∴k1−k2=−3，
故答案为：−3．
根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17.【答案】解：原式=−1− 3+1+ 3−1
=−1．
【解析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18.【答案】解：(a+2b)2+(a+2b)(a−2b)−2a⋅a
=a2+4ab+4b2+a2−4b2−2a2
=4ab，
当a=−1，b=12时，原式=4×(−1)×12=−2．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：如图，延长CB交AD于点G，则GD=CF．
∴AG=AD−CF=2.74−1.75=0.99(m)．
在Rt△AGC中，CG=AGtan24∘≈0.990.45=2.2(m)，
在Rt△AGB中，BG=AGtan45∘=0.991=0.99(m)，
∴BC=CG−BG=2.2−0.99=1.21(m)，
∴EF=BC=1.21(m)．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
【解析】延长CB交AD于点G，则GD=CF，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
20.【答案】5 15 0.3
【解析】解：(1)总调查人数为20÷0.4=50(人)，
m=50×0.1=5，
a=50−5−20−10=15，
n=15÷50=0.3，
故答案为：5，15，0.3；
(2)补全条形统计图如图：
(3)由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=35．
(1)先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到m；总人数减去A、B、D的人数可得a；a除以总人数50可得n；
(2)根据人数补图即可；
(3)列树状图解答．
此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△AEC和△BFC中，
∠ACE=∠BCFAC=BC∠EAC=∠FBC，
∴△AEC≌△BFC(ASA)；
(2)解：∵△AEC≌△BFC，
∴AE=BF=1，
∵∠E=45°，AE⊥AB，
∴∠E=∠ACE=45°，
∴AE=AC=1，
∴AB=2，
∴△ABF的面积=12×AB⋅BF=1．
【解析】(1)由“ASA”可证△AEC≌△BFC；
(2)由全等三角形的性质可求AE=BF=1，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：300x=30054x+3，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100−m，
解得m≤50，
设本次购买花费w元，
∴w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，
∵−9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴m=50时，w取最小值，最小值为−9×50+2700=2250(元)，
答：本次购买最少花费2250元．
【解析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，得m≤50，设本次购买花费w元，有w=20×0.9m+30×0.9(100−m)=−9m+2700，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，
又∵DE=BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
(2)解：∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB//EF，
∴∠ABD=∠F，
∴tan∠ABD=tanF=23，
∴BGBF=23，
又∵BF=3，
∴BG=2，
∵EC//BF，
∴CG：BG=EC：BFEC：BF=2，
∴CG=4，EC=6，
∴BC=BG+CG=2+4=6，CD=DE+CE=2+6=8，
∵∠C=90°，
∴BD= CD2+BC2= 82+62=10．
【解析】(1)由矩形的性质可得DC//AB，可得结论；
(2)由平行四边形的性质可得DB//EF，可证∠ABD=∠F，由锐角三角函数可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)已知反比例函数y=4x是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，
∴当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
当x=m时，y=4m；当x=n时，y=4n，
又∵k=4>0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而减小，
∴4m=2n，且4n=2m，
∴2mn=4，
又∵m+n= 2023，
∴(m+n)2=m2+2mn+n2=2023，
∴m2+n2=2023−2mn=2023−4=2019．
(2)①已知正比例函数y=x，y随x的增大而增大，且当x=1时，y=1；当x=2023时，y=2023，
∴当1≤x≤2023时，1≤y≤2023，
∴y=x是闭区间[1,2023]上的“1倍函数”，即t=1．
②∵一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“2倍函数”，
∴当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，
若k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=m，则y=km+b=2m；当x=n，则y=kn+b=2n，
∴(m−n)k=2(m−n)，
∴k=2，将k=2代入km+b=2m，得2m+b=2m，
∴b=0．
∴若k>0时，函数解析式为y=2x．
若k<0时，y随x的增大而减小，
∴当x=m时，y=km+b=2n；当x=n时，y=kn+b=2m，
∴k=−2，b=2m+2n．
∴若k<0时，函数解析式为y=−2x+2(m+n)，
综合以上分析，函数的解析式为y=2x或y=−2x+2(m+n)．
(3)由二次函数y=x2−6x−9解析式可知，抛物线开口向上，对称轴x=3，
∴当x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大，
∵二次函数y=x2−6x−9是闭区间[a,b]上的“7倍函数”，
∴当a≤x≤b时，7a≤y≤7b.(a≠0)，
若b≤3时，根据增减性，当x=a时，y=a2−6a−9=7b；当x=b时，y=b2−6b−9=7a，
两式相减得：a2−b2−6a+6b=7b−7a，
∴(a+b)(a−b)=b−a，
∴b=−1−a，
将b=−1−a代入a2−6a−9=7b得：
a2+a−2=0，
∴a=−2或a=1，
当a=−2时，b=1；当a=1时，b=−2.(舍去，a
当x=b时，y=b2−6b−9=7b.解得b=13− 2052或b=13+ 2052，均不符合a
∴a=−187，
则x=a时，y=a2−6a−9=63949，若63949=7b，b=639343<3，(舍去)，
当x=b时，y=b2−6b−9=7b，则b=13− 2052(舍去)或b=13+ 2052.符合题意．
综上分析，a=−2，b=1或者a=−187，b=13+ 2052．
【解析】(1)根据新定义和函数增减性对应代入得到2mn=4，利用完全平方公式求出m2+n2的值；
(2)①根据新定义和正比例函数y=x的增减性，发现当1≤x≤2023时，1≤y≤2023，得出t值；
②根据新定义和一次函数y=kx+b的增减性，分情况讨论k>0和k<0的x与y的对应变化，综合分析，得出函数的解析式；
(3)根据新定义和二次函数y=x2−6x−9的增减性，分三种情况进行探讨，在各个区间段满足a
25.【答案】30° =
【解析】(1)①解：连接BP，如图：
∵∠COA=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∵ CD=CD，
∴∠CPD=∠CAO=60°，
∵DP⊥BC，
∴∠CEP=90°，
∴∠ECP=180°−∠CEP−∠CPD=30°；
∵BC为⊙O直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠B=90°−∠ECP=60°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠APD=90°=∠CED，
∴AP//BC，
∴∠DAP=∠COA=60°，
∴∠B=∠DAP=60°，
∴PC=PD；
故答案为：30°，=；
②证明：如图：
∵∠CPE=∠CAO=60°=∠COA，∠OCF=∠PCE，
∴△CFO∽△CEP；
(2)解：图中有和CF相等的线段DE，证明如下：
连接BD，如图：
∵∠BOD=∠COA=60°，OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠B=60°=∠COA，BD=OB=OC，
∵BP=BP，
∴∠BDE=∠OCF，
∴△BDE≌△OCF(ASA)，
∴DE=CF；
(3)解：如图：
∵∠DPC=∠OAC=60°=∠COA，∠OCF=∠PCE，
∴△OCF∽△PCE，
∴OCCP=CFCE，即rm=CFr+OE(Ⅰ)；
∵∠DPF=60°=∠DOE，∠PDF=∠ODE，
∴△ODE∽△PDF，
∴OEPF=ODPD，即OEm−CF=rn，
∴OE=rn⋅(m−CF)(Ⅱ)，
把(Ⅱ)代入(Ⅰ)得：
rm=CFr+rn⋅(m−CF)，
解得：CF=mr2+nr2r2+mn．
(1)①连接BP，由∠COA=60°，OA=OC，知△AOC是等边三角形，∠CAO=60°，故∠CPD=∠CAO=60°，又DP⊥BC，可得∠ECP=180°−∠CEP−∠CPD=30°；证明∠B=∠DAP=60°，可得PC=PD；
②结合①知∠CPE=∠CAO=60°=∠COA，又∠OCF=∠PCE，故△CFO∽△CEP；
(2)连接BD，证明△BDE≌△OCF(ASA)，即得DE=CF；
(3)证明△OCF∽△PCE，得rm=CFr+OE(Ⅰ)；证明△ODE∽△PDF，由OEm−CF=rn，得OE=rn⋅(m−CF)(Ⅱ)，把(Ⅱ)代入(Ⅰ)可得CF=mr2+nr2r2+mn．
本题考查圆的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，相似三角形解决问题．
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