七年级上学期月考数学试题

这是一份七年级上学期月考数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上学期月考数学试卷
（满分：100分）
一、选择题（36分）（共十二题：共36分）
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法不一定成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
4. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（　　）

A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
5. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）

A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1
6. A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A. B.
C. +4＝9 D.
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE长为( )

A. 5 B. C. D.
8. 关于x的方程，只有一个实数解，则m的值等于（ ）
A. 0，2 B. 1，2 C. 0，，1 D. 0，2，1
9. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）

A B. C. ﹣1 D.
10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A. －1.5 B. 1 C. －1.5或2 D. －0.5或－1.5
11. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
12. 如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有( )个．

A 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（12分）（共四题：共12分）
13. 分解因式：_____．
14. 若是方程的两个根，且，则m的值为______．
15. 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D是OC上一点，将沿边BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是______．

16. 如图，点是边长为6的正方形边、上的动点，且，交于点P，在点运动的过程中，的最小值为______．

三、解答题（52分）（共七题：共52分）
17. 解方程：．
18. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．

19. 已知实数a、b满足，求的值．
20. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．
（1）若AB＝2，求四边形ABFG的面积；
（2）求证：BF＝AE+FG．

21. 在2023年春季环境整治活动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
22. 在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样数量关系和位置关系．请写出你的猜想，并加以证明．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：yx+3交y轴于点A，x轴于点B，∠BAO的角平分线AC交x轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图2，若点M为直线CD上的一个动点，过点M作MN∥y轴，交直线AB与点N，当四边形AMND为菱形时，求△ACM的面积；
（3）如图3，点P为x轴上的一个动点连接PA、PD，将△ADP沿DP翻折得到△A1DP，当以点A、A1、B为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．







九年级上学期月考数学试卷
（满分：100分）
一、选择题（36分）（共十二题：共36分）
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
2. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．
【详解】解：A．等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B．，等式右边含有分式，不是因式分解，不符合题意；
C．等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D．，是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解的定义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的定义．
3. 下列说法不一定成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意；
C．当c=0时，若，则不等式不成立，符合题意；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意
故选C．

4. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（　　）

A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质得为等腰直角三角形，即可算得，继而可算得．
【详解】解：由旋转性质：，
为等腰直角三角形，
，
在中，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质；关键在于知道旋转过程中对应边角的大小是相等的．

5. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）

A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1
【答案】C
【解析】
【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选C．

6. A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A. B.
C. +4＝9 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程即可.
【详解】∵轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴顺流航行时间为：，逆流航行时间为：，
∴可得出方程：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的公式是解题关键．
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为( )

A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，根据求出OC，再利用面积法可得，由此求出AE即可．
【详解】四边形ABCD是菱形，，
，，
在中，，
，

故，
解得：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
8. 关于x的方程，只有一个实数解，则m的值等于（ ）
A. 0，2 B. 1，2 C. 0，，1 D. 0，2，1
【答案】D
【解析】
【分析】方程，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根．
【详解】方程，只有一个实数解，有两种情况：
①当时，即时，方程为，
∴．
故时， 程，只有一个实数解．
②当时，方程有一个实数解需满足：．
即．
解得：．
综上所述，m的值等于0，2，1时，方程，只有一个实数解．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论．
9. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）

A. B. C. ﹣1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知：，而及均可求得，从而可求得结果．
【详解】∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD=AB=1，∠D=90゜，
∴由勾股定理得：
∵四边形是正方形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，三角形面积的计算公式等知识，关键是所求四边形面积转化为两个直角三角形面积之差．
10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A. －1.5 B. 1 C. －1.5或2 D. －0.5或－1.5
【答案】D
【解析】
【详解】方程两边都乘以x（x－3）得：（2m＋x）x－x（x－3）=2（x－3），即（2m＋1）x=－6，①
（1）∵当2m＋1=0时，此方程无解，∴此时m=－0.5，
（2）∵关于x的分式方程无解，∴x=0或x－3=0，即x=0，x=3．
当x=0时，代入①得：（2m＋1）×0=－6，此方程无解；
当x=3时，代入①得：（2m+1）×3=－6，解得：m=－1.5．
∴若关于x的分式方程无解，m的值是－0.5或－1.5．
故选∶D．
11. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加即可得.
【详解】解不等式，得，
由于不等式组只有四个整数解，即只有4个整数解，
∴，
∴；
解分式方程，得，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴a≤2且a≠1，
∴且a≠1，
∴符合条件的所有整数为：-1，0，2，
和为：-1+0+2=1，
故选C.
【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.
12. 如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有( )个．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，，求出，，根据HL推出；推出，，设，则，，在中，由勾股定理得出，求出，得出；在中可推得④正确；求出，推出，根据，再求出，求出即可．
【详解】
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∵将沿对折至，
∴，
∵，
∴，又，
∴，即①正确；
∴，
设，则，
中，由勾股定理得出，
即，
求出，
∴，②正确；
∵，
∴
∵，
∵，
∴，
∴，③正确；
由沿对折至，得：，
由，得，
∴，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∴，④正确；
∵
∴S△EFC=，⑤正确，
故答案为①②③④⑤，正确答案个数为5个，
故选：D．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质利用勾股定理进行求解．
二、填空题（12分）（共四题：共12分）
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】把（x-y）看成整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】
=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
14. 若是方程的两个根，且，则m的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
整理得：
∴
∴，，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D是OC上一点，将沿边BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DCE中，由DE=CD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵将沿边BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴点D的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理，坐标与图形，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
16. 如图，点是边长为6正方形边、上的动点，且，交于点P，在点运动的过程中，的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】如下图，取BC的中点O，连接．易证，在中，利用三边之间的关系知道，当点A、P、O位于同一条直线上时，AP最小．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，取的中点O，则点P在以O为圆心，为半径的上运动，连接、，则，

在中，，
根据三角形的三边关系可得，
∴当O、P、A三点共线时，的长最小，的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的知识以及三角形三边关系等知识点，解题的关键是找到动态线段PA与定值线段之间的关系．
三、解答题（52分）（共七题：共52分）
17. 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．
【详解】解：，
a＝2，b＝−5，c＝1，
∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−公式法，根判别式为，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
18. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．

【答案】，图见解析
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到和，然后根据大于小的小于大的取中间即可确定不等式组的解集，再利用数轴表示出来即可．
【详解】
由①得，
，
，
由②得，
，
，
所以不等式组的解集为．
在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集，数轴上表示上注意空心圆圈，实心圆圈的应用．
19. 已知实数a、b满足，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】由的特征可以联想到a、b是方程的两个实数根，再利用根与系数的关系求解．
【详解】已知实数a、b满足，
则a、b是方程的两个实数根．
整理方程为一般式得：．
根据根与系数的关系得：．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是善于利用“转化”的思想．
20. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．
（1）若AB＝2，求四边形ABFG的面积；
（2）求证：BF＝AE+FG．

【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质和垂线的性质可得∠ABD＝30°，∠DAE＝30°，然后再利用三角函数及勾股定理在Rt△ABF中，求得AF，在Rt△AFG中，求得FG和AG，再运用三角形的面积公式求得四边形ABFG的面积；
（2）设菱形的边长为a，根据（1）中的结论在Rt△ABF、Rt△AFG、Rt△ADE 中分别求得BF、FG、AE，然后即可得到结论.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BD平分∠ABC，
又∵AE⊥CD，∠ABC=60°，
∴∠BAE＝∠DEA＝90°，∠ABD＝30°，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△ABF中，tan30°＝，即，解得AF＝，
∵FG⊥AD，
∴∠AGF=90°，
在Rt△AFG中，FG＝AF＝，
∴AG=＝1．
所以四边形ABFG的面积=S△ABF+S△AGF＝；
（2）设菱形的边长为a，则在Rt△ABF中，BF＝，AF＝，
Rt△AFG中，FG＝AF＝，
在Rt△ADE中，AE＝，
∴AE+FG＝，
∴BF＝AE+FG．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、利用三角函数值解直角三角形等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键.
21. 在2023年春季环境整治活动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化面积分别为和
（2）
（3）甲工程队施工15天，乙工程队施工10天，则施工总费用最低，最低费用为万元
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天，列方程求解；
（2）根据题意得到，整理得，即可解答；
（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过25天，得到，设施工总费用为W元，根据题意得：，根据一次函数的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，
则甲工程队每天能完成绿化面积为．
依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的根．
∴．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化面积分别为和；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可知：，
即，
解得，
∴总费用，
∵，∴W值随x值的增大而增大．
∴当天时，，
∴，
答：甲工程队施工15天，乙工程队施工10天，则施工总费用最低，最低费用为万元．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
22. 在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系．请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）EG=CG；EG⊥CG（2）EG=CG；EG⊥CG，证明见解析
【解析】
【分析】（1）过点G作GH⊥BD于G交CD于H，通过条件证明△HGE≌△ICG，就可以得出结论EG=CG，EG⊥CG；
（2）作GH⊥BC于H，根据平行线等分线段定理就可以得出EH=CH，再根据中垂线的性质就可以得出EG=EC，过点G作GP⊥BD于G交CB于P，最后通过证明三角形全等就可以得出结论EG⊥CG．
【详解】解：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．
则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，

∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
在Rt△HGE和Rt△ICG中，

∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；
（2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE与△GMC中，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC，
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：yx+3交y轴于点A，x轴于点B，∠BAO的角平分线AC交x轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图2，若点M为直线CD上的一个动点，过点M作MN∥y轴，交直线AB与点N，当四边形AMND为菱形时，求△ACM的面积；
（3）如图3，点P为x轴上的一个动点连接PA、PD，将△ADP沿DP翻折得到△A1DP，当以点A、A1、B为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）yx﹣3;（2）;（3）点P的坐标为（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．
【解析】
【分析】（1）分别令x、y为0，建立方程可求得A、B的坐标，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐标，再应用两条直线垂直时，k1k2=-1，就可以求得CD的解析式；
（2）根据菱形对角线互相垂直平分这一性质，可以确定点M的坐标，易求出△ACM的面积；
（3）△AA1B为等腰三角形，分三种情况：①AA1=AB，证明△ADA1是等边三角形解决问题．②A1B=AB．过A1作A1H⊥y轴于H，易证△A1AH≌△APO（AAS），利用全等三角形性质解决问题即可．③AA1=A1B．若点P在x负半轴上，不存在A1B=AB，若点P在x正半轴上，点P与点B重合时，A1B=AB．
【详解】（1）如图1，

在yx+3中，令x＝0，得y＝3，
∴A（0，3），
令y＝0得0x+3，解得x＝3，
∴B（3，0），
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝60°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠CAO∠BAO＝30°
∴OC
∴C（，0）
∵CD⊥AB
∴∠ODC＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°
在Rt△COD中，∠COD＝90°，
∴OD=3
∴D（0，﹣3）
设直线CD解析式为y＝kx+b，将C（，0），D（0，﹣3）代入得
，解得
∴直线CD的解析式为yx﹣3．
（2）如图2，

令CD与AB交于点E，∵四边形AMND是菱形，
∴AE＝NE DE＝ME
解方程组得，
∴E（，），
设M（t，t﹣3），则，，∴t＝3
∴M（，6），
在Rt△ADE中，cos∠ODC，sin∠ODC
∴DE＝AD×cos∠ODC＝6cos30°＝3，AE＝ADsin∠ODC＝6sin30°＝3
∴
在Rt△ODC中，∠ODC＝30°，∴CD＝2OC＝2
∴CE＝DE﹣CD＝32
∴CM＝CE+ME4，
∴S△ACM．
（3）如图3，

△AA1B为等腰三角形，分三种情况：
①AA1＝AB，
由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，
∵∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AO＝2×3＝6
∴AA1＝A1D＝AD
∴△AA1D是等边三角形
∴∠A1DA＝60°，
∴∠ADP＝30°，在Rt△PDO中，tan∠ADP
∴OP＝OD×tan∠ADP＝3tan30°
∴
②AA1＝A1B
∴A1在线段AB垂直平分线，
易证直线CD垂直平分线段AB
∴点A1落在直线CD上
由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADP＝∠A1DP＝75°，∠DPO＝90°﹣∠ADP＝90°﹣75°＝15°，
∵OA＝OD，PO⊥AD
∴∠APO＝∠DPO＝15°，
∴∠APD＝∠A1PD＝30°
∴∠A1PA＝60°
∴△A1PA是等边三角形
∴AP＝A1A
过A1作A1H⊥y轴于H，易证△A1AH≌△APO（AAS）
A1H＝AO＝3，AH＝OP
点A1B的横坐标为﹣3，将x＝﹣3代入直线CD的解析式为yx﹣3中，得y＝﹣33，
∴OH＝33，OP＝AH＝AO+OH＝3+33＝6+3，
∴P（﹣6﹣3，0）
③A1B＝AB
若点P在x负半轴上，不存在A1B＝AB，
若点P在x正半轴上，点P与点B重合时，A1B＝AB
∴P（3，0），
④如图5中，当AA′＝A′B时，易证DP平分∠ODC，可得P（6﹣3，0）

综上所述，点P的坐标为（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．