八年级上学期1月月考数学试题（解析版）

这是一份八年级上学期1月月考数学试题（解析版），共21页。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】沿着一条直线翻折，两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据定义依次判断.
【详解】A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形，
故选：A.
【点睛】此题考查轴对称的定义，正确理解图形的特点是解题的关键.
2. 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲类玩具的进价为x元/个，根据用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．
【详解】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价为（x−5）元/个，
由题意得，，
故选A．
【点睛】本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键．
3. 已知点与点在轴两侧，轴且，两点到轴的距离相等，则 点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行于轴直线上的点纵坐标相同，到轴的距离为横坐标的绝对值进行求解即可．
【详解】解：∵轴，且，两点到轴的距离相等，，
∴点Q的纵坐标为，横坐标的绝对值为2，
∵点与点在轴两侧，
∴点Q的横坐标为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，正确理解题意是解题的关键．
4. 若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 3B. 1C. 0D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到满足条件的整数的值之和．
【详解】解：解不等式组：，
可得，
不等式组有且仅有四个整数解，
，，
，
解分式方程，
可得，
又分式方程有非负数解，
，且，
即，，
解得且，
且，
满足条件的整数的值为，，0，1，3，
满足条件的整数的值之和是1．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
5. 如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．
【详解】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A−∠D
∵∠A＝50°，∠D＝10°，
∴∠P＝20°．
故选C.
【点睛】点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
6. 如图，在 中，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，连接 ，边 的长为，边 的长为，则 的周长为 （ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质，，进而根据已知条件即可求得的周长．
【详解】线段的垂直平分线与相交于点D，
，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质求得是解题的关键．
7. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D. 或或
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得到，然后讨论x、y的取值并带入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，等于或或，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8. 如图，等腰中，，.线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=44°，
∴∠ABC=∠C=68°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=44°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=24°，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
9. 在中，第一步：在上方确定一点，使，，如图第二步：在上方确定一点，使，，如图照此下去，至多能进行 步．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形内角和定理可得出，由、结合三角形内角和定理可求出，同理可求出、、、，令，求出n的最大值即可．
【详解】解：，
．
，，
，
．
同理可得：，，，，
当时，，
解得，
至多能进行4步．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理找出是解题的关键．
10. 如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. ____．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式计算法则求解即可
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12. 已知a=6+，b=6﹣，则a2+b2=________．
【答案】142
【解析】
【分析】直接利用乘法公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
【详解】解：∵a=6+，b=6﹣，
∴a2＋b2
＝（a＋b）2−2ab
＝（6＋＋6−）2−2×（6＋）（6−）
＝144−2×（36−35）
＝142．
故答案为142．
【点睛】此题主要考查了二次根式混合运算，正确应用乘法公式是解题关键．
13. 如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．
【详解】解：连接AQ，过点D作于H．
∵面积为18，BC=6，
∴，
∴，
∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴AQ=DH=6，
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．
14. 如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°， 则 ∠P＝ ______°．
【答案】35
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°，利用三角形外角性质得到∠CBP+∠P＝∠MCP，即可求出∠P．
【详解】解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，
∴∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°，
∵∠CBP+∠P＝∠MCP，
∴∠P=∠MCP-∠CBP=50°-15°=35°，
故答案为：35．
【点睛】此题考查了角平分线的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键．
15. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用整式除法运算法则化简求出答案．
【详解】解：（20x4＋15x3y−25x2）÷5x2
＝20x4÷5x2＋15x3y÷5x2−25x2÷5x2
＝4x2＋3xy−5．
故答案为4x2＋3xy−5．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
16. 如图，在中，，，， 为边上的点．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边上，那么的边上的高是____．
【答案】2
【解析】
【分析】如图所示，过点M分别作，垂足分别为E、F，设点D是点B的对应点，由折叠的性质可得，则由角平分线的性质可得，再根据等面积法建立方程求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M分别作，垂足分别为E、F，设点D是点B的对应点，
由折叠的性质可得，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵在中，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴的边上的高是2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，折叠的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
17. 如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为_____．
【答案】64
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝64B1A2＝64．
故答案是：64
【点睛】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共62分）
18. 已知 ，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，通过变形可以求得所求式子的值．
【详解】∵
∴ ，展开整理为
又， 即
∴
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19. 分解因式：．
【答案】
【解析】
【分析】先把看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到，据此再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．
20. 已知 ，求的值．
【答案】8
【解析】
【分析】把所求式子变形为，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子变形为是解题的关键．
21. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先按照平方差公式展开与多项式去括号后，合并同类项，化简代数式，再把变形后，整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
．
∵，
∴．
∴原式，
．
【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，去括号法则，同类项与同类项合并法则，整体代入求值是解题的关键．
22. 如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC．若∠B=42°，∠C=70°，求∠DAE和∠AEC的度数．
【答案】∠AEC=76°，∠DAE=14°．
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=∠BAC=34°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．
【详解】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=68°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=34°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=76°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AEC=14°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
23. 已知：如图，与相交于点，且，．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】如图所示，延长 ，交于点，证明得到，，由此即可证明．
【详解】证明：如图所示，延长 ，交于点，
在和中，

∴
，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24. 已知：如图所示的一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开， 折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使得?若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点，点就是符合条件的点，见解析
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠∠，∠EAO=∠FCO，由ASA证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．则∠AEP=90°，证出△AOE∽△AEP，得出对应边成比例，则AE2=AO•AP，再由AO＝AC，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中, AD∥BC
∴ ∠∠，∠＝∠
由折叠可知：OA=OC
∴ △≌△
∴ AE=CF，
又AE∥CF
∴ 四边形是平行四边形
又由折叠可知:AF=CF，
∴ 四边形是菱形.
（2）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点，点就是符合条件的点.
理由如下：
由作法得：∠AEP=90°，
由(1)得：AC⊥EF，
∴∠90°
∴∠∠90°，
又∵∠∠
∴ △∽△
∴
∴AE2=AO•AP，
∵AO＝AC，
∴AE2＝AC•AP
即：．
【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；综合性强，有一定难度，证明四边形是菱形和证明三角形相似是解题的关键．
25. 中，，，，分别为的高与中线．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点作的平行线交于点，若，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，然后得出，即可证明结论；
（2）过B点作交CA的延长线于点P，首先证明
得出，然后根据垂直平分线的性质得出，则结论可证；
（3）设交于，交于，过点作的平行线交的延长线于点，先根据平行线的性质和等量代换得出 ，，然后证明，进而证明，则有 ，据此可求出，则利用即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴
（2）过B点作交CA的延长线于点P


在和中，
垂直平分BC

（3）设交于，交于，过点作的平行线交的延长线于点．

∵



∴
在和中，

在和中，



∴
∴