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北师大版九年级下册1 锐角三角函数优秀课时训练
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这是一份北师大版九年级下册1 锐角三角函数优秀课时训练,文件包含挑战压轴专项13锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型解析版docx、挑战压轴专项13锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共14页, 欢迎下载使用。
(挑战压轴)专项1.3 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型
【方法技巧】
已知AB、BE的长度及∠DBE,∠DAC或∠DFC)的度数,过较短的边AB作高BE,构造矩形和直角三角形,先解直角三角形,再利用加减求解。
1.(2021秋•汉寿县期末)如图,某办公楼AB的后面有一建筑物CD(办公楼AB与建筑物CD均垂直于地面BCF),当光线与地面的夹角是22°时,办公楼在建筑物CD的墙上留下的影子CE=2米,而当光线与地面夹角是45°时,办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(点B,F,C在同一条直线上).
(1)求办公楼AB的高度;
(2)若要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E之间的距离.
(参考数据:sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈,)
【解答】解:(1)过点E作EM⊥AB于点M,
则四边形BCEM为矩形,
∴BM=CE=2米,
设AB=x米,
在Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB=x米,
∴BC=BF+FC=(x+25)米,AM=(x﹣2)米,
在Rt△AEM中,tan∠AEM=,
则≈,
解得:x=20,
答:办公楼AB的高度为20m;
(2)在Rt△AME中,cos∠AEM=,
则cos22°=,即≈,
解得:AE=48,
答:A,E之间的距离约为48米.
2.(2020•新宾县模拟)如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1:2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)
【解答】解:作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,
在Rt△AOC中,AO=100,∠CAO=60°,
∴CO=AO•tan60°=100(米).
设PE=x米,
∵tan∠PAB==,
∴AE=2x.
在Rt△PCF中,∠CPF=45°,CF=100﹣x,PF=OA+AE=100+2x,
∵PF=CF,
∴100+2x=100﹣x,
解得x=(米).
答:电视塔OC高为100米,点P的铅直高度为(米).
3.(2015•通辽)如图,建筑物AB后有一座假山,其坡度为i=1:,山坡上E点处有一凉亭,测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米,与凉亭距离CE=20米,某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°,求建筑物AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
【解答】解:过点E作EF⊥BC于点F,过点E作EN⊥AB于点N,
∵建筑物AB后有一座假山,其坡度为i=1:,
∴设EF=x,则FC=x,
∵CE=20米,
∴x2+(x)2=400,
解得:x=10,
则FC=10m,
∵BC=25m,∴BF=NE=(25+10)m,
∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=(35+10)m,
答:建筑物AB的高为(35+10)m.
4.(2018•黄冈)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
【解答】解:(1)在直角△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=60°,AB=60米,则AC===20(米)
答:坡底C点到大楼距离AC的值是20米.
(2)设CD=2x,则DE=x,CE=x,
在Rt△BDF中,∵∠BDF=45°,
∴BF=DF,
∴60﹣x=20+x,
∴x=40﹣60,
∴CD=2x=(80﹣120)(米),
∴CD的长为(80﹣120)米.
5.(内江)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
【解答】解:如图,过点A作AH⊥DE于H,
则四边形ABEH为矩形,
∴AH=BE,EH=AB=3(米),
设DE=x米,
在Rt△CDE中,CE==x,
在Rt△ABC中,
∵=,AB=3米,
∴BC=3(米),
在Rt△AHD中,DH=DE﹣EH=(x﹣3)米,
∴AH==(x﹣3),
∵AH=BE=BC+CE,
∴(x﹣3)=3+x,
解得x=9.
答:树高为9米.
6.(2022•南召县模拟)某广场前有一个斜坡AB的坡比i=1:,在坡角A点处测得商场主楼顶部H的仰角为63.5°,小明沿着斜坡行至距离A点10米的点D处测得主楼顶部H的仰角为39°.请你根据以上数据求主楼GH的高约为多少米?(精确到0.01,参考数据:≈1.7,sin63.5°≈0.89,cos63.5°≈0.44,tan63.5°≈2.00.sin39°≈0.62,cos39°≈0.78,tan39°≈0.80)
【解答】解:过点D作DP⊥AC,垂足为P,过点D作DM⊥HG,垂足为M,
则DP=MG,DM=PG,
∵斜坡AB的坡比i=1:,
∴==,
∴∠BAC=30°,
在Rt△DPA中,AD=10米,
∴DP=AD=5(米),
AP=DP=5(米),
设AG=x米,
∴DM=PG=AP+AG=(5+x)米,
在Rt△GHA中,∠HAG=63.5°,
∴HG=AG•tan63.5°≈2x(米),
∴HM=HG﹣MG=(2x﹣5)米,
在Rt△DMH中,∠HDM=39°,
∴tan39°==≈0.8,
∴x≈9.833,
经检验:x=9.833是原方程的根,
∴HG=2x≈19.67(米)
∴建筑物GH的高约为19.67米.
7.(2020•新昌县校级模拟)如图,某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m,看台所在斜坡CM的坡比i=1:3,在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°,在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°,且B,M,D三点在同一水平线上.
(1)求DM的长.
(2)求旗杆AB的高度.(结果保留根号)
【解答】解:(1)∵CD=2m,tan∠CMD=,
∴MD=6m;
(2)过点C作CE⊥AB于点E,
设BM=xm,
∴BD=(x+6)m,
∵∠AMB=60°,
∴∠BAM=30°,
∴AB=(x) m,
已知四边形CDBE是矩形,
∴BE=CD=2m,CE=BD=(x+6)m,
∴AE=AB﹣BE=(x﹣2)m,
在Rt△ACE中,
∵tan30°=,
∴=,
解得:x=3+,
经检验,x=3+是分式方程的解,
∴AB=x=(3+3)(m).
8.为了方便学校蓝球队晚间训练,学校操场安装了高杆灯照明(如图所示),俊强和同学们想知道高杆灯的高度,进行了如下测量工作:俊强同学在A处用自制的测倾器测得灯杆顶部D的仰角为22°,朝着灯杆向前走12米到达点B处,测得灯杆顶部D的仰角为45°,已知俊强眼睛到地面的距离为1.7米(即图中AE、BF的长),求灯杆DC的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40.)
【解答】解:连接EF并延长,交CD于点G,
则EG⊥CD,AB=EF=12米,FG=BC,AE=BF=CG=1.7米,
在Rt△DFG中,∠DFG=45°,
则DG=FG,
设DG=FG=x米,则EG=(x+12)米,
在Rt△DEG中,∠DEG=22°,
tan22°=≈0.40,
解得x=8,
∴CD=DG+CG=8+1.7≈10(米).
即灯杆CD的高度约为10米.
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