初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形一课一练

这是一份初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形一课一练，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
5.3正方形
一、单选题：
1.要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（　　）
A. AB=BC                              B. AD=BC                              C. AB=CD                              D. AC=BD
【答案】 A
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴要使矩形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：AB=BC或AC⊥BD．
故答案为：A．
【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可解答．
2.已知平行四边形 中， ，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
【答案】 C
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故答案为：C．
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
3.已知在四边形 中， ，下列可以判定四边形是正方形的是（    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
【答案】 D
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即BC=CD ，
故答案为：D ．
【分析】由∠A=∠B=∠C=90°，可证四边形ABCD是矩形，根据对角线相等或邻边相等的四边形是正方形逐一进行判断即可.
4.如图，已知线段 ，按下列步骤作图：分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ，分别连接 、 、 、 ，如果四边形 是正方形，需要添加的条件是（    ）

A.                    B.                    C.                    D.  平分
【答案】 A
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】由作法得AM=BM=AN=BN，
∴四边形AMBN为菱形，
∴当OA=OM时，即AB=MN时，四边形AMNB为正方形．
故答案为：A．
【分析】先判断出四边形AMBN为菱形，再利用正方形的判定方法求解即可。
5.如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
【答案】 D
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB= ∠DCB=45°，∠FBC= ∠ABC=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴CF=BF，∠F=180°-45°-45°=90°，
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF=BF，∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，
∴BF=CF=CE=BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE=∠E=∠F=90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，
∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，
∵∠F=90°，
∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，
∵BF=CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个，
故答案为：D
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质，添加条件，然后根据四个角都是直角，四边相等的四边形是正方形逐一判断即可.
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（    ）
A. 选①②                               B. 选选①③                               C. 选②③                               D. 选②④
【答案】 C
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解:A、由①得有一组部边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意
B、由①得有一组部边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确,故本选项不符合题意
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出出平行四边形ABCD是正方形,错误,故本选项符合题意
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形ABCD是正方形,正确故本选项不符合题意
故答案为：C.
【分析】要判定是正方形形,则需能判定它既是菱形又是矩形。
7.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当 时，如图1，测得AC=2，当 时，如图2，则AC的值为（   ）
 
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
【答案】 D
【考点】等边三角形的判定，勾股定理的应用，正方形的判定
【解析】【解答】如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，

∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2＋BC2＝AC2 ，
∴AB＝BC＝ ＝ ＝ ，
如图2，∠B＝60°，连接AC，
a
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝ .
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
8.在矩形ABCD中，E，P，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中正确的是（   ）
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形.②存在无数个四边形EFGH是矩形.③存在且仅有一个四边形EFGH是菱形.④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形.
A. ①②                                 B. ①②③                                 C. ①②④                                 D. ①③④
【答案】 C
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，

则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故①正确；
②如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形，故②正确；
③如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EH＝HG，
则△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD，AH＝GD，
∵GD＝BE，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论.
9.下列命题中，真命题是（    ）
A. 有一组边相等的平行四边形是菱形；                  B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形；
C. 有一个角为直角的菱形是正方形；                      D. 两条对角线相等的四边形是矩形．
【答案】 C
【考点】菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B.有一个角是直角的菱形是正方形，故B不符合题意；
C.有一个角是直角的菱形是正方形，故C符合题意；
D.两条对角线相等的四边形可为等腰梯形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】A选项根据菱形的判定进行判断；B，C选项根据正方形的判定进行判断；D选项根据矩形的判定进行判断．
10.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是（　　）

A. 四边形EFGH一定是平行四边形                           B. 当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形                     D. 四边形EFGH可能是正方形
【答案】 C
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是BD、BC的中点，
∴EF∥CD，EF= CD，
∵H、G分别是AD、AC的中点，
∴HG∥CD，HG= CD，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，A说法符合题意，不符合题意；
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴FG= AB，
∵AB=CD，
∴FG=EF，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，B说法符合题意，不符合题意；
当AB⊥BC时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，C说法不符合题意，符合题意；
当AB=CD，AB⊥BC时，四边形EFGH是正方形，说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
二、填空题：
11.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，要使四边形ADEF是正方形，还需添加条件：________.

【答案】 ∠A＝90°，AD＝AF(答案不唯一)
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：要证明四边形ADEF为正方形，
则要求其四边相等，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，
则得其为平行四边形，
且有一角为直角，
则在平行四边形的基础上得到正方形.
故答案为：AB=AC，∠A=90°（此题答案不唯一）.
【分析】根据已知条件易证四边形ADEF是平行四边形，再根据正方形的判定定理添加条件即可，此题答案不唯一.
12.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件________，使四边形BECF是正方形.

【答案】 AC=BC
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】∵EF垂直平分BC ，
∴BE=EC ， BF=CF ，
∵BF=BE ，
∴BE=EC=CF=BF ，
∴四边形BECF是菱形；
当AC=BC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
【分析】由条件可知四边形BECF是菱形，要想成为正方形需保证∠ACB=90，即∠ABC=45°,也就是△ABC是等腰直角三角形。
13.如图，在一块木板上钉上9颗钉子，每行和每列的距离都一样，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个正方形，这样的正方形一共有________个.

【答案】 6
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，将木板上的九个点分别标号为1-9，

一共可能组成正方形的组合有6种，按照序号依次连接，即可得到正方形：①1、2、5、4；②2、3、6、5；③4、5、8、7；④5、6、9、8；⑤2、4、8、6；⑥1、3、9、7，
故答案为：6.
【分析】正方形的定义即为：四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以在该九个点中任取四个点，组成的四边形能满足定义即可.
14.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=________时，四边形MENF是正方形．

【答案】 1:2
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】当AB=时，四边形MENF为正方形，因为此时，AB=AM=BN，并且△ABM、△MDC、△BEN，△NCF都是等腰直角三角形，并且点E、F分别是BM和CM的中点，所以四边形MENF是正方形.
15.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．

【答案】
【考点】正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示
，
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴ ， 即 ， BP= ， CP=BC﹣BP=3﹣= ，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP
=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×= ，
故答案为： ．
【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
16.如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是________cm.

【答案】
【考点】勾股定理，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，

在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
【分析】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.然后由正方形的性质和勾股定理可求解.
17.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，AE的垂直平分线交边BC于点G，交边AE于点F，连接DF，EG，以下结论：①DF= ，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG= ，正确的有：________（填写序号）

【答案】①④
【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设FG交AD于M，连接BE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=EC=2，
在Rt△ADE中，AE= = =2 ．
∵AF=EF，
∴DF= AE= ，故①正确，
易证△AED≌△BEC，
∴∠AED=∠BEC，
∵DF=EF，
∴∠FDE=∠FED=∠BEC，
∴DF∥BE，
∵BE与EG相交，
∴DF与EG不平行，故②错误，
∵AE⊥MG，易证AE=MG=2 ，
由△AFM∽△ADE，可知 = ，
∴FM= ，FG= ，
在Rt△EFG中，EG= = ，
在Rt△ECG中，CG= = ，
∴BG=BC﹣CG=4﹣ = ，故④正确，
∵EF≠EC，FG≠CG，∴△EGF与△EGC不全等，故③错误，
故答案为①④．
【分析】设FG交AD于M，连接BE．对于①先依据勾股定理求得AE的长，然后依据直角三角形斜边上中线依据斜边的一半可得到DF的长；对于②，先证明DF∥BE，然后依据过一点有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可；对于③，依据全等三角形的判定定理可对③作出判断；对于④，先依据相似三角形的性质可求得FM和FG的长，然后依据勾股定理可求得EG和CG的长，最后依据BG=BC﹣CG可求得BG的长.
18.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 ________.

【答案】 5
【考点】三角形的面积，勾股定理，正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE===5，
故答案为：5．

【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．
19.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ________．

【答案】 30°
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30°．
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出∠ADE=∠BCE=150°，AD=DE=BC=CE，得出∠DEA=∠CEB=15°，即可得出∠AEB的度数．
20.如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是________.

【答案】 5.
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
,
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ,
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
三、解答题：
21.如图，将 绕着点A顺时针旋转 得到 ，射线 与 相交于点C， ，求证：四边形 为正方形．

【答案】 证明：∵将 绕着点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【考点】正方形的判定
【解析】【分析】由题易得： ， 则有四边形ABCD是矩形，然后由AB=AD可求证。
22.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2,0）、B(0，-2)、C（2,0）、D（0，2）,求证：四边形ABCD是正方形.

【答案】 证明：由四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(-2.0)、B(0，-2)、C(2，0)、D(0，2),
可知OA=OB=OC=OD=2，
∴四边形ABCD为矩形.
 ∵
∴四边形ABCD是正方形
【考点】正方形的判定
【解析】【分析】由点A、B、C、D的坐标可得OA=OB=OC=OD=2，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，由图知，AC⊥BC，根据对角线互相垂直的矩形是正方形可求证。
23.正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD， 垂足为F，求证：EF＝AP

【答案】证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，

可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，
∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．
∴△APE'≌△EFP．
∴AP=EF．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【解析】【分析】根据题意，画出图形，可知，要求EF=AP，可证△APE'≌△EFP．
24.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC ， 且交CE的延长线于点F ， 联结BF ．

（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；
（3）（填空）在（2）中再增加条件________．则四边形AFBD是正方形．
【答案】 （1）证明：∵点D是BC边的中点，点E是AD的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥BF，
∴AD∥BF，
∵AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形

（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形

（3）∠BAC＝90°
【考点】平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC ， 且D为BC的中点，
∴AD＝BD ， ∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF＝BD ， 且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD＝BD ， 且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD为正方形．
25.如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.

（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形?请说明理由.
【答案】 （1）证明：如图，连接BD，

∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理HG∥BD，HG=BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.

（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=BD，EH=FG=AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
【考点】平行四边形的判定与性质，正方形的判定，三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
26.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.

【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【考点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
27.如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别为AB，AC上的点（E，F不与A重合），且EF//BC.将△AEF沿着直线EF向下翻折，得到 ，再展开.

（1）请证明四边形 为菱形；
（2）当等腰△ABC满足什么条件时，按上述方法操作，四边形 将变成正方形？（只写结果，不作证明）
【答案】 （1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠C＝∠AFE.
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF.
∵AE＝EA′，AF＝FA′，
∴AE＝EA′=AF＝FA′，
∴四边形AEA′F是菱形.

（2）解：当∠A=90°时，四边形AEA′F是正方形.
由（1）可知四边形AEA′F是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′F是正方形..
【考点】等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的判定，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质可得∠AEF＝∠AFE ，由等角对等边可得AE=AF，结合折叠的性质可得AE＝EA′=AF＝FA′ ， 从而可证四边形AEA′F是菱形；
（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形.