初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数精品课时训练

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（挑战压轴）专项1.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型
【方法技巧】
通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：

特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高


1．（2022秋•长春期中）如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（　　）

A．900m B．900m C．900m D．1800m
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°，
又∵∠BCD＝105°，
∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°，
在R△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1800m，
∴CE＝BC＝900（m），
在Rt△CDE中，∠DCE＝45°，
∴CD＝CE＝900（m），
故选：B．

2．（2021秋•任城区期中）如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（　　）

A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sinA＝，
则＝，即＝，
解得：AC＝30（米），
故选：B．
3．（2021•广西模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
4．（2020秋•邵东市期末）如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．24米
【答案】B
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
5．（2021•商河县校级模拟）如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　）

A．55m B．60m C．65m D．70m
【答案】C
【解答】解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C
6．（2022•青山区模拟）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若BC＝100m，∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 　 　m（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）．

【答案】60
【解答】解：∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝xm，则CD＝xm，
∵BC＝100m，
∴BD＝（100﹣x）m，
∵∠B＝56°，tanB＝，
∴tan56°＝＝≈1.5，
∴x≈60，
∴游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为60m，
故答案为：60．
7．（2022•和县二模）如图1是坐落在西河之畈的黄金塔，建于宋咸平元年即公元998年，为我省现存年代最早的古塔建筑，是第七批全国重点保护文物单位，塔九层六角．九年级数学兴趣小组开展了测量“黄金塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2，黄金塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）．数据收集通过实地测量地面上A，B两点的距离为55m，∠CAD＝37°，∠CBD＝63.4°．问题解决求黄金塔CD的高度，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【解答】解：设BD＝x米，
∵AB＝55米，
∴AD＝AB﹣BD＝（55﹣x）米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝63.4°，
∴CD＝BD•tan63.4°≈2x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
∴x＝15，
经检验：x＝15是原方程的根，
∴CD＝2x＝30（米），
∴黄金塔CD的高度约为30米．
8．（2022•瑶海区二模）2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，
则四边形BEFC为矩形，
∴EF＝BC＝10，CF＝BE，
在Rt△BAE中，sinα＝，cosα＝，
则BE＝AB•sinα≈15×0.53≈8.0，AE＝AB•cosα≈15×0.85≈12.8，
则CF＝BE＝8，
∵斜坡CD的坡度i＝1：2.5，
∴DF＝2.5×8＝20，
∴AD＝12.8+10+20≈43（米），
答：路基底AD的长约为43米．

9．（2022春•北碚区校级期中）小红和小明家分别住在某坡地公园左右两侧同一水平面的A、B两处，步道正好连接了坡地公园顶部C处的平台，周末两人为尽快完成一项共同的工作，决定爬坡到公园坡顶的平台C处（平台间距离忽略不计）商量具体情况，已知两人同时从自己家出门，结果又同时到达了坡地公园顶部C处．经了解，小红家所在水平面与坡面AC的夹角为45°（即∠CAB＝45°），小明家所在水平面与坡面BC的夹角为30°（即∠CBA＝30°），已知小明步行速度是1.5米/秒，求小红的步行速度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，计算结果保留一位小数）

【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
设小红的步行速度为x米/秒，
在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，
则BC＝2CD，
在Rt△CDA中，∠CAD＝45°，
则AC＝CD，
由题意得：＝，即＝，
解得：x≈1.1，
答：小红的步行速度约为1.1米/秒．

10．（2022•兰州模拟）如图，小斌家与某大厦的水平距离AB＝50m，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得∠DCE＝58°，∠BCE＝37°（CE⊥BD于点E），求大厦BD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：由题意得：CE＝AB＝50m，
∵CE⊥BD，∠DCE＝58°，∠BCE＝37°
∴DE＝CE•tan∠DCE≈50×1.60＝80（m），
BE＝CE•tan∠BCE≈50×0.75＝37.5（m），
∴BD＝BE+DE＝117.5（m）．
答：大厦BD的高度约为117.5m．
11．（2022•武威模拟）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）

【解答】解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
12．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，

由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，
在Rt△ACD中，sin30°＝，
解得CD＝300，
∴点C到直线AB的距离为300米．
（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，
解得AD＝，
在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，
∴BD＝300米，BC＝米，
∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，
∵600+﹣（300+）≈205（米），
∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．
13.（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【解答】解：过B作BD⊥AC于D，


由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
14．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
15.（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝60海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，
∴PB＝＝＝60（海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
15．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．

【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．
17．（2020•广西）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．