数学九年级下册1 圆优秀课时作业

这是一份数学九年级下册1 圆优秀课时作业，共16页。

专题3.3 与圆有关的角（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.理解圆内接四边形概念，掌握圆内接四边形性质，并进行有关运算。
【知识点梳理】
考点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。



推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）





推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。


推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。




推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。


考点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴




【典例分析】
【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（　　）

A．60° B．30° C．45° D．40°


【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2020秋•新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
【变式1-3】（2020秋•越秀区校级期中）如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（　　）

A．45° B．80° C．85° D．90°
【考点2 圆周角】
【典例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°
【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．90° C．40° D．60°
【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．

【考点3 圆心角与圆周角】
【典例3】（2021•锡山区一模）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　 　．

【变式3-1】（2019秋•点军区校级期中）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（　　）

A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°


【变式3-2】（2019•东台市模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
【变式3-3】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点4 圆内接四边形】
【典例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°
【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）

A．80° B．120° C．135° D．140°

【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（　　）

A．25° B．30° C．40° D．55°
【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．63° B．126° C．116° D．117°












专题3.3 与圆有关的角（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
3.理解圆内接四边形概念，掌握圆内接四边形性质，并进行有关运算。
【知识点梳理】
考点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。



推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）





推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。


推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。




推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。


考点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴



【典例分析】
【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（　　）

A．60° B．30° C．45° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵＝，
∴∠2＝∠1＝45°，
故选：C．
【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2020秋•新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
【变式1-3】（2020秋•越秀区校级期中）如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（　　）

A．45° B．80° C．85° D．90°
【答案】D
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
故选：D．
【考点2 圆周角】
【典例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．55° C．60° D．75°
【答案】A
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　　）

A．70° B．90° C．40° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　　．

【答案】13°
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．

【考点3 圆心角与圆周角】
【典例3】（2021•锡山区一模）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　 　．

【答案】52°
【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故答案为：52°．
【变式3-1】（2019秋•点军区校级期中）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（　　）

A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
【变式3-2】（2019•东台市模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BOC＝25°．
故选：B．
【变式3-3】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
【考点4 圆内接四边形】
【典例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：A．
【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（　　）

A．80° B．120° C．135° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（　　）

A．25° B．30° C．40° D．55°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠FBC，
∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，
∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，
则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，
解得，∠A＝55°，
故选：D．
【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．63° B．126° C．116° D．117°
【答案】B
【解答】解：∵∠DCE＝63°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝117°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝63°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝126°，
故选：B．