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云南省昆明市官渡区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份云南省昆明市官渡区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省昆明市官渡区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各项调查中，更适合全面调查的是（ ）
A．某校七（1）班学生最喜欢的学科
B．端午节最受欢迎粽子的口味
C．某品牌电视机的使用寿命
D．昆明市初中学生的课外活动时间
3．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C． D．
4．已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
6．若点M（m+2，﹣1）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜0 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．m＞﹣2
7．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益部游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马“和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，3）
8．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
10．直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
11．若不等式（a﹣2）x＞4的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
12．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆O4，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2035秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2035，﹣1） B．（2035，0） C．（2036，0） D．（2036，﹣1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则a＝ ．
14．已知x，y满足方程组，则2023+x+y＝ ．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表：
七年级下学期的体育成绩频数分布表：
组别
1
2
3
4
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
20
a
150
230
百分比
4%
20%
b
c%
七年级下学期的体育成绩频数分布直方图：
（1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB．请补全证明过程．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ ＝90°（垂直的定义），
∴AD∥ （同位角相等，两直线平行），
∴ +∠2＝180°（ ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴ ＝∠1（同角的补角相等），
∴DG∥ （ ），
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
22．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
23．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是，
∵，
∴设（x为的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2•x+2•x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2•x+2•x+4＝5
略去x2，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算（n为开方开不尽的数）的一般方法．
24．如图，已知点A（a，0），B（b，0）满足（4a+b）2+|b﹣4|＝0．将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，连接AC，BD．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形OMDB的面积等于10？
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．在运动过程中S△EMD﹣S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的定义判断即可．
解：由平移得到的图形是选项C：
故选：C．
【点评】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的定义，属于中考基础题．
2．下列各项调查中，更适合全面调查的是（ ）
A．某校七（1）班学生最喜欢的学科
B．端午节最受欢迎粽子的口味
C．某品牌电视机的使用寿命
D．昆明市初中学生的课外活动时间
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
解：A、某校七（1）班学生最喜欢的学科，更适合全面调查，故A符合题意；
B、端午节最受欢迎粽子的口味，更适合抽样调查，故B不符合题意；
C、某品牌电视机的使用寿命，更适合抽样调查，故C不符合题意；
D、昆明市初中学生的课外活动时间，更适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C． D．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
解：方程2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵a＜b，∴a﹣2＜b﹣2，原变形错误，不符合题意；
B、∵a＜b，∴＜，原变形错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，正确，符合题意；
D、∵a＜b，∴5a+2＜5b+2，原变形错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
【分析】利用对顶角的定义、平行线的判定与性质、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等．
6．若点M（m+2，﹣1）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜0 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．m＞﹣2
【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣）可得m+2＞0，然后进行计算即可解答．
解：∵点M（m+2，﹣1）在第四象限，
∴m+2＞0，
解得：m＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益部游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马“和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
8．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定，即可判断．
解：A、∠1＝∠2，能判定BA∥DC，但不能判定BD∥AC，故A符合题意；
B、C、D中的条件能判定BD∥AC，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可求出∠3的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，即可求出∠3+∠4的度数．
解：∵AE∥BF，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
由题意得AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝113°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣113°＝67°，
∴∠3+∠4＝50°+67°＝117°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】由BC∥EF，得到∠EAM＝∠C＝30°，由三角形外角的性质得到∠CME＝∠E+∠EAM＝75°．
解：∵BC∥EF，
∴∠EAM＝∠C＝30°，
∵∠E＝45°，
∴∠CME＝∠E+∠EAM＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠EAM＝∠C＝30°，由三角形外角的性质即可求解．
11．若不等式（a﹣2）x＞4的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
【分析】由不等式（a﹣2）x＞4的解集是，知a﹣2＜0，从而求出a的取值范围．
解：由不等式（a﹣2）x＞4的解集是，知不等号方向发生变化，
则a﹣2＜0，
解得：a＜2，
故选：A．
【点评】本题是对不等式知识的考查，熟练掌握不等式中同乘或同除一个负数时，不等号方向发生变化是解决本题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆O4，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2035秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2035，﹣1） B．（2035，0） C．（2036，0） D．（2036，﹣1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P1每秒走当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2035÷4＝508余3，
∴P的坐标是（2035，﹣1），
故选：A．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则a＝ 2 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根的特点列方程求解即可．
解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，
∴2a+1+3﹣4a＝0，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的前提．
14．已知x，y满足方程组，则2023+x+y＝ 2025 ．
【分析】将原方程组中的两个方程相加得出5x+5y＝10，即x+y＝2，再代入计算即可．
解：将方程组中的两个方程相加得，5x+5y＝10，
即x+y＝2，
所以2023+x+y＝2023+2＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解法是正确解答的前提．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 40° ．
【分析】根据角平分线的定义以及平角的定义可得∠BOD的度数，再根据垂直的定义求解即可．
解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD＝2∠AOE＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°，
∵OF⊥CD于点O，
∴∠DOF＝∠COF＝90°，
∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】根据二元一次方程组的解，从而表格中可找到答案．
解：由表格可知，x＝8，y＝2是a1x+b1y＝c1的解，
x＝8，y＝2是a2x+b2y＝c2的解，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是明确二元一次方程组的解是满足两个方程的解．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：
＝1﹣2+2﹣（﹣1）
＝1﹣2+2﹣+1
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
解：（1），
①+②得：2x＝﹣3，
解得：x＝﹣，
将x＝﹣代入①得：﹣﹣y＝1，
解得：y＝﹣，
故原方程组的解为；
（2），
①+②×2得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握并应用解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2（x﹣1）≤3x﹣1得：x≥﹣1，
由﹣1＜得：x＜9，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜9，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表：
七年级下学期的体育成绩频数分布表：
组别
1
2
3
4
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
20
a
150
230
百分比
4%
20%
b
c%
七年级下学期的体育成绩频数分布直方图：
（1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人．
【分析】（1）先利用第一组的频数除以频率得到抽取的总人数，再用总人数分别减去其它各组人数可得a的值，用第三组的频数除以抽取的总人数可得b的值，根据各组频率的和等于1可得c的值；
（2）根据（1）中求出的a的值即可补全直方图；
（3）用该区七年级的总人数乘以样本中体育成绩记为“A”的学生所占的百分比即可．
解：（1）由题意可得，抽取的总人数为20÷4%＝500（人），
a＝500×20%＝100，
b＝×100%＝30%，
c%＝1﹣4%﹣20%﹣30%＝46%，c＝46；
（2）补全频数分布直方图如下：
；
（3）11000×（30%+46%）＝8360（人），
答：估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有8360人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用频数分布表获取信息的能力；利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB．请补全证明过程．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ ∠EFC ＝90°（垂直的定义），
∴AD∥ EF （同位角相等，两直线平行），
∴ ∠3 +∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴ ∠3 ＝∠1（同角的补角相等），
∴DG∥ AB （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直定义），
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：∠EFC；EF；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠3；AB；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
【分析】（1）设购进A型号自拍杆的单价是x元，购进B型号自拍杆的单价是y元，根据“购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A型号的自拍杆，则购进（100﹣m）个B型号的自拍杆，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设购进A型号自拍杆的单价是x元，购进B型号自拍杆的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A型号自拍杆的单价是15元，购进B型号自拍杆的单价是30元；
（2）设购进m个A型号的自拍杆，则购进（100﹣m）个B型号的自拍杆，
根据题意得：（20﹣15）m+（50﹣30）（100﹣m）≥1100，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：最多购进A型号的自拍杆60个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是，
∵，
∴设（x为的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2•x+2•x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2•x+2•x+4＝5
略去x2，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算（n为开方开不尽的数）的一般方法．
【分析】（1）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可；
（2）根据材料二总结得出即可．
解：（1）我们知道面积是10的正方形的边长是，易知＞3，因此可设＝3+x，可画出如图示意图．
由图中面积计算，S正方形＝x2+2×3x+9，
∵S正方形＝10，
∴x2+6x+9＝10．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程6x+9＝10，解得x＝0.17，
即≈3.17．
（2）估算（n为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分a，即可得到≈a+．
【点评】本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
24．如图，已知点A（a，0），B（b，0）满足（4a+b）2+|b﹣4|＝0．将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，连接AC，BD．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形OMDB的面积等于10？
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．在运动过程中S△EMD﹣S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）利用非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，4），点D（4，5），OA＝1，OB＝4，OC＝4，CD＝5，由面积关系可求解；
（3）分点B在线段OB上，点B在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵（4a+b）2+|b﹣4|＝0．
∴b＝4，a＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0）；
（2）∵将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，点A（﹣1，0），点B（4，0），
∴点C（0，4），点D（5，4），OA＝1，OB＝4，
∴OC＝4，CD＝5，
∴四边形OCDB的面积＝×（4+5）×4＝18，
∵四边形OMDB的面积等于10，
∴点M在点C上方，
∴四边形OMDB的面积＝四边形OCDB的面积+S△CDM＝18+×5×（t﹣4）＝10，
∴t＝；
（3）S△EMD﹣S△OEN的值不会变化，
理由：如图1，当点N在线段OB上时，
∵S△EMD﹣S△OEN＝S四边形MDNO，
∴S△EMD﹣S△OEN＝S△MOD+S△OND＝×t×5+×（4﹣t）×4＝8；
如图2，当点N在x轴的负半轴时，
∵S△EMD﹣S△OEN＝（S△EMD+S△EOD）﹣（S△OEN+S△EOD），
∴S△EMD﹣S△OEN＝S△MOD﹣S△NOD＝×t×5﹣×（t﹣4）×4＝8，
综上所述：S△EMD﹣S△OEN是定值8．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
2022-2023学年云南省昆明市官渡区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各项调查中，更适合全面调查的是（ ）
A．某校七（1）班学生最喜欢的学科
B．端午节最受欢迎粽子的口味
C．某品牌电视机的使用寿命
D．昆明市初中学生的课外活动时间
3．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C． D．
4．已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
6．若点M（m+2，﹣1）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜0 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．m＞﹣2
7．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益部游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马“和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，3）
8．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
10．直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
11．若不等式（a﹣2）x＞4的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
12．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆O4，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2035秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2035，﹣1） B．（2035，0） C．（2036，0） D．（2036，﹣1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则a＝ ．
14．已知x，y满足方程组，则2023+x+y＝ ．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表：
七年级下学期的体育成绩频数分布表：
组别
1
2
3
4
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
20
a
150
230
百分比
4%
20%
b
c%
七年级下学期的体育成绩频数分布直方图：
（1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB．请补全证明过程．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ ＝90°（垂直的定义），
∴AD∥ （同位角相等，两直线平行），
∴ +∠2＝180°（ ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴ ＝∠1（同角的补角相等），
∴DG∥ （ ），
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
22．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
23．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是，
∵，
∴设（x为的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2•x+2•x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2•x+2•x+4＝5
略去x2，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算（n为开方开不尽的数）的一般方法．
24．如图，已知点A（a，0），B（b，0）满足（4a+b）2+|b﹣4|＝0．将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，连接AC，BD．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形OMDB的面积等于10？
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．在运动过程中S△EMD﹣S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的定义判断即可．
解：由平移得到的图形是选项C：
故选：C．
【点评】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的定义，属于中考基础题．
2．下列各项调查中，更适合全面调查的是（ ）
A．某校七（1）班学生最喜欢的学科
B．端午节最受欢迎粽子的口味
C．某品牌电视机的使用寿命
D．昆明市初中学生的课外活动时间
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
解：A、某校七（1）班学生最喜欢的学科，更适合全面调查，故A符合题意；
B、端午节最受欢迎粽子的口味，更适合抽样调查，故B不符合题意；
C、某品牌电视机的使用寿命，更适合抽样调查，故C不符合题意；
D、昆明市初中学生的课外活动时间，更适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C． D．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
解：方程2x﹣y＝3，
解得：y＝2x﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知a＜b，下列不等式变形中正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B． C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵a＜b，∴a﹣2＜b﹣2，原变形错误，不符合题意；
B、∵a＜b，∴＜，原变形错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，正确，符合题意；
D、∵a＜b，∴5a+2＜5b+2，原变形错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
【分析】利用对顶角的定义、平行线的判定与性质、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等．
6．若点M（m+2，﹣1）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜0 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．m＞﹣2
【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣）可得m+2＞0，然后进行计算即可解答．
解：∵点M（m+2，﹣1）在第四象限，
∴m+2＞0，
解得：m＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益部游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马“和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
8．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定，即可判断．
解：A、∠1＝∠2，能判定BA∥DC，但不能判定BD∥AC，故A符合题意；
B、C、D中的条件能判定BD∥AC，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可求出∠3的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，即可求出∠3+∠4的度数．
解：∵AE∥BF，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
由题意得AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝113°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣113°＝67°，
∴∠3+∠4＝50°+67°＝117°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】由BC∥EF，得到∠EAM＝∠C＝30°，由三角形外角的性质得到∠CME＝∠E+∠EAM＝75°．
解：∵BC∥EF，
∴∠EAM＝∠C＝30°，
∵∠E＝45°，
∴∠CME＝∠E+∠EAM＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠EAM＝∠C＝30°，由三角形外角的性质即可求解．
11．若不等式（a﹣2）x＞4的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
【分析】由不等式（a﹣2）x＞4的解集是，知a﹣2＜0，从而求出a的取值范围．
解：由不等式（a﹣2）x＞4的解集是，知不等号方向发生变化，
则a﹣2＜0，
解得：a＜2，
故选：A．
【点评】本题是对不等式知识的考查，熟练掌握不等式中同乘或同除一个负数时，不等号方向发生变化是解决本题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆O4，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2035秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2035，﹣1） B．（2035，0） C．（2036，0） D．（2036，﹣1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P1每秒走当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2035÷4＝508余3，
∴P的坐标是（2035，﹣1），
故选：A．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则a＝ 2 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根的特点列方程求解即可．
解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，
∴2a+1+3﹣4a＝0，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的前提．
14．已知x，y满足方程组，则2023+x+y＝ 2025 ．
【分析】将原方程组中的两个方程相加得出5x+5y＝10，即x+y＝2，再代入计算即可．
解：将方程组中的两个方程相加得，5x+5y＝10，
即x+y＝2，
所以2023+x+y＝2023+2＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解法是正确解答的前提．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是 40° ．
【分析】根据角平分线的定义以及平角的定义可得∠BOD的度数，再根据垂直的定义求解即可．
解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD＝2∠AOE＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°，
∵OF⊥CD于点O，
∴∠DOF＝∠COF＝90°，
∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
16．已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【分析】根据二元一次方程组的解，从而表格中可找到答案．
解：由表格可知，x＝8，y＝2是a1x+b1y＝c1的解，
x＝8，y＝2是a2x+b2y＝c2的解，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是明确二元一次方程组的解是满足两个方程的解．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：
＝1﹣2+2﹣（﹣1）
＝1﹣2+2﹣+1
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
解：（1），
①+②得：2x＝﹣3，
解得：x＝﹣，
将x＝﹣代入①得：﹣﹣y＝1，
解得：y＝﹣，
故原方程组的解为；
（2），
①+②×2得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握并应用解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2（x﹣1）≤3x﹣1得：x≥﹣1，
由﹣1＜得：x＜9，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜9，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表：
七年级下学期的体育成绩频数分布表：
组别
1
2
3
4
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
20
a
150
230
百分比
4%
20%
b
c%
七年级下学期的体育成绩频数分布直方图：
（1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人．
【分析】（1）先利用第一组的频数除以频率得到抽取的总人数，再用总人数分别减去其它各组人数可得a的值，用第三组的频数除以抽取的总人数可得b的值，根据各组频率的和等于1可得c的值；
（2）根据（1）中求出的a的值即可补全直方图；
（3）用该区七年级的总人数乘以样本中体育成绩记为“A”的学生所占的百分比即可．
解：（1）由题意可得，抽取的总人数为20÷4%＝500（人），
a＝500×20%＝100，
b＝×100%＝30%，
c%＝1﹣4%﹣20%﹣30%＝46%，c＝46；
（2）补全频数分布直方图如下：
；
（3）11000×（30%+46%）＝8360（人），
答：估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有8360人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用频数分布表获取信息的能力；利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1+∠2＝180°，证明：∠CGD＝∠CAB．请补全证明过程．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝ ∠EFC ＝90°（垂直的定义），
∴AD∥ EF （同位角相等，两直线平行），
∴ ∠3 +∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴ ∠3 ＝∠1（同角的补角相等），
∴DG∥ AB （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直定义），
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：∠EFC；EF；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠3；AB；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
【分析】（1）设购进A型号自拍杆的单价是x元，购进B型号自拍杆的单价是y元，根据“购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A型号的自拍杆，则购进（100﹣m）个B型号的自拍杆，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设购进A型号自拍杆的单价是x元，购进B型号自拍杆的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A型号自拍杆的单价是15元，购进B型号自拍杆的单价是30元；
（2）设购进m个A型号的自拍杆，则购进（100﹣m）个B型号的自拍杆，
根据题意得：（20﹣15）m+（50﹣30）（100﹣m）≥1100，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：最多购进A型号的自拍杆60个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分
∵，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为5的正方形的边长是，
∵，
∴设（x为的小数部分，0＜x＜1）．
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，S正方形＝x2+2•x+2•x+4，
∵S正方形＝5，
∴x2+2•x+2•x+4＝5
略去x2，得方程4•x+4＝5，解得：x＝0.25，即，
解决问题：
（1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到0.01）；
（2）请总结估算（n为开方开不尽的数）的一般方法．
【分析】（1）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可；
（2）根据材料二总结得出即可．
解：（1）我们知道面积是10的正方形的边长是，易知＞3，因此可设＝3+x，可画出如图示意图．
由图中面积计算，S正方形＝x2+2×3x+9，
∵S正方形＝10，
∴x2+6x+9＝10．
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程6x+9＝10，解得x＝0.17，
即≈3.17．
（2）估算（n为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分a，即可得到≈a+．
【点评】本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
24．如图，已知点A（a，0），B（b，0）满足（4a+b）2+|b﹣4|＝0．将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，连接AC，BD．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形OMDB的面积等于10？
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．在运动过程中S△EMD﹣S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）利用非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，4），点D（4，5），OA＝1，OB＝4，OC＝4，CD＝5，由面积关系可求解；
（3）分点B在线段OB上，点B在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵（4a+b）2+|b﹣4|＝0．
∴b＝4，a＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0）；
（2）∵将线段AB先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，点A（﹣1，0），点B（4，0），
∴点C（0，4），点D（5，4），OA＝1，OB＝4，
∴OC＝4，CD＝5，
∴四边形OCDB的面积＝×（4+5）×4＝18，
∵四边形OMDB的面积等于10，
∴点M在点C上方，
∴四边形OMDB的面积＝四边形OCDB的面积+S△CDM＝18+×5×（t﹣4）＝10，
∴t＝；
（3）S△EMD﹣S△OEN的值不会变化，
理由：如图1，当点N在线段OB上时，
∵S△EMD﹣S△OEN＝S四边形MDNO，
∴S△EMD﹣S△OEN＝S△MOD+S△OND＝×t×5+×（4﹣t）×4＝8；
如图2，当点N在x轴的负半轴时，
∵S△EMD﹣S△OEN＝（S△EMD+S△EOD）﹣（S△OEN+S△EOD），
∴S△EMD﹣S△OEN＝S△MOD﹣S△NOD＝×t×5﹣×（t﹣4）×4＝8，
综上所述：S△EMD﹣S△OEN是定值8．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
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