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初中1 圆精品同步训练题
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这是一份初中1 圆精品同步训练题，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.6 直线和圆的位置关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
2．（2021秋•丰南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
3．（2021秋•浦北县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021秋•双滦区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
5．（2021秋•乐亭县期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
6．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．9
7．（2022秋•巴彦县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
8．（2022秋•福清市期中）如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30° B．25° C．20° D．22.5°
9．（2022秋•海林市校级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（2022秋•惠山区校级期中）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题。
11．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
12．（2022•香洲区校级一模）矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 ．
13．（2022秋•东台市期中）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ °．
14．（2021秋•防城港期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 度．
15．（2022秋•闽清县校级期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 ．
16．（2022秋•盐都区期中）如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 ．
17．（2021秋•沧州期末）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ ．
18．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝
时，⊙P与坐标轴相切．
三、解答题。
19．（2021秋•凤山县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
20．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
21．（2022秋•海珠区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
22．（2021秋•梧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
23．（2021秋•防城港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
24．（2021秋•襄州区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
25．（2022秋•涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为，BD＝2，求CE的长．
26．（2022秋•中山区期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
专题3.6 直线和圆的位置关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
【答案】B。
【解答】解：连接OC，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°，
∵∠BOD＝70°，
∴∠COD＝70°﹣30°＝40°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
2．（2021秋•丰南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
【答案】A。
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∵BE、AD交于点F，
∴点F是三角形内角平分线的交点，
∴点F是△ABC的内心．
故选：A．
3．（2021秋•浦北县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B。
【解答】解：连接OD，
∵∠DOC＝2∠A＝2×30°，
∴∠DOC＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴AD＝DC＝5，
故选：B．
4．（2021秋•双滦区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
【答案】B。
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH＝3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以B选项符合题意，A选项不符合题意．
故选：B．
5．（2021秋•乐亭县期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
【答案】C。
【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5﹣1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t＝（5﹣1）÷2＝2（s）或t＝（5+1）÷2＝3（s），
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故选：C．
6．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．9
【答案】D。
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：＝12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
7．（2022秋•巴彦县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【答案】D。
【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
8．（2022秋•福清市期中）如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30° B．25° C．20° D．22.5°
【答案】B。
【解答】解：如图，连接OC，
∵＝，
∴∠CON＝∠BON，
∵MC为半圆O的切线，
∴∠OCM＝90°，
∵∠M＝40°，
∴∠COM＝50°，
∴∠BON＝COM＝25°，
故选：B．
9．（2022秋•海林市校级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B。
【解答】解：连接AD；如图所示：
∵CA切⊙O于A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴AC＝AB＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AD＝BC＝BD＝CD，
∴＝，
∴S阴影＝S△ACD＝S△ABC＝×AB•AC＝××2×2＝1．
故选：B．
10．（2022秋•惠山区校级期中）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B。
【解答】解：连接OC、OE，作OF⊥BC于点F，则∠OFC＝∠OFB＝90°，
∵⊙O与AB边相切于点E，
∴AB⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝5，
∴∠EBF＝90°，DA＝BC＝5，
设⊙O的半径为r，
∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，
∴四边形BEOF是矩形，
∴BF＝OE＝OC＝r，
∴CF＝5﹣r，
∵∠BEO＝∠A＝90°，∠EBO＝∠ABD，
∴△EBO∽△ABD，
∴＝，
∴EB＝•OE＝r，
∴OF＝EB＝r，
∵OF2+CF2＝OC2，
∴（r）2+（5﹣r）2＝r2，
整理得16r2﹣250r+625＝0，
∴解得r＝或r＝（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为，
故选：B．
二、填空题。
11．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ＜AO＜ ．
【答案】＜AO＜。
【解答】解：设⊙O与AB相切于点F，连接OF，OF＝1，
∵BE＝BC＝6＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
△ABE中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BEÁ
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴＝，即AO＝＝＝，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O与AD相切时，和AB一定相交；
若⊙O与AB相切时，和AD一定相离．
同理当⊙O与BC相切于点M时，连接OM，OM＝1，计算得EO＝，
∴此时AO＝5﹣EO＝5﹣＝，
∴当＜AO＜时，⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，
故答案为：＜AO＜．
12．（2022•香洲区校级一模）矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 9﹣3π ．
【答案】9﹣3π。
【解答】解：连接OF、OE、OD，如图，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB＝＝＝，
∴∠OFB＝60°，
∵BF⊥AB，
∴BF为切线，
∵DF为切线，
∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，
∴∠BFE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE＝60°，
∵AD⊥AB，
∴AD为切线，
而DE为切线，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，
在Rt△AOD中，AD＝OA＝3，
∴S△ADO＝×3×3＝；
∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴S扇形AOE＝＝3π，
∴阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积＝2×﹣3π＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
13．（2022秋•东台市期中）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ 115 °．
【答案】115。
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠OCB＝∠ACB＝×70°＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°，
故答案为：115．
14．（2021秋•防城港期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 50 度．
【答案】50。
【解答】解：∵∠A＝20°，
∴∠BOC＝40°，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ODC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
15．（2022秋•闽清县校级期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 90° ．
【答案】90°。
【解答】解：连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠OBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ACB，
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠BAD+∠ACB＝180°﹣90°﹣∠ACB+∠ACB＝90°，
故答案为：90°．
16．（2022秋•盐都区期中）如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 8 ．
【答案】8。
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的周长是2×4＝8．
故阴影部分的周长是：8．
故答案为：8．
17．（2021秋•沧州期末）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ 125° ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ 90°﹣α ．
【答案】90°﹣α。
【解答】解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣∠BID＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125°；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠BID＝∠DBI＝＝＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
18．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 2或6或10 时，⊙P与坐标轴相切．
【答案】2或6或10。
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m），
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4，
∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝4，AC＝8，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD＝2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝2，PB＝2，
∴AP＝AB﹣PB＝2，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝2；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝2，
∴AP＝AB+PB＝6，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝6；
③当点P只与y轴相切时，
∵PC＝2，
∴AP＝AC+PC＝10，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝10．
综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
三、解答题。
19．（2021秋•凤山县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如下图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，
∴EC＝OG＝＝3，
∴CD＝＝．
20．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵DE经过⊙O的半径OD的外端，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AC于点F，则∠AFO＝90°，AF＝CF＝AC＝×20＝10，
∵∠OFE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE＝，
∴OA＝＝，
∴AB＝2OA＝25，
∴直径AB的长是25．
21．（2022秋•海珠区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE．
22．（2021秋•梧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A＝90°，
∴AC∥OB，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠OCB，
∴BC是△ACP的平分线；
（2）解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠A＝90°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠ACB＝∠CBE，
∴△ACB∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得：AC＝，
∵OB∥AC，
∴△ACP∽△BOP，
∴＝，即＝，
解得：CP＝，
∴EP＝﹣6＝．
23．（2021秋•防城港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠ACD，
∴∠OEC＝∠A，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：．理由如下：
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
又∵CD＝AD，
∴AE＝EC，
又∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴．
24．（2021秋•襄州区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，
∴点C在∠BAF的平分线上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF经过⊙O的半径OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，＝，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝×10＝5，
∴BE＝BC＝×5＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2×＝5，
∴CD的长是5．
25．（2022秋•涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为，BD＝2，求CE的长．
【解答】
（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB＝2，
∵AC＝AB＝5，
∴2：5＝CE：2，
∴CE＝．
26．（2022秋•中山区期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图，连接BE交OC于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠CAB，
∴∠DCE＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∵AC＝2CE，AE＝3，
∴，
∴CD＝2DE，CD2＝AD•DE，
∴4DE2＝AD•DE，
∴4DE＝AD，
∴3DE＝AE，
∴DE＝1，
∴CD＝2．
∵∠DEC＝∠D＝∠DCO＝90°，
∴四边形DCHE是矩形，
∴CD＝EH，∠EHC＝90°，
∴OC⊥BE，
∴BE＝2EH，
∴EH＝2，
∴EB＝4，
在Rt△AEB中，．
专题3.6 直线和圆的位置关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
2．（2021秋•丰南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
3．（2021秋•浦北县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021秋•双滦区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
5．（2021秋•乐亭县期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
6．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．9
7．（2022秋•巴彦县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
8．（2022秋•福清市期中）如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30° B．25° C．20° D．22.5°
9．（2022秋•海林市校级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（2022秋•惠山区校级期中）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题。
11．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
12．（2022•香洲区校级一模）矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 ．
13．（2022秋•东台市期中）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ °．
14．（2021秋•防城港期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 度．
15．（2022秋•闽清县校级期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 ．
16．（2022秋•盐都区期中）如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 ．
17．（2021秋•沧州期末）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ ．
18．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝
时，⊙P与坐标轴相切．
三、解答题。
19．（2021秋•凤山县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
20．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
21．（2022秋•海珠区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
22．（2021秋•梧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
23．（2021秋•防城港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
24．（2021秋•襄州区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
25．（2022秋•涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为，BD＝2，求CE的长．
26．（2022秋•中山区期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
专题3.6 直线和圆的位置关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•南岗区校级月考）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
【答案】B。
【解答】解：连接OC，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°，
∵∠BOD＝70°，
∴∠COD＝70°﹣30°＝40°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
2．（2021秋•丰南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
【答案】A。
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∵BE、AD交于点F，
∴点F是三角形内角平分线的交点，
∴点F是△ABC的内心．
故选：A．
3．（2021秋•浦北县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B。
【解答】解：连接OD，
∵∠DOC＝2∠A＝2×30°，
∴∠DOC＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴AD＝DC＝5，
故选：B．
4．（2021秋•双滦区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
【答案】B。
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH＝3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以B选项符合题意，A选项不符合题意．
故选：B．
5．（2021秋•乐亭县期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5
【答案】C。
【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5﹣1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t＝（5﹣1）÷2＝2（s）或t＝（5+1）÷2＝3（s），
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故选：C．
6．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．9
【答案】D。
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：＝12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
7．（2022秋•巴彦县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【答案】D。
【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
8．（2022秋•福清市期中）如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30° B．25° C．20° D．22.5°
【答案】B。
【解答】解：如图，连接OC，
∵＝，
∴∠CON＝∠BON，
∵MC为半圆O的切线，
∴∠OCM＝90°，
∵∠M＝40°，
∴∠COM＝50°，
∴∠BON＝COM＝25°，
故选：B．
9．（2022秋•海林市校级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B。
【解答】解：连接AD；如图所示：
∵CA切⊙O于A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴AC＝AB＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AD＝BC＝BD＝CD，
∴＝，
∴S阴影＝S△ACD＝S△ABC＝×AB•AC＝××2×2＝1．
故选：B．
10．（2022秋•惠山区校级期中）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B。
【解答】解：连接OC、OE，作OF⊥BC于点F，则∠OFC＝∠OFB＝90°，
∵⊙O与AB边相切于点E，
∴AB⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝5，
∴∠EBF＝90°，DA＝BC＝5，
设⊙O的半径为r，
∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，
∴四边形BEOF是矩形，
∴BF＝OE＝OC＝r，
∴CF＝5﹣r，
∵∠BEO＝∠A＝90°，∠EBO＝∠ABD，
∴△EBO∽△ABD，
∴＝，
∴EB＝•OE＝r，
∴OF＝EB＝r，
∵OF2+CF2＝OC2，
∴（r）2+（5﹣r）2＝r2，
整理得16r2﹣250r+625＝0，
∴解得r＝或r＝（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为，
故选：B．
二、填空题。
11．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ＜AO＜ ．
【答案】＜AO＜。
【解答】解：设⊙O与AB相切于点F，连接OF，OF＝1，
∵BE＝BC＝6＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
△ABE中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BEÁ
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴＝，即AO＝＝＝，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O与AD相切时，和AB一定相交；
若⊙O与AB相切时，和AD一定相离．
同理当⊙O与BC相切于点M时，连接OM，OM＝1，计算得EO＝，
∴此时AO＝5﹣EO＝5﹣＝，
∴当＜AO＜时，⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，
故答案为：＜AO＜．
12．（2022•香洲区校级一模）矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为 9﹣3π ．
【答案】9﹣3π。
【解答】解：连接OF、OE、OD，如图，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB＝＝＝，
∴∠OFB＝60°，
∵BF⊥AB，
∴BF为切线，
∵DF为切线，
∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，
∴∠BFE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE＝60°，
∵AD⊥AB，
∴AD为切线，
而DE为切线，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，
在Rt△AOD中，AD＝OA＝3，
∴S△ADO＝×3×3＝；
∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴S扇形AOE＝＝3π，
∴阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积＝2×﹣3π＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
13．（2022秋•东台市期中）如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ 115 °．
【答案】115。
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠OCB＝∠ACB＝×70°＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°，
故答案为：115．
14．（2021秋•防城港期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 50 度．
【答案】50。
【解答】解：∵∠A＝20°，
∴∠BOC＝40°，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ODC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
15．（2022秋•闽清县校级期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 90° ．
【答案】90°。
【解答】解：连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠OBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ACB，
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠BAD+∠ACB＝180°﹣90°﹣∠ACB+∠ACB＝90°，
故答案为：90°．
16．（2022秋•盐都区期中）如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 8 ．
【答案】8。
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的周长是2×4＝8．
故阴影部分的周长是：8．
故答案为：8．
17．（2021秋•沧州期末）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ 125° ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ 90°﹣α ．
【答案】90°﹣α。
【解答】解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣∠BID＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125°；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠BID＝∠DBI＝＝＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
18．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 2或6或10 时，⊙P与坐标轴相切．
【答案】2或6或10。
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m），
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4，
∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝4，AC＝8，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD＝2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝2，PB＝2，
∴AP＝AB﹣PB＝2，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝2；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝2，
∴AP＝AB+PB＝6，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝6；
③当点P只与y轴相切时，
∵PC＝2，
∴AP＝AC+PC＝10，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝10．
综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
三、解答题。
19．（2021秋•凤山县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如下图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，
∴EC＝OG＝＝3，
∴CD＝＝．
20．（2022秋•沙依巴克区校级期中）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵DE经过⊙O的半径OD的外端，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AC于点F，则∠AFO＝90°，AF＝CF＝AC＝×20＝10，
∵∠OFE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE＝，
∴OA＝＝，
∴AB＝2OA＝25，
∴直径AB的长是25．
21．（2022秋•海珠区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE．
22．（2021秋•梧州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A＝90°，
∴AC∥OB，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠OCB，
∴BC是△ACP的平分线；
（2）解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠A＝90°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠ACB＝∠CBE，
∴△ACB∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得：AC＝，
∵OB∥AC，
∴△ACP∽△BOP，
∴＝，即＝，
解得：CP＝，
∴EP＝﹣6＝．
23．（2021秋•防城港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠ACD，
∴∠OEC＝∠A，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：．理由如下：
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
又∵CD＝AD，
∴AE＝EC，
又∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴．
24．（2021秋•襄州区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，
∴点C在∠BAF的平分线上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF经过⊙O的半径OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，＝，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝×10＝5，
∴BE＝BC＝×5＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2×＝5，
∴CD的长是5．
25．（2022秋•涟水县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为，BD＝2，求CE的长．
【解答】
（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB＝2，
∵AC＝AB＝5，
∴2：5＝CE：2，
∴CE＝．
26．（2022秋•中山区期中）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图，连接BE交OC于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠CAB，
∴∠DCE＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∵AC＝2CE，AE＝3，
∴，
∴CD＝2DE，CD2＝AD•DE，
∴4DE2＝AD•DE，
∴4DE＝AD，
∴3DE＝AE，
∴DE＝1，
∴CD＝2．
∵∠DEC＝∠D＝∠DCO＝90°，
∴四边形DCHE是矩形，
∴CD＝EH，∠EHC＝90°，
∴OC⊥BE，
∴BE＝2EH，
∴EH＝2，
∴EB＝4，
在Rt△AEB中，．
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