北师大版九年级下册4 解直角三角形精品同步测试题

这是一份北师大版九年级下册4 解直角三角形精品同步测试题，共22页。

1.3 解直角三角形（知识解读）
【学习目标】
1. 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【知识点梳理】
考点1 解直角三角形
　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
注意：
　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点2 解直角三角形的常见类型及解法

已知条件
解法步骤
Rt△ABC

两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
注意：
　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
【典例分析】
【考点1 解直角三角形】
【典例1】（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【变式1-1】（2022•锦江区校级开学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，tanB＝，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．13 D．18
【变式1-2】（2021秋•宝山区期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（　　）

A．CD＝AB•tanB B．CD＝AD•cotA C．CD＝AC•sinB D．CD＝BC•cosA
【典例2】（2021秋•薛城区期末）在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若cosα＝，则点P的坐标可能是（　　）

A．（3，5） B．（5，3） C．（3，4） D．（4，3）
【变式2-1】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的纵坐标为3，cosα＝，则tanα的值为（　　）

A． B． C． D．
【变式2-2】（2019秋•金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是（　　）

A． B． C． D．
【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（　　）

A． B． C． D．
【典例3】（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（　　）

A．6 B．6 C．7 D．7
【变式3-1】（2021秋•岱岳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC＝8，BC＝6，则sin∠ACD的值为（　　）

A． B． C． D．


【变式3-2】（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．
【典例4】（2021秋•泰山区校级月考）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值是（　　）

A． B． C． D．
【变式4-1】（2021秋•淇滨区校级期中）如图．在5×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【变式4-2】（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ACB的值为（　　）

A．3 B． C． D．

【典例5】（2022•台儿庄区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．


【变式5-1】（2021春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE＝∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH＝2CH．
（1）求sinB的值；
（2）当CD＝时，求BE的长．


【变式5-2】（2020秋•崇明区期末）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．


【变式5-3】（2021春•灌云县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，易知∠D＝15°，CD＝BD+BC＝AB+BC＝2x+x，所以tan15°＝tanD＝…

任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．












1.3 解直角三角形（知识解读）
【学习目标】
2. 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【知识点梳理】
考点1 解直角三角形
　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
注意：
　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点2 解直角三角形的常见类型及解法

已知条件
解法步骤
Rt△ABC

两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
注意：
　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
【典例分析】
【考点1 解直角三角形】
【典例1】（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
【变式1-1】（2022•锦江区校级开学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，tanB＝，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．13 D．18
【答案】C
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝12，
∴AC＝BC•tanB＝12×＝5，
∴AB＝＝＝13，
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•宝山区期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（　　）

A．CD＝AB•tanB B．CD＝AD•cotA C．CD＝AC•sinB D．CD＝BC•cosA
【答案】D
【解答】解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴△ACD、△BCD都是直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵CD＝sinA•AC＝tanA•AD＝，故选项B不正确；
在Rt△BCD中，
∵CD＝sinB•BC＝tanB•BD，故选项A、C不正确．
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B＝90°，
∴cosA＝sinB．
∴CD＝sinB•BC＝cosA•BC，故选项D正确．
故选：D．

【典例2】（2021秋•薛城区期末）在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若cosα＝，则点P的坐标可能是（　　）

A．（3，5） B．（5，3） C．（3，4） D．（4，3）
【答案】D
【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，

∵cosα＝＝，
∴可假设OB＝4，则OP＝5，
∴PB＝＝3，
∴点P的坐标可能是（4，3），
故选：D．
【变式2-1】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的纵坐标为3，cosα＝，则tanα的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PB⊥x轴于点B，

∴cosα＝＝，
设OB＝4x，OP＝5x，
在Rt△POB中，
PB＝＝3x，
∴tanα＝．
故选：B．
【变式2-2】（2019秋•金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，
故选：B．

【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，

∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
在Rt△PON中，由勾股定理得
OP＝，
∴，
故选：B．
【典例3】（2022•安庆一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（　　）

A．6 B．6 C．7 D．7
【答案】C
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，
∴AD＝ABsin45°＝4×＝4，
BD＝ABcos45°＝4×＝4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，
∴CD＝ADtan∠CAD＝4×＝3，
∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•岱岳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC＝8，BC＝6，则sin∠ACD的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°．
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10．
∴sinB＝＝．
∴sin∠ACD＝．
故选：C．
【变式3-2】（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，cosB＝＝，
故选：B．
【典例4】（2021秋•泰山区校级月考）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接CD，

由题意得：
AC2＝22+42＝20，
CD2＝12+12＝2，
AD2＝32+32＝18，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴cosA＝＝＝，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•淇滨区校级期中）如图．在5×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝90°，
由勾股定理得：
AC＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故选：A．

【变式4-2】（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ACB的值为（　　）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接格点A、D．
在Rt△ADC中，
∵AD＝3，CD＝1，
∴CA＝
＝
＝．
∴sin∠ACB＝
＝
＝．
故选：D．
【典例5】（2022•台儿庄区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，

∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；

（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
【变式5-1】（2021春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE＝∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH＝2CH．
（1）求sinB的值；
（2）当CD＝时，求BE的长．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＝∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣（∠ACD+∠CAE）＝90°，
∴AE⊥CD，
∵AH＝2CH，
∴AC＝＝＝，
∴sin∠CAE＝＝＝，
∴sinB＝，
∴sinB的值为；
（2）∵∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，CD＝，
∴AB＝2CD＝，
在Rt△ABC中，
∵sinB＝＝，
∴AC＝2，
∴BC＝＝＝4，
在Rt△ACH中，tan∠CAE＝＝，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，
∴CE＝1，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BE的长为3．
【变式5-2】（2020秋•崇明区期末）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．

【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，
∴∠C＝30°，
∴CD＝，
∴BC＝﹣1；
（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
∵∠C＝30°，
∴BE＝BC，
∴sin∠BOC＝＝＝＝
【变式5-3】（2021春•灌云县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，易知∠D＝15°，CD＝BD+BC＝AB+BC＝2x+x，所以tan15°＝tanD＝…

任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
AC＝x，CD＝2x+x，
∴tan15°＝＝＝2﹣，
即tan15°的值是2﹣；
（2）如右图所示，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，
易知∠D＝22.5°，设AC＝BC＝x，则AB＝BD＝x，故CD＝BC+BD＝x+x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
即tan22.5°的值是﹣1．