八年级上学期12月月考数学试题

这是一份八年级上学期12月月考数学试题，共27页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
2. ，，三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A. 三条中线的交点处
B. 三条边的垂直平分线的交点处
C. 三条高线的交点处
D. 三条角平分线的交点处
3. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在四边形中，与关于对角线对称，则以下结论正确的是（ ）
①平分
②平分
③
④．
A. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ④
5. 如图，，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O，若，则为( )度．
A. B. C. D.
6. 化简，其结果（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示的钢架中，∠A＝18°，焊上等长的钢条，，，，来加固钢架，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，“？”的值为
A. 55B. 56C. 63D. 64
9. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记，已知，则m的值是（ ）
A. -40B. 20C. -24D. -20
10. 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（共7题，共28分）
11. 在中，，若，则 _____；若，，则_____．
12. 分解因式：_____．
13. 如若，则点关于轴对称点的坐标为_____．
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_____．
15. 如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．
16. 方程的根是_____．
17. 如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角．
（1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为________．
（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数________．（写出一种即可）
三、解答题（共8题，共62分）
18. 先化简，再求值：，其中
19. 先化简：(1﹣)•，然后a在﹣1，0，1三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
20. 先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2﹣4x（x﹣1），其中x＝．
21. 今年的里约奥运会，为了体现“零碳奥运”的精神，一座神奇的太阳能建筑被设计出来！创新的太阳能瀑布塔位于Ctnduba岛上，它海拔高度米，白天依靠太阳能水泵将海水抽至顶部，而到了夜间则将海水从顶部放下带动涡轮旋转，从而产生能量供电，有效地利用了能源（如图、图所示）．
假设图中的每一块太阳能电板可以看成图中的阴影部分（如图所示），图由长方形和正方形组成，其中，，．
（1）用，表示三角形面积 ；
（2）用，表示一块太阳能电板的面积；
（3）如果米，米，则此时一块太阳能电板的面积是多少？
22. 某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为．
（1）直接写出甲乙两组行进速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有千米．试问山脚离山顶的路程有多远．
（3）在题（）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）
23. 将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
24 如图甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. BF与CE相交于点M
（1）求证：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF.
（2）如图乙连接EF，画出△ABC边BC上的高线AD,延长DA交EF于点N，其他条件不变，下列四个结论：①∠EAN=∠ABC；
②△AEN≌△BAD；③；④EN=FN．
正确的结论是 （把正确结论的序号全部填上）
25. 在中，是的角平分线，点在射线上，于点，平分交直线于点．
（1）如图1，点在线段上，若，．
① ；（用含的式子表示）
②求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，交的延长线于点，用等式表示与的数量关系，并证明．
第一学期12月月考
八 年 级 数 学
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
2. ，，三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A. 三条中线的交点处
B. 三条边的垂直平分线的交点处
C. 三条高线的交点处
D. 三条角平分线的交点处
【答案】B
【解析】
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键．
3. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−．
【详解】解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上，
∴AC垂直平分，
∴AB＝，
∴∠BAC＝∠，
∵AB＝AD，
∴AD＝，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵＝＝90°，
∴四边形中， ＝180°−α，
∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝＝90°−α，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4. 如图，在四边形中，与关于对角线对称，则以下结论正确的是（ ）
①平分
②平分
③
④．
A. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的性质推出，推出，，根据等腰三角形性质求出，，根据以上结论判断即可．
【详解】解：∵与关于对角线对称，
∴，
∴，∴①正确；②正确；
，
∴，∴④正确；
即，∴③正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查对轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．
5. 如图，，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O，若，则为( )度．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，可得∠BEO=∠2，由∠1=∠2，则∠AEC=∠BED，则△AEC≌△BED，然后根据对应边，对应角相等，即可得到答案.
【详解】解：∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，
∴∠BEO=∠2，
∵∠2=∠1，
∴∠BEO=∠1，
∴∠BEO+∠OED=∠OED+∠1，
即∠AEC=∠BED，又∵AE=BE，∠A=∠B，
∴△AEC≌△BED（AAS），
∴∠BDE=∠C，DE=CE
∵∠1=40°
∴∠BDE=∠C=70°.
故选：D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是找到全等的条件进行证明.
6. 化简，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】= .
所以选B.
7. 如图所示的钢架中，∠A＝18°，焊上等长的钢条，，，，来加固钢架，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可得到再根据三角形外角的性质可得到与之间的关系，从而不难求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∵∠A=18°，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，正确求得与之间的关系是关键．
8. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，“？”的值为
A. 55B. 56C. 63D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根据前三幅图可以发现数字的变化规律，从而可以求得“？”表示的数字，本题得以解决．
【详解】∵3=22﹣1，15=42﹣1，35=62﹣1，∴？=82﹣1=63．
故选C．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
9. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记，已知，则m的值是（ ）
A. -40B. 20C. -24D. -20
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次项的系数为3，可得n=4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【详解】解：∵二次项的系数为3，
∴n=4，
∴
=
=
又∵，
∴m=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、数学常识、整式的混合运算，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．
10. 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由（SAS）证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC．
【详解】解：①在AE取点F，使EF＝BE，
∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，
∴AE＝（AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF＝S△ADC，
∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④错误；
即正确有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
二、填空题（共7题，共28分）
11. 在中，，若，则 _____；若，，则_____．
【答案】 ①. ##80度 ②. 4
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解；
【详解】，
，
故答案为：，4．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，主要是等腰三角形两腰相等，两底角相等，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是读懂题意，掌握等腰三角形的性质．
12. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先分组得到，再把每组分解，然后提公因式即可．
【详解】原式
故答案为
【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．
13. 如若，则点关于轴对称的点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a、b的值．
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．

故答案为或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．
15. 如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．
【答案】5或10
【解析】
【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
16. 方程的根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验即可；
【详解】方程两边同乘以 得，
解得，，
检验：时，，故是分式方程的增根，
时，，是原方程的解；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，熟知分式方程运算的法则是解答此题的关键．
17. 如图，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好角．
（1）若经过次折叠是的好角，则与（设）之间的等量关系为________．
（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数________．（写出一种即可）
【答案】 ①. ∠B=n∠C ②. 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88°
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；
（2）利用（1）结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【详解】解：（1）∠B=n∠C；
如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
故答案为：∠B=n∠C．
（2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角，
∴∠B=4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n正整数得4+4n+4mn=180，
∴如果一个三角形的最小角是4°，
三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
三、解答题（共8题，共62分）
18. 先化简，再求值：，其中
【答案】,-1.
【解析】
【分析】利用平方差公式、完全平方公式把运算展开，然后合并同类项化简，把a=代入求值即可.
【详解】原式

当时，原式
【点睛】本题考查整式的乘法，化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题关键
19. 先化简：(1﹣)•，然后a在﹣1，0，1三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】a+1；2
【解析】
【分析】根据分式的混合运算进行化简，再代入符合题意的值计算即可.
【详解】解：
=
=a+1
∵a≠0，a≠-1，
当a=1时，
原式=2．
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
20. 先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2﹣4x（x﹣1），其中x＝．
【答案】-1．
【解析】
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝x2﹣9+4x2﹣4x+1﹣4x2+4x＝x2﹣8，
当x＝时，原式＝7﹣8＝﹣1．
【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 今年的里约奥运会，为了体现“零碳奥运”的精神，一座神奇的太阳能建筑被设计出来！创新的太阳能瀑布塔位于Ctnduba岛上，它海拔高度米，白天依靠太阳能水泵将海水抽至顶部，而到了夜间则将海水从顶部放下带动涡轮旋转，从而产生能量供电，有效地利用了能源（如图、图所示）．
假设图中的每一块太阳能电板可以看成图中的阴影部分（如图所示），图由长方形和正方形组成，其中，，．
（1）用，表示三角形的面积 ；
（2）用，表示一块太阳能电板的面积；
（3）如果米，米，则此时一块太阳能电板的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，长方形面积公式，正方形面积公式即可求出答案；
【小问1详解】
【小问2详解】
．
【小问3详解】
当 ， 时，．
【点睛】本题考查列代数式，涉及整式混合运算，以及代入求值问题．
22. 某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为．
（1）直接写出甲乙两组行进的速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有千米．试问山脚离山顶的路程有多远．
（3）在题（）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）
【答案】（1）
（2）山脚到山顶的路程为千米
（3）千米
【解析】
【分析】（1）（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为时，速度之比为；
（2）甲组返回米的时间与乙组登山千米所需的时间是相同的；
（3）可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”，设B处离山顶的路程为千米（），根据时间相等列方程解答即可．
【小问1详解】
当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲、乙速度之比为．
【小问2详解】
设山脚到山顶的路程为千米，
根据题意可列方程：．
解得．
答：山脚到山顶的路程为千米．
【小问3详解】
可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”
解答：设B处到山顶的路程为（）千米，
根据题意可列方程：，
解得．
答：B处到山顶的路程是千米．
【点睛】本题侧重考查一元一次方程的应用，关键是找出等量关系，列出相应方程．
23. 将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；① ；② ；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析.
【解析】
分析】（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
（2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件．
【详解】解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；
（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：
由平移性质，得AA′＝C′C，
由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性质．
24. 如图甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. BF与CE相交于点M
（1）求证：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF.
（2）如图乙连接EF，画出△ABC边BC上的高线AD,延长DA交EF于点N，其他条件不变，下列四个结论：①∠EAN=∠ABC；
②△AEN≌△BAD；③；④EN=FN．
正确的结论是 （把正确结论的序号全部填上）
【答案】（1）见解析（2）①③④.
【解析】
【分析】（1）先根据AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC判定△ACE≌△AFB（SAS）；再根据全等三角形的性质得出∠ACM=∠AFM，根据Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，即△MCF是直角三角形，进而得出结论；
（2）先作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，构造三对全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根据全等三角形的面积相等，即可得出S△ABD=S△EAH，S△FKA=S△ADC，S△ENH=S△FNK，根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△AEH+S△AFK=（S△EAN-S△ENH）+（S△FNA+S△FNK）=S△EAN+S△FNA=S△AEF，即可得出结论③；最后根据△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．
【详解】(1)证明：①∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAF=∠EAC，
在△ACE和△AFB中，

∴△ACE≌△AFB(SAS)；
②∵△ACE≌△AFB，
∴∠ACM=∠AFM，
∵Rt△ACF中,∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，
∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，
即△MCF是直角三角形，
∴∠CMF=90°，即CE⊥BF；
(2)∵∠BAE=90°，AD⊥BD，
∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，
∴∠EAN=∠ABC，故①正确；
∵∠AEN与∠BAD不一定相等，
∴△AEN与△BAD不一定全等，故②错误；
作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠BAD=90°，
∴∠AEH=∠BAD，
在△AEH和△BAD中，

∴△AEH≌△BAD(AAS)，
∴EH=AD，
同理可得：△AFK≌△ACD，
∴FK=AD，
∴FK=EH，
在△FKN和△EHN中，

∴△FKN≌△EHN(AAS)，
∴
即故③正确；
∵△FKN≌△EHN，
∴FN=EN，故④正确.
故答案为①③④.
【点睛】属于三角形综合题, 考查三角形的面积, 全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
25. 在中，是的角平分线，点在射线上，于点，平分交直线于点．
（1）如图1，点在线段上，若，．
① ；（用含的式子表示）
②求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，交的延长线于点，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①；②见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②根据垂直的定义得到∠EFC=90°，求得∠ABC=2α，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠ABC=α，求得∠ABD=∠M，于是得到结论；
（2）设∠ABD=x，∠AEM=y，根据角平分线的定义得到∠ABC=2x，∠AEF=2y，求得x-y=∠END-∠BAD，得到2x-2y=∠EFC-∠BAC，于是得到结论．
【详解】解：（1）①，，
，
平分，
，
故答案为：；
②证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2），
证明：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
同理，，
，
，
，
，
，
，
即，
．