八年级上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份八年级上学期12月月考数学试题（解析版），共22页。
第一学期12月月考八年级数学
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考
号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. △ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于I，且∠BIC=130°，则∠A的度数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理和∠BIC的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．
【详解】因为∠ BIC=130°，
所以∠ IBC+∠ ICB=180°-130°=50°，
又因为BI、CI分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABC+∠ACB=100°，
则∠ A=180°-100°=80°.
故选：D.

【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键.
2. 小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使 ，，，点 ，， 在同一直线上，就能保证 ，从而可通过测量 的长度得知小河的宽度 ．在这个问题中，可作为证明 的依据的是 （　　　）

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
则证明的依据的是，
，



在和中，

∴，
则证明的依据的是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】解：A.，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误
故选C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（　　）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是1.5×360°=540°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n-2）×180°=1.5×360°，
解得：n=5．
即这个多边形为五边形．
故选B．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n-2）•180°．
5. 一个长方形的面积是，且长为，则这个长方形的宽为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长即可列出算式，再根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：这个长方形的宽=．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式的实际应用，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（　　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边可知，，则的周长可求．
【详解】解：∵和的角平分线交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【点睛】本题通过求三角形的周长考查了角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边的关系．
7. 如图，锐角中，，若想找一点P，使得与互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和的平分线，两线交于P点，则P即为所求．
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是　　

A. 三人皆正确 B. 甲、丙正确，乙错误
C. 甲正确，乙、丙错误 D. 甲错误，乙、丙正确
【答案】B
【解析】
【分析】甲：根据作图可得，利用等边对等角得： ，由平角的定义可知： =180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据圆内接四边形对角互补可得：，再由圆周角定理和等边对等角可计算，可作判断；
丙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明≌，可得，作判断即可．
【详解】解：甲：如图1，，

，
，
甲正确；
乙：如图2，延长AC交于E，连接PE，PD，

，
，
，
，
，
即，
乙不正确，
丙：如图3，过P作于G，作于H，
平分，
，
是BC的垂直平分线，
，
≌，
，
，
，
，
，
丙正确；
故选B．



【点睛】本题考查角平分线的性质、圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质及基本作图，正确的理解题意是解题关键．
8. 如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（　　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
9. 若 的乘积中不含 与 项，则 的值为 （　　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含与项，令这两项的系数等于0即可．
【详解】解：
=
=
∵不含与项，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，根据不含与项，令这两项的系数等于0是解题的关键．
10. 下列各式能用完全平方公式计算的是 （　　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式和平方差公式对各选项进行判断．
【详解】解：A.不能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意；
B能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C.能用完全平方公式计算，故本选项符合题意；
D.能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式：．完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12. 已知 ，则 用科学记数法可表示为____ ．
【答案】
【解析】
【分析】先由得到，再用科学记数法表示即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
13. 若的乘积中不含项，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先用多项式乘以多项式法则展开，再由展开后不含x3项，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：
=mx4-2mx3-mx2-3x3+6x2+3x
= mx4-(-2m-3)x3+(-m+6)x2+3x
∵展开后不含x3项，
∴-2m-3=0，
∴m=
【点睛】本题考查多项式乘以多项式法则，一元一次方程的应用．
14. 在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件有： ______．（填写序号，写出所有正确答案）
【答案】②
【解析】
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解．
【详解】解：①若选，是边边角，不能得到形状和大小都确定的；
②若选，是边角边，能得到形状和大小都确定的；
③若选，是边边角，不能得到形状和大小都确定的；
所以乙同学可以选择的条件有②．
故答案为：②
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
15. 如图，两根旗杆间相距 ，某人从点 沿走向点，一段时间后他到达点，此时他仰望旗杆顶点和，两次视线的夹角为，且，已知旗杆的高为，该人的运动速度为，则这个人运动到点所用时间是____．

【答案】秒##3s
【解析】
【分析】根据题意证明，利用证明，根据全等三角形的性质得到，再利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵该人的运动速度为，
∴他到达点M时，运动时间为．
故答案为：3秒．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得．
16. 若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是_____．
【答案】a≥1且a≠2
【解析】
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，进一步即可求出整式方程的解，然后根据解为非负数和原方程中x﹣2≠0可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案．
【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程＝的解为非负数，x﹣2≠0，
∴，解得a≥1且a≠2．
故答案为：a≥1且a≠2．
【点睛】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基础知识是解题关键．
17. 问题背景：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，求的最大值．解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值．
问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，当取得最大值时，的度数为_________．

【答案】
【解析】
【分析】以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，连接EB，利用SAS证出△ECB≌△ACD，从而得出EB=AD，然后根据两点之间线段最短即可得出当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，然后求出∠CAB的度数，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出∠ACB，从而求出∠ACD．
【详解】解：以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，连接EB

∵
∴∠ECA＋∠ACB=∠BCD＋∠ACB
∴∠ECB=∠ACD
在△ECB和△ACD中

∴△ECB≌△ACD
∴EB=AD
∴当AD取得最大值时，EB也取得最大值
根据两点之间线段最短可知EB≤EA＋EB，当且仅当E、A、B三点共线时取等号
即当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，
∵△CEA为等腰直角三角形
∴∠CAE=45°
∴此时∠CAB=180°―CAE=135°
∵
∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠CAB）=°
∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短的应用，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短是解决此题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，第18、19小题6分，第20、21小题7分，第22、23小题8分，第24、25小题10分
18. （1）计算：
（2）解方程：x2﹣2x﹣9＝0
【答案】（1）-2；（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）利用配方法解方程．
【详解】（1）原式＝1﹣4+
＝1﹣4+1
＝﹣2；
（2）x2﹣2x＝9，
x2﹣2x+1＝10，
（x﹣1）2＝10，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
19. 先化简，再求值 ，其中 ．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：



，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20. 尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC
求作：点P，使点P在△ABC内，到AB，BC的距离相等，且PB＝PC．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可作出符合条件的点P．
【详解】解：如图，作∠ABC的角平分线和BC的垂直平分线，两条线相交于点P，即为所求点．


【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线和线段垂直平分线的性质，掌握尺规作图是解题的关键．
21. 如图，和中，点在上，且，和交于点，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由“”可证，可得．
【详解】，，
，，
，
，
，
即，
在与中，

，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
22. 某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为．
（1）直接写出甲乙两组行进的速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有千米．试问山脚离山顶的路程有多远．
（3）在题（）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）
【答案】（1）
（2）山脚到山顶的路程为千米
（3）千米
【解析】
【分析】（1）（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为时，速度之比为；
（2）甲组返回米的时间与乙组登山千米所需的时间是相同的；
（3）可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”，设B处离山顶的路程为千米（），根据时间相等列方程解答即可．
【小问1详解】
当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲、乙速度之比为．

【小问2详解】
设山脚到山顶的路程为千米，
根据题意可列方程：．
解得．
答：山脚到山顶的路程为千米．
【小问3详解】
可提问题：“B处到山顶的路程是多少千米？”
解答：设B处到山顶的路程为（）千米，
根据题意可列方程：，
解得．
答：B处到山顶的路程是千米．
【点睛】本题侧重考查一元一次方程的应用，关键是找出等量关系，列出相应方程．
23. 如图，在一块边长为厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为厘米的正方形，利用因式分解计算当，时，剩余部分的面积．

【答案】剩余部分面积为平方厘米
【解析】
【分析】根据面积的和差，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【详解】依题意，得，
当，时，（平方厘米）
剩余部分面积为平方厘米．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，解题关键是掌握平方差公式．
24. 如图，已知，，且，满足．

（1）求，两点的坐标．
（2）如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论．
（3）如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），
（2），，见解析
（3）面积是定值，这个值是4
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，即可得出结论；
（2）求出，，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可；
（3）过P作轴于G，证得，根据全等三角形的性质得到，，再证，得到，过点作轴于点，证明，求出即可得到结论．
【小问1详解】
∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，，
∴，
，，
，
，
∴；
【小问3详解】
是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，

在与中，，
∴，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，

∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形．
25. 将等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．

（1）填空：AB与EF的位置关系是　 　；
（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；
（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）连接AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，进而可根据ASA证明△BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，
∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF；
故答案为：平行；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，
∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；
（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.
理由：连接AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，
∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
∴△BDP≌△ADQ（ASA），
∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，
又∵S△ADB＝S1，
∴S1＝2S2．